數學的雙重身份：藝術與科學

在一定程度上，這當然只是一種約定俗成。可是要人們同意這些複數具有與實數一樣的存在權利，而不把它們視為只是得到實數的一種工具，這卻並非易事。當時，實數還沒有嚴格的定義，但是數學與測量或實用計算之間的關係使實數具有某種實在感，儘管認識無理數和負數還有困難。可是，複數的情形卻不一樣。這是在嶄新的方向上走出的一步，提出了一個純理論的創造，當數學家習慣了這個新步驟以後，他們開始認識到，以函數，例如多項式、三角函數等進行的許多運算，如果允許變數和函數值取復值，這些運算仍然有意義。這就是複分析和函數論開始的標誌。早在1811年，數學家Gauss就曾指出制定這樣一種理論有其自身的必要性：“這裡的關鍵不在於實際用處，對我說來，分析倒是一門獨立的學科，如果歧視那些虛構的量，分析就會失去大量的美與靈活。”顯然，連他都未曾預見到複分析後來在實用上，例如在電學或空氣動力學中將要達到的那種魚水關係。

但問題並未到此就了，請允許我再提兩個走向更高抽象的步驟。讓我們回到我們的二次方程。我們可以說，這個方程一般有兩個解，可能是複數。同樣，如果承認複數，那麼n次方程就有n個解。自16世紀以來，人們很想知道，次數至少是五的方程，是否也有一個一般的公式，利用根式由係數來表示它的解。這個問題最後證明是不可能的。有一個證明(按年代說是第三個證明)是法國數學家E.Galois在一種更般理論的框架內提出的，這種理論當時沒有得到人們的理解，隨後也就置諸腦後了。他的觀點是那麼新穎，所以大約過了十五年，才有很少幾個人重新注意到他的工作，克服了很大困難才弄懂。

對於已知的方程，Galois考慮它的根的置換構成的某個集合，說明這個置換集的某些性質是起決定作用的。這樣，便開始了對這種置換集進行獨立的研究，這種置換集後來稱為Galois群。Galois證明：一個方程如果可以用根式求解，相應的Galois群必須屬於一定的類，即Galois群是可解群，這個名稱是後來起的。上面提到的關於方程次數至少為五的那個定理就是下述事實的一一個推論：相應於一般的n次方程的Galois群，只有在n=1，2，3，4時才是可解群。這種群的所有重要性質，例如可解性，實際上是不依賴於被置換對象的性質的從而產生了“抽象性”的概念以及某些非常重要的定理，可以應用於許多數學領域。但是，多年來這似乎只是純粹的抽象數學。1910年左右，普林斯頓大學一位數學家和一位物理學家在討論課程表的時候，那位物理學家說，他們無疑可以刪掉群論，因為它決不會對物理有用的。設過二十年，出版了三本關於再論與量於力學的書，此後，群也就成為物理學中十分重要的東西了。

下面可以算是一個決定性的例子。我在前面說過，我們可以把複數視為平面上的點。愛爾蘭數學家Hamilton曾經考慮過是否可以就三維空間的點來定義類似的這四種基本運算從而構造出一個更全面的數系。他大約花了十年才找到答案，三維空間是不行的，但四維空間是可以的。我們無須設想這裡的四維空間究竟是什麼，這不過是把實數三元組和實數偶換成了實數四元組的一種說法而已。Hamilton把這些新數叫做四元數。可是，他的確未曾涉及實數或複數的一條性質，即乘法交換律，

a×b=b×a，

這條性質直到當時總是視為當然之理的。他也表明四元數的計算在對物理和力學問題進行數學處理時是有用的。後來，人們又定義了許多別的代數系統，特別是矩陣代數，其乘積是非交換的。這在當時似乎也是一種純抽象的數學形式，與外界毫無關係。可是，1925年，Max Born考慮W.Heisenberg的某些新思想時發現，表達這些思想最恰當的形式系統正好就是矩陣代數；這就使人想到物理量可以用不必交換的代數對象來表示，從而產生了測不準原理，開創了矩陣量子力學，即是對物理量賦於相應的算子，這是量子力學的基礎。

