2018-09-30 20:43:10 佚名

丈量新世界

今年我家孩子上大學。暑假裡我給他講了一下微積分的本質。我給自己設定的要求是沒有一個公式，而且中學生都能聽得懂，我是這樣講的：

求一個直角三角形的高，可以通過底長和夾角來推算，但如果三角形是一個曲邊的呢？再用加角和底邊兒推算就會產生很大的誤差。

那該怎麼辦呢？不妨曲邊三角形分成三段，形成三個藍色直角三角形的，再通過它們夾角和底長推算數三個小高度，這三個小高度就叫做“微分”。

然後，將這三個微分累積起來，就叫做“積分”，這個積分就是我們所求的曲邊三角形的高度。

問題來了，這三個藍色直角三角形的高度，其實是低於實際高度的，會有一個紅色的小誤差。

如何將這個誤差消除呢？如果分成更多段，形成更多的藍色直角三角形，那麼這個紅色的誤差就會快速縮小。

如果分成無窮多段，形成無窮多個藍色直角三角形，那這個紅色的小誤差就會消失。

所以說微積分的本質就是：通過無窮小來求總和。

這算不算史上最容易理解的微積分科普？

先不忙誇我，這個例子及其說法是我從中國科學院林群院士那裡偷學來的。

這個問答可是有院士背書啊😄請大力點贊評論和轉發！

奧卡姆剃刀

小學時候我們就學過圓的面積公式

其中S是圓的面積，π是圓周率，R是圓的半徑。大家還記得這個公式是怎麼得到的嗎？

首先，我們畫一個圓，這個圓的半徑為R，周長為C。我們知道，圓的周長與直徑的比定義為圓周率，因此

這個公式就是圓周率π的定義，是不需要推導的。

然後，我們把圓分割成許多個小扇形，就好像一個比薩餅分割成了很多小塊。再然後，我們把這些比薩餅一正一反的拼在一起，這樣就形成了一個接近於長方形的圖形。

可以想象，如果圓分割的越細，拼好的圖形就越接近長方形。如果圓分割成無限多份，那麼拼起來就是一個嚴格的長方形了。而且，這個長方形的面積與圓的面積是相等的。我們要求圓的面積，只需要求出這個長方形的面積就可以了。

這個長方形的寬就是圓的半徑R，而長方形的長是圓周長的一半

根據長方形的面積公式“長方形面積=長乘寬”，我們得到圓的面積公式：

其實，這個推導過程很簡單，那就是先無限分割，再把這無限多份求和。分割就是微分，求和就是積分，這就是微積分的基本思想。

大家知道微積分是誰發明的方法嗎？

其實，從古希臘時代開始，數學家們就已經利用微積分的思想處理問題了，比如阿基米德、劉徽等人，在處理與圓相關問題時都用到了這種思想，但是那時微積分還沒有成為一種理論體系。直到十七世紀，由於物理學中求解運動-如天文、航海等問題越來越多，微積分的需求變得越來越迫切。於是，英國著名數學家和物理學家牛頓和德國哲學家和數學家萊布尼茨分別發明了微積分。

1665年，牛頓從劍橋大學畢業了，當時他22歲。他本來應該留校工作，但是英國突然爆發瘟疫，學校關閉了。牛頓只好回到家鄉躲避瘟疫。在隨後的兩年裡，牛頓遇到了他的蘋果，發明了流數法、發現了色散，並提出了萬有引力定律。

牛頓所謂的流數法，就是我們所說的微積分。但是牛頓當時並沒有把它看得太重要，而只是把它作為一種很小的數學工具，是自己研究物理問題時的副產品，所以並不急於把這種方法公之於眾。

十年之後，萊布尼茨瞭解到牛頓的數學工作，與牛頓進行了短暫的通信。在1684年，萊布尼茨作為微積分發明第一人，連續發表了兩篇論文，正式提出了微積分的思想，這比牛頓提出的流數法幾乎晚了20年。但是在論文中，萊布尼茨對他與牛頓之間通信的事隻字未提。

