如何準確得到有用的全等圖形？先找找有沒有對稱軸這條線段

基本圖形分析法中，將全等三角形分為四類：軸對稱型、中心對稱型、旋轉型、平移型。針對不同的圖形，採用不同的基本圖形分析方法。今天的例題也是運用軸對稱型的分析方法進行解述，不同於以往在三角形中，這次的兩道例題都是在正方形中，那麼該如何看清圖形，添加輔助線？如何明白什麼情況下用什麼性質？接下來就一起看看吧

例13 如圖：5-34，已知：E是正方形ABCD的對角線AC上的一點，CE=CB，過E作EF⊥AC交AB於F，求證：AE=EF=FB。

圖5-34

分析：由AC是正方形ABCD的對角線，可得∠CAB=45°，而已知∠AEF=90°，就可得△AFE也是等腰直角三角形，於是AE=EF，從而只要證明EF=BF，由於FE⊥AC，FB⊥BC，所以要證明相等的這兩條線段EF、BF就成為F到∠ACB的兩邊的距離，從而F點就應在∠ACB的角平分線上，或者也就是EF和BF這兩條相等線段是關於∠ACB的角平分線成軸對稱，從而就可以通過添加軸對稱型全等三角形的方法進行證明。由於已知圖形中沒有對稱軸，所以可將對稱軸添上，即聯結CF（如圖5-35）。那麼由CE=CB、CF=CF和∠CEF=∠CBF=90°，就可證明△CFE和△CFB全等。

圖5-35

本題的分析在證明了AE=EF後，接下來的分析也可從條件CE=CB開始，由於這兩條相等的線段具有公共的端點C，所以它們可組成一個等腰三角形，而現在這個等腰三角形只有兩條腰而沒有底邊，所以應先將底邊添上，也就是聯結EB（如圖5-36），即可得∠CEB=∠CBE，而已知∠CEF=∠CBF=90°，所以∠FEB=∠FBE，也就可以證明EF=BF。

圖5-36

圖5-37

分析：由條件BC是半圓的直徑，所以要應用半圓上的圓周角的基本圖形的性質進行證明。由於已知圖形中有直徑，有半圓上的點E，而沒有圓周角，所以應將圓周角添出，即聯結BE（如圖5-38），得∠BEC=90°，而已知C、E、P成一直線，所以∠BEP=90°，由條件∠BFP=90°，這樣要證明相等的這兩條線段PE和PF就成為P到∠EBF的兩邊的距離，P點就應在∠EBF的平分線上，也就是PE和PF這兩條相等的線段是關於∠EBF的平分線成軸對稱的，從而就可以添加軸對稱型的全等三角形進行證明。由於已知圖形中沒有對稱軸，所以可先將對稱軸添上，也就是聯結BP（如圖5-38），然後就應證△BPE和△BPF全等。在這兩個三角形中，現在已有BP=BP和∠BEP=∠BFP=90°，所以還需要一個條件。

圖5-38

如考慮證∠PBE=∠PBF，則由∠ABC=90°和BC分別是半圓、弧BD的直徑和半徑，可得AB是弧BD和半圓的切線。而BP、BE分別是過切點的弦，所以可應用弦切角的基本圖形的性質進行證明，也就是可分別得到∠FBP=1/2·∠BCP，∠FBE=∠BCE，從而就可以證得∠FBP=∠EBP。（如圖5-39）

圖5-39

如考慮證∠BPF=∠BPE，則由PF⊥AB，CB⊥AB，可得∠BPF=∠CBP，而由CP=CB，又可得∠BPE=∠CBP，分析也就可以完成。

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