進過最後這個例子以後，我就不打算再說什麼數學論題了。上面這些例子當然是極不完備的，全然不能代表所有的數學領域。可是，這些例子的確有兩個共通的性質，這倒是我想強調的，因為這兩個性質在很多情形都是成立的。首先，這些發展帶頭走上越來越抽象、越來越遠離自然界的方向。其次，實際上是由於自身的理由而發展起來的抽象理論，在自然科學中找到了重要的應用。數學事實上是出奇地適應自然科學的需要(一位物理學家曾經談到“數學的不可思議的有效性”)，這一點值得詳細討論，但遠不是我在這裡所能承擔的。

向抽象程度日益增大的方向過渡，這不一定就是當然之理。諸位從Gauss的那段語錄裡可能已經得到這樣的印象。數學的發展本來是為了實用的目的，例如記賬、測量以及機械裝置；就連17世紀那些偉大的發現，例如微分學與積分學，開頭也主要是作為解決力學、天文學以及物理學的工具而出現的。數學家Euler在所有數學領域及其應用(包括造船)中都曾是活躍人物，他也寫過一些純粹是數論的文章，不止一次地感到須要說明數論同更偏向實用的工作一樣的有道理、一樣的重要。數學當然從一開始就是一種理想化，但是有很長一段時間並不是像前述諸例中那樣遠離實際，或者更確切地說，遠離我們對於實際的感覺認識。隨著數學家沿著這個方向走下去，他們越來越意識到，一個數學概念，只要定義的方式在邏輯上沒有矛盾，就有權存在而無須同物質世界有什麼聯繫：數學家有權研究這個概念，即使手邊似乎沒有實際的應用。一句話，這就越來越走向“純數學”或“自為的數學”。

但是，如果不考慮實際應用的控制作用，馬上就發生瞭如何才能做出價值判斷的問題。肯定地說，並非所有的概念和定理都是平起平坐的；正如在G.Orwell的《動物農場》裡，有些動物一定比另一些動物具有更高的等級，那麼是否存在什麼內在的準則，可以產生某種多少是客觀的等級觀念？諸位可能會注意到，對於繪畫，音樂或一般的藝術也可以提出這個同樣的基本問題，所以這就是一個美學問題。的確，通常的回答是：數學在很大程度上是一門藝術，它的發展總是起源於美學準則、受其指導、據以評價的。對於凡夫俗子說來，如果聽到在數學這樣一門令人毛骨悚然的學科里居然可以談美學準則，往往是會大吃驚的。但是，這種看法在數學家身上是很強烈的，儘管很難解釋：這種美學的準則是什麼？一個定理、一種理論，究竟美在何處？當然沒有任何一種回答可以讓所有數學家都滿意，但是意見一致的程度卻是驚人的，我想，遠不像音樂或繪畫中那樣大的意見紛紜。

我並不希望我現在就一定能把這個問題解釋得詳盡無遺，我是想以後再設法多說一點。現在我只想說，與藝術類比，這是許多數學家都同意的。例如，G.H.Hardy就認為，如果數學有什麼存在權利的話，那就是隻是作為藝術而存在。我們的活動與藝術家的活動有許多共同之處：畫家進行色彩與形態的組合，音樂家把樂音組合起來，詩人組詞，而我們則是把一定類型的概念組合起來。畫家E.Degas有時也寫十四行詩，有一次，他同詩人S.Mallarmé談話時訴苦說，他發現寫作很難，儘管他有很多觀念，實際上是觀念過剩。Mallarmé回答說，詩是詞的產物，而不是觀念的產物，另一方面，我們則主要是搞觀念。

如果想到一個研究者如何工作、如何進步，這種藝術感就更加強烈了：別以為數學家總是按部就班、有條不紊地工作；他往往是在黑暗中到處摸索，不知道是該設法證明某個命題還是否定這個命題；一些重要的思想往往是不期而遇的，甚至他還來不及清楚而合乎邏輯地看出從早期的考慮通向這些思想的途徑。就像對於作曲家和藝術家一樣，應該說這就是靈感。