牛頓憤怒了。作為歐洲科學界的學術權威，牛頓通過英國皇家科學院公開指責萊布尼茨，並刪除了鉅著《自然哲學的數學原理》中有關萊布尼茨的部分。萊布尼茨也毫不示弱，對牛頓反唇相譏。兩個科學巨匠的爭論直到二人去世依然沒有結果。所以我們今天談到微積分公式，都稱之為“牛頓-萊布尼茨公式”。

他們在自己的著作中刪除對手的名字時，如果知道後人總是把他們的名字放在一塊寫，又會作何感想呢？歷史就是這麼有趣。

為了讓大家更瞭解微積分和它的應用，我們再來計算一個面積：有一個三條邊為直線，一條邊為曲線的木板，並且有兩個直角。我們希望求出木板的面積。

為了求出這個面積，我們首先把木板放在一個座標系內，底邊與x軸重合。左右兩個邊分別對應著x=a和x=b兩個位置，而頂邊曲線滿足函數y=f(x).函數的意思就是一種對應關係：每個x對應的縱座標高度是f(x)。

如果我們把這個圖形使用與y軸平行的線進行無線分割，那麼每一個豎條都非常接近於一個長方形，而且長方形的寬是一小段橫座標Δx，高接近於f(x)，所以這一小條的面積就是f(x)Δx。

現在我們把無限多的小豎條求和，就是板子的面積，寫作

其中a叫做下限，b叫做上限，f(x)叫做被積函數，這個表達式就是積分，表示f(x)、x=a、x=b和x軸四條線圍成的圖形面積。

怎麼樣？雖然微積分的計算比較複雜，但是明白原理還是十分簡單的，對不對？

李永樂老師

微積分的本質可以從物理上求速度和位移來說明！

首先，說微分。沒有這個概念以前，高中物理最多敢講授勻變速運動。唯一涉及到變加速運動還是在功裡面，通過汽車加速過程中，通過不斷增加檔位，減小牽引力，提高速度，最終達到勻速。大學裡面解決這一問題就簡單了，我們可以假設如上圖的，如果

t2—t1無限趨緊於0，則這時：

v＝ds／dt，即由上圖的平均速度變成了瞬時速度，這就是求位移對時間的導數。可見，小夥伴再也不是隻能計算勻速、勻變速運動了，任何運動都可以用導數來計算。總結來說，就是微分就是如果我們將複雜的變加速運動速度，分割成很多的極短時間的勻速運動，就可以計算出物體各個時刻的速度了。

其次說積分。沒有積分以前，我們也只能通過運動學公式計算勻速或者勻變速物體的位移。而有了積分我們面對變速運動也可以通過計算每一段不同速度的位移再加起來就可以了。

如上圖所示，只要我們把每一段的時間的位移進行疊加，就可以近似得到總的位移。分的時間段越小，最後疊加以後就越接近真實的位移。因此，變速運動的位移也就通過積分得到解決了！

總之，微積分的出現使人類認識世界和改造世界的能力大大提高！

地震博士

很高興回答你的問題。

說到微積分，我覺得這是我們接近世界本質，所邁出的第一步。

為什麼這麼說呢？因為，如果數學還停留在算個橫平豎直、矩形三角的面積的話，那麼離應用真的是差太遠了。

數學是什麼？

一個工具，如果說物理是在探究這個世界的一些規律和原理的話，那麼數學就是物理的語言。

如果沒有微積分，這個語言就幾乎失去了價值。這個世界其實沒有那麼多稜角，連隨便一塊石頭，都有風、水和歲月的侵蝕，來把稜角打磨。那麼微積分就是打開了通向這個“圓滑”的世界的大門；除此之外，這個世界還是多變的，雖然說“你不可能踏入同一條河流兩次”這樣的觀點太唯心，但是正是這樣的思想告訴了我們一個道理：

