愈來愈喜歡課本上的小字部分（探究與發現），因為一位同事的疑問，我看了看人教A版選修1—1，第36頁的探究與發現中提到“為什麼截口曲線是橢圓”，一發不可收拾，實際上也過去了好長時間，一有空閒時間，我便研究這類問題，現分享給大家。
生活中有太多這樣的現象，當我們從茶壺中往水杯中倒水時；當我們喝水時，把水杯傾斜時；當我們斜方向砍下竹子時，都可以的到截面是橢圓的形狀。
也就是說，當截面與圓柱面的軸垂直時交線是一個圓，當截面與圓柱面的軸成銳角時，交線為橢圓。
為什麼是橢圓？如何證明？為了解決這個問題，我們先來看一個平面圖形。
顯然平面與圓柱面的截線是橢圓。利用上面的結論，我們猜想兩個球與斜截面的切點可能是橢圓的兩個焦點。
接下來我們證明：
將兩個球嵌入圓柱內，使它們分別位於斜截面的上方和下方，並且與圓柱面和斜截面均相切，這種解決問題的方法是比利時數學家 Dandelin 創立的，所以這兩個嵌入的球被稱為Dandelin 雙球。
接下來，我們來看一道高考題：（忘了哪一年的了，記得是浙江卷）
解析：面積為定值即點P到線段AB的距離始終不變，是個定值。而我們知道在空間上到一條線段距離為定值的點的軌跡是個圓柱面，於是等價於考慮一個圓柱面被一個不與該圓柱的軸線垂直的平面所截得的截面的邊界是什麼圖形的問題，由上面的分析可知軌跡是一個橢圓。
我們接著在看一道，地面放置一個球，陽光與地面所成角為60°，求球在地面上投影的離心率。
當一束平行光線向一隻球投射時，光線經球后被遮擋住的空間區域是一個圓柱，此時，便可以把地面看作一個與光線所成的角是60°的截面。於是，這就轉化為上面的斜截面截圓柱面問題，所得的截面的邊界顯然就是橢圓了。
當然，我們也可以藉助於橢圓的面積來解決這一問題。
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