可是，另一些數學家反對這個觀點，認為搞數學而不以自然科學的需要為指導是危險的，這幾乎肯定要引向一些可能是相當精巧的理論使心靈得到某種特殊的歡娛，但卻只代表一種智力的水平，從科學或知識的觀點來看是完全沒有價值的。例如，數學家J.von.Neumann 1947年曾經寫道：“當一門數學學科遠離它的經驗來源，或者甚至它只是由來自‘實際’的思想間接激發產生的第二代和第三代，這門學科就危機四伏了。它會越來越走向純美學化，城來越純粹地為藝術而藝術……現在有一種巨大的危險：這門學科將沿著那條阻力最小的路線發展……，將會分崩離析，成為許多無足輕重的分支。……無論如何，我覺得，惟一的補救辦法就是恢復青春回到起源，重新注入多少是直接經驗的思想。”

另外，還有些人採取中立態度：他們完全承認數學的美學方面的重要性，但覺得把自為的數學推得太遠是危險的。例如，Poincaré老早就說過：“除此以外，它還像繪畫與音樂一樣，使它的信徒們得到歡快，他們讚美數與形那種奇妙的和諧；當一個新發現向他們展現出一片意想不到的景色時，他們為之驚訝；他們感受到的歡樂，即便不說有什麼意義，難道不具有一種美學特徵嗎？……因此，我毫不猶豫地說，自為的數學是值得耕耘的，我是說，不能應用於物理學的那些理論，像其他理論一樣值得耕耘”。但是，再往後翻幾頁，他又回到這種比擬，補充說：“如果允許我繼續拿這些優美藝術作比，那麼把外部世界置諸腦後的純數學家，就好比是懂得如何把色彩與形態和諧地結合起來但卻沒有模特兒的畫家。他的創造力很快就會枯竭。”

我強調一下，這種否定抽象繪畫的可能性是特別值得注意的，因為沒過多久，就是在我們現在的這個地方—慕尼黑，有一位藝術家就是Wassily Kandinsky，曾對這個問題深表關切。

在本世紀頭十年的某個時候，他在審視自己的一幅油畫以後，突然感到那個主題可能對繪畫藝術不利，因為它可能成為直接進入形態與術質量的障礙，即作品本藝術身的實際不利。但是，他後來寫道，他面臨“一個可怕的空隙”（eine erschreckende Tiefe）和大量的問題，其中最重要的是“應該用什麼代替那個把握不住的主題？”Kandinsky充分意識到裝飾主義，即純裝飾藝術的危險，要不顧一切地避免，不過，與Poincaré相反，他並未斷定沒有實際主題的繪畫就一定是無益的。實際上，他甚至提出了一幅畫的“內在需要”和“精神內容”的理論。諸位知道，大約1910年以來，他們與越來越多的其他畫家一起一直獻身於所謂的抽象繪畫或純粹繪畫，這是與自然界沒有什麼關係或毫不相干的。

可是，如果不想承認數學也可能有類似的情況，那就一定會對數學產生這樣一種看法，我想可以概括如下：一方面，數學是一門科學，因為它的主要目的是為自然科學和技術科學服務，這個目的實際上正是數學的起源，常常成為問題的源泉；另一方面，數學也是一門藝術，因為它主要是思維的創造，靠才智取得進展，很多進展出自人類腦海深處，只有美學標準才是最終的鑑定者。但是，在純粹思維活動的海洋裡這種無拘無束的智力漫遊，必須在某種程度上以可以應用於自然科學加以控制。

可是，這個看法實際上是太狹隘了，尤其是最後一句太限制人了，許多數學家都堅持要有完全的活動自由。首先，前面曾經指出，已經證明具有重要應用價值的許多數學領域，如果一開始就堅持應用，可能根本就不會發展出來。儘管von Neumann說過上面那一段話，但他自己在以後的一次講演裡又提出下面的論點：“但是，還有一大部分數學變成有用的了，而發展之初卻根本不曾指望有用，誰也不可能知道可能在哪方面有用，也沒有一般的跡象說明可能會有用……整個科學也是這種情況。成功主要是由於完全無視最終的目的，或者不管是否有什麼最終的目的，不願研究有益的東西，只靠精神高雅的準則為指導……。” “我認為，觀察科學在日常生活中的作用、注意放養原則在這個領域裡如何產生出奇妙的結果，這才是非常有啟發意義的。”