這個世界變化太快。

而微積分給了我們去跟上變化的資本。

萬變不離其宗，你怎麼變，我都可以去積分積出來。

用哲學的角度看：

積分是看到了量變產生的質變。

微分是放大絲毫的變化，讓你不被任何一個“平滑掉”的數據，矇蔽雙眼。

微積分，讓我們有可能看清世界。

如果覺得有用，您就給點個贊、粉個好友唄。

大約花費0.3KB的流量，哈哈哈哈哈。

畢竟，我辣麼萌~

不哈韓的小韓

簡明扼要的分享。微積分的任務是：用極限方法計算與曲線相關的問題。例如：計算曲線的斜率，計算曲邊形的面積。

典型的極限公式：當x→0, lim sinx/x=1, 其中，x是弧度兼弧長。意思是說，在一個單位圓上，弧長x越短，縱軸投影長sinx就越接近x。

當x=π/2=1.57，sinπ/2=1，sinx/x=0.64。

當x=π/6=0.52，sinπ/6=0.5，sinx/x=0.96。

當x→0, 即x≈0，sinx/x=1，即sinx=x。

這相當於，當等腰直角三角形的斜邊足夠小時，該三角形就視同一個等邊三角形。

原來的曲線就逼近了直線。這就是

用極限方法“變曲為直”的微積分思維的本質。

物理新視野

微積分的本質這個問題，我在年輕的時候就做過長時間的思考。因為我想在我自己的研究中把它的本質思想融入進去。除其形式外主要考慮的是其與物理世界的本質聯繫。想通這個本質，就能理解為什麼微積分在物理上有如此眾多的應用。

先從定積分說起。它在形式上是乘積的累加然後取極限。這個乘積是函數值乘以一個區間的微小分割，有何物理意義？首先常數的乘法在物理上多可以用來表示一個強度乘以一個作用範圍(廣度)得出一個作用結果值。例如一個恆定力作用於一段距離，乘積為功。此時的強度是均勻作用於其廣度上的，因此計算用常數的乘法很簡單。但是考慮如果在一個可無限細分的廣度範圍內，強度的作用是處處不一樣的，那麼其作用結果怎樣計算？此時人們想到先求其近似值的一般形式: 也就是對此廣度作若干分割，分割比較細時，每個分割內取一個強度值作為平均代表，乘以這個小的廣度值，得到一部分的作用結果近似值。然後再累加所有結果值的近似作用量得到近似的總量。最後利用極限的方法把近似和逼近到所謂的精確值。這個結果就是定積分。那麼定積分的物理本質意義就是可變強度在其作用廣度上的作用效果總值的極限精確計算。

微分和導數的意義可以反過來理解。考慮一個廣度範圍上一個因可變強度累計作用而得的效果值，因廣度累計的不同，作用累計的值可以是非正比例的。那麼求導數的過程和上面的相反，先細分一個小廣度區域，用兩個不同的累計值相減，得出一個小範圍的作用值，除以小範圍的廣度量，得出近似的平均強度值，再讓該小廣度範圍逼近0，取極限就得到該“點”上的真實強度值。所以導數的物理本質是由累計效應求出局部強度。速度是距離的強度，壓強是壓力的強度。都是例子。可以有作用量求導得出。而微分是導數再乘以小的廣度細分值(廣度的微分)，得出微化的局部近似作用總量。

這樣就有助於那些已經學了微積分的人更好理解了。

然而筆者進一步提出一個問題？作用值都是強度與廣度的代數乘積嗎？局部的作用效果的合成都是用加法計算嗎？物理學得好的同學可以直接回答不！例如電阻的並聯就不是加法。

因此筆者基於同樣的思想，嘗試把代數四則運算和微積分都做進一步上升，得到一個新的數學系統。我把它成為《同構數學分析》。

最後微積分真的是一切研究計算的基礎

小豬愛學習

微積分的本質是什麼？能否用通俗易懂的語言表達？

微分和積分的本質必須合起來講，才有可能通俗易懂；要是分開來講，反而變抽象了。

我們不妨以事物在時間中產生變化為例。積分相當於是指事物經歷時間後產生的總變化量，微分則相當於指事物在每一個剎那的微小變化量。因此，積分顯然是由微分累積而成的。所以這個道理其實只是一個非常簡單的常識，可以歸納為一句話：

一段時間的總變化量，是由這段時間中的每個剎那的變化量累積而成的！

這是不是簡單到跟廢話沒有差別？的確就是這麼簡單。

我們將總變化量切分成一份一份（由時間來衡量的話，就是一剎那一剎那）的變化量的過程叫做微分

；而將一份一份的變化量累積出總變化量的過程叫做積分。

我們要特別注意到，這裡有一個難點：

每個剎那的變化量，或者說每一份微分其實基本都是不同的，因為每個剎那的變化率在絕大多數情況下都不是均勻的（否則我們就不需要微積分了）。
就像我們開車時，由於每個剎那的實際速率其實都是不同的，導致每個剎那的位移量也有大小不同。

