我的理解: 做個類比,一般的3D矢量空間(我們最常見的)和Hilbert空間.在3D的矢量空間中, 基底是i,j,k. 維度是3(有限維). 這三個基本的基矢量是完備的(矢量空間中任何一個元素都可以用這3個基底展開,係數唯一), 正交的(不同的基底做點積為0.). 矢量空間中的任意兩個元素之間可以定義算符F, 也就是操作. 我們常常對保持元素A長度(自己和自己點積,A*A)不變的操作感興趣, 這樣的操作形象上講是轉動, 抽象些講是滿足F^2=1的操作,或者叫變換.
好了, 再看看Hilbert空間, 基底一般是函數,常見的是含有各種頻率的平面波函數,一種頻率對應一個基底 維度是無窮.這些基底, 即平面波函數是完備的(Hilbert空間中的任何元素都可以用平面波函數展開, 其實就是指傅里葉變換), 正交(平面波函數做"點積"為delta函數). Hilbert空間中任意兩元素也可以定義算符G, 也就是操作. 我們常常對保持元素"長度"(自己和自己"點積")不變的操作感興趣. 由於Hilbert空間是複數域上的,常見的3D矢量空間是實數域上的, 所以G^2=1 的G 和F 是不同的, 雖然表達式相同.
建立Hilbert空間的目的是為量子力學中的計算提供強有力的數學基礎, 也方便了抽象出其中更本質的運算.包括之後進行的關於對稱性的討論, 都是定義在Hilbert空間上的.
注意上面的論述中並沒有涉及到矩陣. 因為矩陣其實只是抽象定義的一種表現, 或者說是抽象的定義的一種表示(representation)而已. 這是群論的思想.所有這些後面發展起來的表示理論, 在Hilbert空間中表示後,(尤其是算符的表示)顯得非常重要.
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