“對任意給定的大於1的自然數n，必然存在非負整數k＜n，使得自然數n＋k與n－k同為素數！”
這個命題其實就是哥德巴赫猜想，雖然一般並不採取如此的表述方式。
哥德巴赫猜想認為“任意一個大於2的偶數，都能表示成兩個素數之和。”
如果2n是任意給定的大於2的偶數，並且總存在非負整數k使得n＋k與n－k同為素數，於是必有2n＝(n＋k)＋(n－k)。從而哥德巴赫猜想成立。
顯然，如果n＋k是素數，那麼n＋k必不能為不大於√(n＋k)的素數整除；如果n－k是素數且n－k≠1，除非n－k是不大於√(n－k)的素數，否則n－k不能為不大於√(n－k)的素數整除。
我們可以斷言：
如果n＋k與n－k不能為所有不大於√2n的素數整除，並且n－k≠1，那麼n＋k與n－k必同為素數。
設p(x)是一個不大於√2n的素數，再設非負整數d(x)＜p(x)並且有n≡d(x) (mod p(x))，也即p(x)除n的餘數為d(x)。
- 當k≡p(x)－d(x) (mod p(x))時，必有n＋k為p(x)整除，也即n＋k≡0 (mod p(x))；
- 當k≡d(x) (mod p(x))時，必有n－k為p(x)整除，也即n－k≡0 (mod p(x))。
於是：
如果k≡p(x)－d(x) (mod p(x))以及k≡d(x) (mod p(x))均不成立時，則n＋k與n－k都不能為任意不大於√2n的素數整除；進一步，如果n－k≠1，則n＋k與n－k必同為素數且n－k＞p(x)。
不妨設p(m)是自然數中的第m個素數，並且p(m)是不大於√2n的最大素數。
因此，如果在0～n－2中，存在一個非負整數k，使得k≡p(x)－d(x) (mod p(x))以及k≡d(x) (mod p(x))對於任意p(x)≤p(m)均不成立，則必有n＋k與n－k同為素數。
在0～n－1這n個數中任取一個數k，數k使得k≡p(x)－d(x) (mod p(x))與k≡d(x) (mod p(x))均不成立的概率是多少呢？不妨記這個概率為P。
我們不難知道：
- 當p(x)=2時，這n個數中有約1/2滿足條件；
- 當p(x)=3時，這n個數中至少有約1/3滿足條件；
- 當p(x)=5時，這n個數中至少有約3/5滿足條件；
- 當p(x)=7時，這n個數中至少有約5/7滿足條件；
- 當p(x)=11時，這n個數中至少有約9/11滿足條件；
- …………
- 當p(x)=p(m) (m＞1)時，這n個數中至少有約(p(m)－2)/p(m)滿足條件。
於是必有：
P＞1/2·1/3·3/5·……·(p(m)－2)/p(m)
＝1/2·∏(p(i)－2)/p(i) (i取2至m)
從而必有：
nP＞n·[1/2·1/3·3/5·……·(p(m)－2)/p(m)]
＞n·1/2·1/p(m)
＞n/2·1/√2n
＝√2n/4
如果n≥32，必有nP＞2，也即在0～n－1這n個數中必有2個以上的自然數k，使得n＋k與n－k不能為任意不大於√2n的素數所整除；也即至少有1個以上的自然數k，使得n＋k與n－k同為素數。
而1＜n＜32時，命題的成立顯然。
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