在控制領域, 反饋是處理系統不確定的有效手段. 反饋理論的要素包括三個部分：測量、比較和執行。測量關鍵的是被控變量的實際值與期望值相比較，用這個偏差來糾正系統的響應，執行調節控制。在工程實際中，應用最為廣泛的反饋控制規律為比例、積分、微分控制簡稱 PID 控制. PID 控制器問世至今已有約 100 年曆史，它結構簡單、穩定性好、工作可靠、調整方便, 至今仍然是工業控制的主要技術。不論現代控制理論如何漂亮, 都無法撼動 PID 控制在工業過程控制中占主導地位。當被控對象的結構和參數不能完全掌握，或得不到精確的數學模型時，系統控制器的結構和參數必須依靠經驗和現場調試來確定，這時應用 PID 控制技術最為方便。
我們通過如下二階系統來分別說明 P、I、D 三種控制方法的性能：
這一系統可以寫成抽象形式：
關於 PID 控制的性能，已經有很多基於工程實踐的經驗總結。這些總結對實際應用有一定的指導意義，形成了一套完整的參數鎮定方法。然而這些總結大多是定性的描述，還需要嚴格的數學說明。下面我們從數學的角度來分析二階系統 P、I、D 三種控制作用的優缺點，以便加深對它們的理解。
比例控制作用微分控制作用
微分控制作用
所以微分控制 u_d 也不能消除被控量的穩態誤差。另一方面，由於微分作用可以放大高頻干擾，影響系統穩定性，因此單獨的微分控制器是不能使用的。另外實際中的微分作用通常是帶有濾波環節的。
積分控制作用
其中 j 是虛數單位。積分控制之所以能夠消除穩態誤差是因為穩定譜點 λ_1 。但是由於兩個不穩定譜點 λ_2 ,λ_3 的存在，積分控制不能單獨使用，需要其它控制作用來抑制積分控制的這一缺點。實際使用中積分的調節參數 k_i 不能太大，否則積分控制的這兩個不穩定譜點會產生超調。
綜上所述，對於二階控制系統來說，單獨使用 P、I、D 的任意一種控制都不能達到需要的控制效果。比例作用可使控制過程趨於穩定，但在單獨使用時，被控量會產生穩態偏差；積分作用能使被控量無靜態偏差，但單獨使用時，會使控制過程變得振盪甚至不穩定；微分作用能克服系統的大慣性，但被控量也會產生穩態偏差。此外微分還有放大高頻干擾的作用，因此也不能單獨使用。由於三種作用各具特點，所以目前工業上常採用 P、I、D 的組合來設計控制器。
註記：
通過 (2.9) 可以看出：k_p , k_i 和 k_d 對系統譜點的影響是非線性的。因此，P、I、D 三種作用是互相滲透、甚至是彼此矛盾的。這一點和實際應用是相吻合的，PID 的參數調節經常會出現顧此失彼，出現按下葫蘆又起瓢的情況。從數學上看，系統的譜點決定了系統的性能。所以 PID 參數設置的奧妙應該隱藏在非線性方程組 (2.9) 中。因此，我們有可能利用非線性方程組 (2.9) 將 PID 的參數設置精確化，從而使 PID 參數調節簡單易行。由於 P、I、D 的相互作用，本文獨立地分析它們的性能未必是合理的。儘管如此，我們仍然能從中感覺到 P、I、D 三種作用的大致特點。
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