一個公式玩轉勾股數（上）

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作者 | 王至宏

廣州大學數學系

▎勾股定理

公元前1000多年，商高答周公曰：“勾廣三，股修四，徑隅五。既方之，外半其一矩，環而共盤，得成三四五。”故而，勾股定理又稱“商高定理”。

2002年數學家大會會標

從第一組勾股數發現至今，已過去3000多年。

對勾股數，你真的瞭解嗎？

會標上的勾股定理

舉個例子，請寫出所有包含12的勾股數。

經過計算，容易求出這四組

[5,12,13]

[9,12,15]

[12,16,20]

[12,35,37]

但包含12的勾股數只有這4組嗎？

此外，平時遇到的互素勾股數中，總有一個是4的倍數，且最大數與該數求和作差，結果都是平方數。

例如

[3,4,5]，5+4=3²，5-4=1²

[7,24,25]，25+24=7²，25-24=1²

[8,15,17]，17+8=5²，17-8=3²

[9,40,41]，41+40=9²，41-40=1²

是巧合還是一般規律？

如果有普遍的勾股數公式，這類命題就可以輕鬆論證了。

下邊就來說說，公式應該怎麼求。

勾股樹

▎勾股數公式

早在古希臘時期，歐幾里得就已經給出了勾股數公式。

而公式的證明，用初中知識就足夠了。

很多時候，公式定理怎麼得來，比怎麼證明更加重要。

▎公式怎麼求

公式的產生，有兩種方法最常見。

一、直覺

說到公式直覺，就不得不提到，印度一千年來最偉大的數學家——拉馬努金。

他沒受過正規的高等數學教育，沉迷數論，慣以直覺導出公式，不喜作證明（事後往往證明他是對的）。

他留下的那些沒有證明的公式，引發了後來的大量研究。

電影《知無涯者》

他有很強的直覺洞察力，雖未受過嚴格數學訓練，卻獨立發現了近3900個數學公式和命題。

拉馬努金恆等式

他經常宣稱在夢中娜瑪卡爾女神給其啟示，早晨醒來就能寫下不少數學公式和命題。他所預見的數學命題，日後有許多得到了證實。

直覺是學識，閱歷，人生經歷等在一瞬間集合之後發生的反應。影響因素很多，通常還需要一萬小時的刻意練習。這裡重點介紹尋找公式的第二種方法。

二、合情推理

那美女歸，林柳綠呀！（鈉鎂鋁硅，磷硫氯氬）

初高中挖空心思背的元素週期表，都要歸功於門捷列夫”玩”的一手好牌。

據說門捷列夫從小愛玩撲克牌，經常牌不離手。

有一回，他在撰寫《化學原理》時，遇到了難題。為了尋找元素的科學分類方法，不得不研究有關元素之間的內在聯繫。

正在思考，請勿打擾

他埋頭在圖書館裡夜以繼日地閱讀、思考，並琢磨出一套特殊的“撲克牌”來幫助尋找元素之間的規律。

有一天，門捷列夫又旁若無人地擺弄起“紙牌”來了，擺著，擺著，他像觸電似的站了起來，在他面前出現了完全沒有料到的現象，每一行元素的性質都是按照原子量的增大而從上到下地逐漸變化著。

這一天，元素週期律被發現了。

巧合往往受原理支配，合情推理就是透過巧合尋找原理的過程。

合情推理的大致過程

把勾股數放在一起會出現什麼規律？

▎勾股規律

初中經常遇到這幾組勾股數，觀察規律：

信息預處理

其中c-b總為1或2，把差為2的勾股數同除以2，再重新排列

調整排列

這時，規律比較明顯了

a逐行增1，依次為：3,4,5,...

b相鄰行作差，差值增1：3.5,4.5,5.5,...

c與b類似

根據規律，正推和逆推，補充式子

新添的式子也都成立

猜想：按規律遞推下去，等式始終成立。

根據小學“找規律”題的套路，易得

於是

通過公式，可以生成無窮多勾股數，但未必可以生成所有勾股數。

猜想：公式[a_n,b_n,c_n]遍歷正整數，再同乘一個整數可以得到所有勾股數。

很快，就遇到了例外：

[20,21,29]不能由遞推式生成。

但如果n不取整數，令n=2.5

得

再同乘以8，也可以得到[20,21,29]

原公式有缺陷，需要改進，繼續觀察：

公式中，a為一次齊次函數，b和c為二次非齊次函數，缺少對稱美

把常數1改為變元m，增加公式的對稱性：

新公式中，abc均為二次齊次多項式

此時，新公式仍滿足勾股定理，實際上這就是我們要找的公式。即公式中，m，n跑遍正整數時，可跑遍所有互素勾股數。

P.S. 這是初二時做的探究，過程可能比較囉嗦，但剛好體現了合情推理的過程。

▎回到問題

得到勾股公式（未證），再回顧最開始的兩個問題。

1. 互素勾股數[a,b,c]中，總有一個為4的倍數，不妨設為b，最大數為c，則c±b均為平方數。

2. 求包含12的所有勾股數。

公式中

∵b，c為整數

∴m，n同奇偶且m

命題1：

①若m，n同為偶數，則4 | a

且此時[a,b,c]有公因子2。

②若m，n同為奇數

設m=2k+1,n=2t+1，則

又∵c-b=m²

c+b=n²

即c±b為平方數，命題1成立。

命題2的一般形式是，

公式的證明及應用，下一篇再繼續討論吧。

* 本文作者王至宏，廣州大學數學系大四學生，好玩的數學實習作者。歡迎更多人加入到數學科普寫作的隊伍，好玩的數學給你一個展示才華的平臺。

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