關於悖論，人們真的是充滿了無窮無盡的好奇心和想象力。比如在空中永遠能夠靈活翻身腳著地的貓 （高空墜落對貓咪依舊會造成傷害，不要嘗試！不要嘗試！不要嘗試！），比如塗了黃油的麵包永遠是黃油那面著地。當然也有人把這個和塗了黃油的麵包，永遠是黃油的那一面先著地「巧妙」地結合了起來。
以為我要放這個？
有了黃油懸浮技術，還要啥自行車(╯‵□′)╯︵┻━┻
貓咪翻身來源於翻正反射。喵們通過摺疊自己身體，使得前半身和後半身在不同的軸上旋轉，從而達到了在空中角動量守恆的情況下身體翻了個個。這是發表在 1894 年《Nature》上的研究結果，你們可別笑 [1]。
當時的研究成果
真的，悖論就是這麼充滿吸引力。
理查德悖論
Richard's Paradox
通過篩法尋找質數，排除掉所有2的倍數，3的倍數，5的倍數……剩下來的就是質數啦
理查德悖論是在1905年時，由法國的一箇中學教師，理查德發現的。這個悖論說的是這樣一件事情，我們考慮一個能夠用來定義整數的算術特徵的語言，比如漢語。我們可以用語言「第一個自然數」來定義數字 1。又比如我們熟知的質數的定義——如果這個數「只能被一以及它自己整除」，那麼該數字是一個質數。
每個人都能找到一些數字的特徵，所有這些定義的數量是無窮大的。但是我們可以注意到，每個特徵的定義都是由有限多的字組成的。因此我們可以把這些定義首先按照其字數多少進行排序，然後按照其字典順序（或者按照其對應的編碼的大小）定義排列成一串。
如果我們將每個定義映射到一個數上，讓排在最前面的定義映射到1上，第二前面的定義映射到2上，等等。每個定義都有一個號碼。
比如在某種定義的敘述下，「只能被一以及他自己整除」這個定義對應的號碼恰好是11。而且11本身也只能被1和它自己整除，因此該定義的號碼具有該定義的特徵，我們稱11不具有理查德性。但是「定義對應的號碼滿足該定義」這一點不一定總是正確的。比如假如「第一個自然數」對應的號碼為4，那麼它的號碼與它定義的特徵不同，這個數就是理查德性的。
埃舍爾名畫《Drawing hands》，實際上也反映了類似先有雞還是先有蛋的自指困境
但是因為理查德性本身是一個整數的特徵，因此它也在被列舉的定義之內。按照理查德性的定義，它本身也有一個號碼 n。現在這個悖論來了：n是理查德性的嗎？假如 n是理查德性的，那麼按照定義它沒有第 n個定義所描寫的特徵，也就是說 n不是理查德性的，這和我們的假設相反。
而假設 n不是理查德性的，那麼它擁有第 n個定義所描寫的特徵，也就是說它是理查德性的，這也和我們的假設相反。因此「 n是理查德性的」既不能是正確的，也不能是錯誤的。
這個悖論產生的原因在於混淆了數學（比如算術）和元數學（比如一個定義的寫法）的概念，這迫使人們仔細地區分這兩者之間的區別。
羅素悖論
Russell's paradox
「我說的這句話是假話。」
估計很多人都玩過這個，讓你判斷這句話的真假：如果你說這句話是假話，那麼就是肯定了句子的否定形式，即「我說的這句話其實是真話」；如果你說這句話是真話，那麼就是肯定了這個句子，也就是「我說的這句話是假話」。
可以想象匹諾曹說出這句話時候的樣子。實際上關於這句話到底是真是假學界內還有諸多爭論的地方
上面這個被稱為說謊者悖論。與之形式類似的還有很多，比如上面剛剛提到的理查德悖論，比如貝里悖論等。這些命題表面上沒有循環，但實際上在兜了一個圈子以後又轉回了原點，作為總體的元素、分子和部分反過來直接指稱總體，或者直接用這個總體來定義。
我們經常提到的差點讓數學大廈崩塌的
羅素悖論，人們常把它和理髮師悖論聯繫起來，這其實是不夠準確的。理髮師悖論和上面的說謊者悖論的結構相似，對於一個「只給不能給自己理髮的人理髮」的理髮師，無論他要不要給他自己理髮，都會導致矛盾。
「只給不能給自己理髮的人理髮」
如果你說就這麼提出一個奇怪口號的理髮師就能把數學顛覆了，確實不太對。這個悖論實際上告訴我們這樣的理髮師在現實生活中不能存在罷了。羅素悖論的核心在於，
其顛覆了人們對於樸素的集合論的認知。
用來形象表示集合的維恩圖
樸素的集合論認為，對於任何一個合理的性質P，都存在一個集合來刻畫它，這個集合由所有滿足P的對象構成。羅素首先定義一個性質P："不屬於自己"，然後定義一個集合S，這個S就是滿足P的那些集合構成的集合。集合S就成為了那個尷尬的理髮師，既屬於自己又不屬於自己。
所以理髮師悖論只是羅素悖論的一部分，問題的根本出現在集合的定義上。
希爾伯特計劃
Hilbert's Program
關於數學基礎，公理系統相容性的嚴謹證明，德國數學家希爾伯特曾經有過一個大膽的想法。他提出了希爾伯特計劃，希望為全部的數學提供一個安全的理論基礎。
所有數學的形式化。意思是，所有數學應該用一種統一的嚴格形式化的語言，並且按照一套嚴格的規則來使用。
完備性。在形式化之後，數學裡所有的真命題都可以被證明（根據上述規則）。
相容性。運用這一套形式化和它的規則，不可能推導出矛盾。
保守性。如果某個關於“實際物”的結論用到了“假想物”（如不可數集合）來證明，那麼不用“假想物”的話我們依然可以證明同樣的結論。
確定性。應該有一個算法，來確定每一個形式化的命題是真命題還是假命題。
Kurt Friedrich Gödel
所謂夢想很美滿，現實很骨感，哥德爾向你扔出了哥德爾第二不完備定理，對於一個包含皮亞諾算術的形式系統，該系統的相容性不能在系統內部證明。這裡「包含皮亞諾算術」是指可以推出描述自然數的命題的系統。不完備定理說，你總能在這個系統中，推出一個命題，以及它的否定。
總有那麼一些定理，你既可以說它是對的，也可以說它是不對的
結 語
Conclusion
在上面提到的悖論裡，可以分為邏輯上的和語義上的這兩類。比如公理系統內的矛盾導致了羅素悖論，我們需要去完善作為基礎的公理。語義上的矛盾可以通過一符號語言防止，在那樣的符號語言中，無法表述敘述同一語言的表達式，這樣也就避免了自指語句的出現。
在悖論的上下兩篇裡，我們粗淺地瀏覽了幾個從物理上、歷史上的所謂「悖論」，到現代數理邏輯中的悖論；有的悖論只是出乎人們的意料，有的悖論來源於人們對難以理解的概念——諸如無窮大和無窮小——的疑惑，有的悖論深深地根植於人們發展起來的公理系統中。
儘管它們把這個看似很美好的世界無情地打破，但是這又何嘗不是探索這個過程本身呢。我們能做的是
在這個矛盾重重的世界裡
永遠保持一顆好奇心
大膽猜想，小心求證
封面圖片來自
參考鏈接
[1] Marey, É.J (1894). "Des mouvements que certains animaux exécutent pour retomber sur leurs pieds, lorsqu'ils sont précipités d'un lieu élevé". 119: 714–717.
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