什麼是 Fibonacci 數列？
自抗擾控制技術的核心是擴張狀態觀測器 (ESO) 。而 ESO 的參數選取在工程控制中起著至關重要的作用。在《自抗擾控制技術-估計補償不確定因素的控制技術》一書中，韓京清老師發現：ESO 的參數整定與 Fibonacci 數列有著密切的聯繫。那麼，什麼是 Fibonacci 數列？它有哪些性質呢？
讓我們從下面的一個有趣問題談起: 小明一步可以登上一個臺階，也可以一步登上兩個臺階。問：他登上 n 個臺階的方法有幾種？
解答: 假設他登上第 n 臺階的方式有 F_n 種，則 F_1 = 1, F_2 = 2。若小明第一步登上第一個臺階，則他有 F_{n−1} 種方法登上第 n 個臺階；若小明第一步登上第二個臺階，則他有 F_{n−2} 中方法登上第 n 個臺階。所以
其中 F_0 = 1.
數列 {F_n } 便是 Fibonacci 數列. 斐波那契這個詞是中世紀意大利著名的數學家 Leonardo of pisa(1175-1250) 的綽號. Fibonacci 數列又稱黃金分割數列, 它不僅具有許多奇妙的數學性質，而且在現代物理、植物學、準晶體結構、化學等領域都有直接的應用。例如很多植物的花瓣數都是Fibonacci 數列中的一個數, 是巧合還是必然？這是一個難以回答的問題.
Fibonacci 數列的通項公式
首先, 我們通過生成函數法來尋找 Fibonacci 數列 {F_n } 的通項公式, 這一方法在計數組合中是一個不可或缺的工具. 定義冪級數:
Fibonacci 數列的性質
對於 Fibonacci 數列，它有著很多有趣的性質。其中最引人注意的便是它和黃金分割率的關係。在線段上 AB 上取一點 C 滿足:
稱 φ 為黃金分割率。計算可知:
解之可得:
華羅庚教授廣泛提倡優選法—如何省時省力去求區間上單峰函數的極值便是黃金分割的一個經典應用例子。這裡我們考慮 Fibonacci 數列 F_n 的相鄰兩項的比值F_n+1/F_n.
既然韓老師已經在實踐中發現 Fibonacci 數列和 ESO 的參數有很有意思的規律，那麼在數學理論上我們應該能夠找到一個合理的解釋。又或者有沒有數列對應滿足各階擴張狀態觀測器參數整定條件？作者猜測和函數的逼近有關。期待大家的想法。
最後我們以下面的一個有趣的曲線來結束本次內容。
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