因此，我們就必須能找到辦法來計算每一份微分，然後能通過微分來計算積分。這就是微積分所要完成的總任務。

微積分的本質，事實上徹底體現在一個數學公式，被稱為“微積分基本定理”，又稱為“牛頓-萊布尼茲公式”：

這個公式如果能夠理解的話，其實就等於徹底理解了微積分思想的全部。剩下的就只是對微分與積分規則的技術性掌握了。既然是談本質，我們這裡就不談技術性問題了。

這個公式涉及到兩個函數，一個是f(x)，一個是F(x)。至於什麼是函數，不懂的話得自己去自學，畢竟這屬於初高中的知識，否則得通俗到從小學講起了。

在這個公式中，F(x)可稱為f(x)的一個原函數或者不定積分

。F(x)在x點上的變化量，也即在x點時的微分，我們標記為dF(x)；它是在x點的變化率也即f(x)與該點發生的微小變化量dx的乘積，也即dF(x)＝f(x)dx。所以f(x)＝dF(x)/dx，因此f(x)又稱為F(x)的導數函數。

假設有一個事物在運動，我們不妨將函數f(x)理解為記錄該事物的速度關於時間的函數，而將F(x)理解為該事物的位移關於時間的函數。於是dF(x)＝f(x)dx的意思其實是指x剎那時的微小位移量，等於x剎那時的速率與該剎那時間的乘積。

如果初始時刻是a，而末了時刻是b，則時間的自變量x就從a變化到了b。於是F(b)－F(a)顯然就是指從時刻a到時刻b，事物的位移量，也即f(x)在這個時間段的定積分。它是怎麼計算出來的呢？它是從時刻a到時刻b的每一份微小位移（微分）累積而成的總位移量(積分)。

明白了上述道理後，我們會發現，如果我們掌握了計算微分以及積分的基本規則，我們也就有辦法計算變化率不均勻事物在運動變化中的瞬間變化率(導數)，瞬間變化量(微分）以及積累的總變化量(積分）的根本辦法。這顯然就更加對應現實世界了。

思想真正掌握了，再具體去熟悉計算規則，微積分也就不見得有多少難度了。

建章看世界

通俗地說，“微積分”三個字，顧名思義，就是無限分割之後再無限累加，很好理解，是大學裡所有自然科學專業的必修基礎課，在數學系叫做“數學分析”，在其他系叫做“高等數學”，是理科生考研的重頭戲，看似深奧，其實並不難，小學、中學的數學、物理都用到了微積分的思想。

小學算術，圓形面積計算，就是從圓心到圓周做許多輔助線，把圓形平均分割成許多圓心角很小的扇形，再把這些扇形相互交錯地拼接成近似的矩形，分割得越細，拼接出的圖形就越接近於矩形，當無限分割時，拼接出的圖形就是矩形，這其實就是所謂的微積分，矩形的長等於圓形周長的一半πr，矩形的寬等於圓形的半徑r，因此矩形的面積為πr²，也就是圓形的面積。

高中立體幾何，球體體積計算，我上學時用的教科書，是將球體平行分割成許多圓臺，兩個最邊上的看做近似的圓錐體，不過我覺得這種方法不好，推導過程太麻煩，不如從球心到球體表面做許多輔助線，把球體分割成許多頂角很小的近似的錐體，所有錐體的底面積之和等於球體的表面積4πr²，錐體的高近似等於半徑r，和前面的圓形面積同理，分割得越細，錐體的高就越接近於半徑，當無限分割時，錐體的高就等於半徑，因此球體的體積為4πr³／3，我覺得這樣推導體積公式簡單得多，用微積分的專業術語來說，球面積分比直角座標積分簡單，不過上中學時不敢違抗課本和老師，呵呵。

高中物理，力學裡的加速度，就是速度的導數，只不過高中沒有正式學過微積分，只能用初等數學的方法，所以說，大學裡的普通物理，其實比中學物理容易，大學的高等數學，也比高中數學容易，就像用初中代數做《九章算術》裡的“雞兔同籠”一類的題，比用小學算術去做要簡單一樣。