其次，我認為更重要的是，有些純數學領域在數學之外沒有找到什麼應用，或者根本無用，但是卻不能不視為偉大的成就，我想到的例如有代數數論、類域論、自守函數、超限數，等等。

讓我再一次回來拿繪畫作比，以物質世界中抽出來的問題作為“主題”。於是我們看到，我們有發源於自然界的繪畫，也有純粹繪畫或抽象繪畫。

可是，這種比擬並不完全令人滿意，因為對數學的這種描繪不會把它的所有重要方面都囊括無遺，尤其是數學的連貫一致與統一完整。的確，數學表現出來的完整性，我覺得比藝術中表現出來的大得多。作為一個證據，可以指出：同一個定理往往由彼此相距很遠的數學家獨立證明；相當多的文章有兩位，有時是更多位作者。也可能有這樣的情況：彼此完全獨立發展起來的幾部分數學，突然由於新見解的影響顯示出深刻的聯繫。數學在很大程度上是一項集體的事業。簡化與統總是同無止無休的發展與擴充保持平衡，一再表現出引人注目的完整性，儘管數學的範圍是太大了，單獨一個人是無法掌握的。

我認為，只考慮前面提到的那些準則，即是，精神上的雅與美這樣一些主觀準則以及考慮自然科學與技術科學的需要，可能很難把上述問題講完全。因此，自然要問是否存在與前述準則不同的準則或指導方針。我看是存在的，我現在想從第三個觀點，給它添上另一個重要的成分，藉以使前面對於數學的描繪臻於完善。作為準備，我想離開本題，或者至少表面上離題，提出下面的問題：教學是否有其自身的存在狀態？我們是創造數學還是逐步發現一些不依賴於我們而在某處存在的理論？如系後者，那麼這個數學實體究竟何在？

當然，這樣一個問題是否真有意義並非絕對清楚的。但是，數學以某種方式、在什麼地方預先存在，這種看法是非常普遍的。例如。G.H.Hardy就曾鮮明地表示：“我相信，數學實體是在我們之外而存在的，我們的職能就是去發現它、觀察它，我們證明的定理，我們誇張地說成是我們的‘創造’的那些定理，不過是我們觀察的記錄而已。這種見解是自柏拉圖以來許多聲名卓著的哲學家都持有的，只是形式有所不同而已……。”

如果你相信，那麼你就會在上帝那裡看到這個預先存在的數學實體。這實際上是Hermite的信念，他曾經說：“如果我沒有弄錯，的確存在全部數學真理的整個世界，我們只是憑自己的心靈才有機會感知這個世界的，就像存在物質實體的世界一樣，兩者都是神的創造，彼此一樣地不依賴於我們而存在。”

不太久以前，有個同事在一次介紹性講演裡說，下面這個問題使他多年不得其解：為什麼上帝創造出這個例外的系統？

把起源問題歸諸神靈，這對非信徒來說，可能很難感到滿意，可是，很多人確實有種模糊的感覺，數學是在什麼地方存在的，儘管他們在考慮這個問題的時候情不自禁地斷定：數學只能是人的創造。

對於許多其他的觀念，例如國家、道德價值、宗教等等，也可以提出這樣的問題，就其本身而言，可能是值得考慮的，但是由於時間不夠，也力不勝任，對於這個顯然叫人左右為難的問題，我只能給出一個淺薄而可能是過分簡單的回答，即是同意下述論點：凡屬文明或文化上的所有事物，我們往假定了它們的存在，因為它們是我們和別人共有的東西，我們可以就它們互相交流思想。有些東西，只要我們相信在別人的頭腦裡和在我們的頭腦裡都是以同樣的形式存在的，我們可以一起來考慮和討論，那麼它就成為客觀事物(而不是“主觀”事物)了。因為數學語言是精確的，所以完全適合於定義存在某種一致看法的概念。在我看來，這就足以使我們感受到一種客觀的存在，即是類似於上述Hardy和Hermite提到的一種數學實體，而不管它是否還有另外的起源，Hardy和Hermite就是這樣看的。最後這一點當然可以永遠推究下去，但這實際上與繼續我們的討論並不切題。

