實數可以分成有理數和無理數兩大類，判斷一個常數是有理數還是無理數是非常困難的。早在二百多年前，Euler 就證明了 e 是一個無理數，然而時至今日，人們仍然不知道 π +e 和 π^e 是否是無理數。自然常數 e 和圓周率 π 一樣, 也是數學中一個重要的常數. 之所以被稱為自然常數, 是因為 e 經常出現在自然界各種增長率和變化率的數學描述中. 它的定義有很多, 常用的有下述極限形式
以及冪級數形式
通過簡單的計算可知 e = 2.71828···. 在歷史上人們感興趣的是, 自然常數 e 是一個什麼樣的數呢? 它是有理數還是無理數? 如果是無理數的話, 又是代數的無理數還是超越數?
1744 年, 瑞士大數學家歐拉 (Euler, 1707-1783) 首先證明了 e 是無理數. 應讀者要求，這裡我們給出 e 是無理數的一個證明。證明過程簡單而巧妙，數學之美在這裡體現的淋漓盡致。更為幸運的是，證明過程是非常初等的，以至於絕大多數人都有機會享受到數學的美妙。
假設 e 是有理數 p/q，這裡 p 和 q 是整數，則由 (1.47) 可知
顯然上式左端是整數，並且等式的右端的前幾項（j ≤ q 的項）也是整數，所以剩餘的項
也是整數。但是，我們不難證明
矛盾！這裡我們用到了無理數和超越數理論中的一個強有力的原理：非零整數的絕對值至少為 1.
關於無理數的判斷問題，數學中還有幾個有趣而神秘的猜想。所謂神秘是指它竟然和黎曼猜想中的 ζ 函數有關。目前，人們已經知道 ζ(3),ζ(5),ζ(7),··· 中有無窮多個無理數，而且多數數學家堅信所有的這些數都應該是無理數，然而對於某一個確定的 ζ(k),k 是奇數，人們仍然無法嚴格判斷它是否無理。現在能夠嚴格證明的結果是：ζ(3) 是一個無理數。
要想感受無理數的神秘, 我們還需要了解比無理數更加“無理”的超越數。1844 年，人們首次發現了超越數的存在。自然常數 e 的超越性是法國數學家厄爾米特在 1873 年首先證明的。在有關數的研究史上, 這是一項了不起的成就, 它極大的推動了超越數論的發展, 為以後 π 的超越性證明奠定了基礎. 和無理數類似，超越數竟然也和 ζ 函數有著密切的關係。ζ(2),ζ(4),ζ(6),··· 都是超越數。也就是說，ζ 函數在正整數上的取值全體，竟然是無理數和比無理數更加“無理”的超越數，實在是巧妙至極，或許打開黎曼猜想大門的鑰匙，就隱藏在無理數和超越數中。
超越數理論中也有很多漂亮的問題，這裡僅給出一個“簡單”而有趣的猜想（四指數猜想）, 如果哪位同學願意通過腦力發財致富，嘗試解決這一問題不失為一個好的選擇之一。如果 a1 ,a2 是兩個線性無關的複數，b1 ,b2 也是兩個線性無關的複數，則
中至少有一個是超越數。
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