在我詳細說明這個問題以前，我想說一下，關於我們對物質實體的觀念，也有人表示過相似的思想。例如，Poincaré曾經寫道：“我們確認我們所在的這個世界的客觀性，這實際上就是指這個世界是我們以及其他知覺生物共有的。……因此，客觀性的第一個要求是：客觀的東西是不止一個心靈所共有的，因而是可以互相傳送的。……”Einstein也說：“通過說話，不同的人在一定程度上可以比較他們的經驗。人們正是這樣來說明：不同的人的某些知覺是彼此相符的，而另一些知覺則無法確定彼此相符。我們習慣於把不同的人共有的知覺、因而在某種程度上是與個人無關的知覺視為實在的東西。

現在回來談數學的情況。數學家們共同享有一個精神的實體、大量的數學思想、他們用心靈的工具研究的對象，其性質有的已知，有的來知，還有理論、定理，已經解決和尚未解決的對象。這些問題和思想一部分是由物質世界啟發而來，可是主要是出自純屬數學上的考慮(例如我們前面提到過的群或四元數那些例子)。這個總體雖然起源於人類的心靈，但是在我們看來卻是正常意義下的一門自然科學，就像物理學或生物學一樣，而且我們覺得是一樣的具體。我實際上是認為，數學不僅有理論上的一面，而且也有實驗上的一面，前者是顯然的：我們追求的是一般的定理、原則、證明和方法，這就是理論。但是，在開頭，人們對於要達到什麼目的、用什麼辦法進行，往往是心中無數，而是通過實驗，即是研究特例，才獲得領悟與直觀的認識。首先，人們希望這樣可以得到一個符合實際的猜測，其次，也許會靈機一動，想出了一般的證明。當然，也可能某些特例本身就很有意義。這就是實驗的一面。我們處理的是思維對象而不是物質對象和實驗室設備，這個事實實際上並不重要。數學在上述意義下是一門實驗科學，這種看法也並不新穎，例如，Hermite在1880年左右曾寫信給L.Königsberger說：“你在信裡告訴我：‘我越是思索所有這些事情，我就越是認識到，數學像所有別的科學一樣，是一門實驗科學’，你信裡對這個問題表示的看法，我說，這也是我的看法。”

傳統上，這些實驗是在人的頭腦裡(或者說用紙和筆)進行的，所以我前面說到心靈的工具。不過，我還要補充一點：近二十年來，物質的工具，即電子計算機，起著越來越大的作用。計算機實際上對數學的這一實驗方面賦予了新的方向。這個方向上的進展可能使人們已經看到計算機科學與純數學之間一些重要的、互相有利的、令人著迷的相互作用。

我的題目裡“科學”這個詞，現在已有更廣泛的意義：這不僅像以往那樣是指自然科學。而且(在更大得多的程度上)也是指數學本身作為一門實驗理論科學這個觀念，我想斗膽地說，是作為一門心靈自然科學，作為一門精神自然科學，其研究對象和研究方式都是心靈的創造。

這就使我談到來龍去脈和美學問題時梢微容易點。如果不想以對自然科學的應用作為檢驗的尺度，那還不至於只能以純粹精神上的優雅為準，還有一些實用的準則，即是對數學本身的成用。對這個數學實體的考慮、即是考慮各個領域中沒有解決的問題、結構、需要以及其間的聯繫，這已經指出了某些可能富有成果的、有價值的方向，使數學家可以對一些問題和理論心嚮往之、賦子相應的價值。對於一項新理論的價值檢驗標準，往往是看它能否解決老問題。實際上，這限制了數學家的自由，有點像是對物理學家的約束，因為物理學家畢竟不是隨機地選擇他為之構造理論、設計實驗的那些現象的。很多例子表明：數學家往往能夠預見到某些數學領域將如何發展，哪些問題應予提出並可能很快獲得解決。關於數學前景的一些論斷往往證明是千真萬確的。這樣的預言並不都是完美無瑕的，但其成功卻足以說明與藝術的差異。例如，關於繪畫前景就幾乎不存在什麼比較成功的類似預測。

可是，在這個問題上我不想走得太遠，我說數學是一門心靈自然科學，這個概念是作為三大要素之一而不是作為整體提出來的。另一方面，我也不想忽視數學與自然科學之間相互作用的重要性。首先，有一個普遍的說法，自然科學中所有的學科都必須力求得到數學上的陳述與處理，的確，一門學科只有如此才能取得作為其科學的地位；因此，數學家在這方面竭盡綿薄肯定是很重要的。其次，對複雜的現象加以數學的陳述與處理，這無疑是一項巨大的成就，由此引進的新問題也就是為數學錦上添花，這隻要想想概率論就行了。我只是說，為了搞有價值的數學工作，完全不必事先考慮是否有用，數學史表明，許多卓感的成就不是由於數學家對外界的應用，而是出自純數學上的考慮的結果。正如前面的例證所說，這些貢獻往往在自然科學或工程技術上找到重要的應用，而且往往是完全未曾預見到的。

另一方面，我也不想說，事事都可以完全理智地預見到，實際上，即使自然科學也不是這樣，尤其是因為事先往往不知道那些實驗會證明是有意義的。一些著名的數學家也犯錯誤，而且有時正是以在數學範圍內的應用為名，把後來證明為非常重要的一些新思想稱為徒勞無益、無事生非，甚至是危險的。不考慮實際應用的自由，這是von Neumann為整個科學提出的要求，也應該是在數學範圍內的要求。

也許有人反對說，數學與自然科學的這種比擬忽視了一個重要的差別：在自然科學或技術科學中往往碰到一些必須解決才能有所進展的問題；而在數學思維的世界裡，仍然有法理上的自由，可以把看起來無法解決、過分困難的問題拋在一邊，轉向另一些較易處理的問題，也許實際上是在走von Neumann所擔心的那條阻力最小的道路。如果一位數學家把數學定義為“尋求可以解決的問題的藝術”，那麼上述觀點對他不是很有誘惑力嗎？真有意思，這個定義我是從一位數學家那裡聽來的，這位數學家的工作特別引人注目，因為這些工作處理了那麼多在當時看來是非常特殊、但後來卻證明是十分重要的問題，而且問題的解決開闢出新的道路。這位數學家就是Heinz Hopf。

但是，不可否認，有時候確實是在走阻力最小的道路，結果產生了不足稱道或沒有意義的工作。也可能，一個成功的學派後來陷人一個荒蕪貧瘠的時期，甚至最糟糕的是產生了有害的影響。不過，很奇怪，總是有一種解毒藥應運而生，即是一種反作用，使那些錯誤的道路和沒有成果的方向銷聲匿跡。迄今為止，數學總是能夠克服這樣的發展弊病，我深信，只要有很多有才能的數學家，數學就總是這樣發展的。可是，很奇怪，我們很多人都感覺到數學中有某種統一性，但是，以我們對於這種統一性的觀念為名規定一些過分精確的準則，這是危險的。更重要的是要以自由為主，儘管偶爾濫用自由這一條為什麼很成功，是無法充分說明的，例如，如果想到Hopf，在某種程度上就能看到他選擇問題時合乎情理的準則：這些問題往往是不能應用已知證法來處理的某個一般問題的基本特例。他當然知道這一點。但這不能說明一切問題。他可能並不總是預見到他的工作將會有怎樣的影響，更可能的是他並不為此操心。一個數學家被吸引到“好的”問題，即後來證明是有意義的問題，即使他著手考慮的當時還不明顯，這不過是他的才能的部分表現罷了，數學家走到這一步，一方面是由於合乎情理的、科學的觀察，另一方面是由於純粹的好奇心、本能、直覺、純美學的考慮。正是對於數學的美學感使我提出了我最後的這個理由。

我已經提到了數學作為一門藝術的觀念，即概念構成的詩情畫意這個觀念。以此作為出發點就能斷言：要能鑑賞數學要能欣賞數學，就需要對一個很特殊的思維世界裡的種種概念在精神上的雅與美有一種獨特的感受力。非數學家很少有這種感受力，這是毫不足怪的：我們的詩是用高度專門化的語言——數學語言寫成的；雖然它是用許多較為熟悉的語言來表達的，但卻是獨具一格、不能翻譯成任何其他語言。不幸，這些詩又只能用平常的語言來理解。與藝術的相似之處就清楚了：要欣賞音樂或繪畫，也就必須有某種教育，這就是說，必須學會某種語言。

我是早就同意這樣一些看法和比擬的。不過，我倒是想保持我對數學的基本立場，稍微沿著我前面那些提倡的方向重新陳述一番。我相信，我們的美學並不總是那麼純淨而奧秘，也包含幾條較為世俗的檢驗標準，例如意義、後果、適用、用途—不過是在數學科學的範圍內。我們對於一條定理、一種理論、一個證明的評價也受到這個標準的影響，而且往往簡單地等同於美學標準。我想用前面提到的Galois理論來說明這點。Galois理論一般被珍視為數學上最優美的篇章之一。為什麼？首先，它解決了關於方程的一個很古老而在當時又是最重要的問題。其次，它是一項內容非常豐富的理論，遠超出了原來的根式求解問題的範圍。第三，它的依據只是幾個非常典雅而簡潔的原理，是以新的概念建築起來的新結構下提出的原理，顯示出巨大的獨創性。第四，這些新概念，尤其是群的概念，開闢了新的道路，對整個數學具有持續的影響。

諸位可能注意到，這四點中只有第三點才是真正美學上的評價，只有懂得這一理論的所有技術細節的人，才能產生自己對這一評價的看法。其餘幾點則有不同的性質，對於任何自然科學的形態都可以提出這樣的論斷；這幾點的內容具有較大的客觀性，數學家即使不完全掌握該理論的技術細節，也可以產生自己對這些評價的看法。為了我們討論的目的，我已經分出了這四個要點，但一般我倒並不總是分得這麼清。所有這四點都有助於構成美感。我的確認為，在這方面這個例子是相當典型的：我們稱之為美學的東西，實際上往往是各種觀點的聚合。例如，一種證法如果找到了新的、未曾料到的應用，儘管方法本身並未改變，我自然會覺得這個證法更加優美，這個證法可能已經更為重要，但它本身不會自行地更為優美。由於這一切都是在數學本身的範圍內發生的，所以這很難幫助非數學家洞悉我們的美學世界。不過，我希望這將幫助他發現下述事實是比較可信的：我們所謂的美學評價表現出比藝術中的美學評價更大的意見一致，遠遠超出了地理和年代的侷限。不管怎樣，我把這一點視為一個主要因素，但是我仍然要避免走得太遠。這是一個程度問題，而不是絕對的分歧。對作曲家或畫家的工作所做的美學評價也考慮了外在的因素，例如影響、以往的工作以及該工作相對於其他工作的地位，即便程度較小。另一方面，評價數學工作則不時有些意見分歧和波動，順便說說，雖然沒有達到那麼強烈的程度，所有這些細微差別都需要大量的說明，現在由於時間不夠我不可能細說了。

在由我支配的這有限的時間裡，只是走馬觀花地談了對數學的一些管見，這當然可能是比較容易的事。但是不幸或者幸好，正如許多世紀以來許多人做過貢獻的其他人類事業的情形一樣，數學決不願意讓人說成只是幾個簡單的公式。有關數學的幾乎任何論斷都必須是過得硬的。一個例外，也許是惟一的例外，可能就是這個論斷本身。我希望我至少使諸位獲得了一種印象：數學是一個極其複雜的創造物，同藝術、實驗科學以及理論科學都有許多重要的共同點，所以必須看成是所有這三方面同時的組合因而也必須同所有這三方面有所區別。

我知道，我提出的問題多，回答的少，對於已經討論到的問題處理得太簡略，甚至某些重要的問題，例如這個創造物的價值問題尚未觸及。我們當然可以指出在自然科學和工程技術裡無數的應用，其中很多對我們的日常生活有巨大的影響，從而為數學確定一種社會的存在權利。但是我必須承認，作為一個純數學家，我更關心數學本身的評價，形形色色的數學家的貢獻融為一個巨大的思維產物，在我看來，這就是人類思維能力的有力的證據。數學家Jacobi曾經寫道：“科學的惟一目的是為人類的思維增光。”我相信，數學這個創造物的確確是為人類的思維增添了巨大的光彩。

A.波萊爾(A.Borel，1923-2003)，瑞士數學家，普林斯頓高等研究院的終身教授。

本文譯自The Mathematical Intelligencer，5:4（1983），9~17. 中譯文曾載於《數學譯林》1985年第3期。

江嘉禾 譯 沈信耀 校

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