問道數學|美麗思考
作者 | 丘成桐
來源丨數學與人文
本文為丘成桐與史蒂夫·納迪斯新書"From the Great Wall to the Great Collider"中文版《從萬里長城到巨型對撞機》（鮮于中之，何紅建譯，電子工業出版社出版）的序言。
許多人認為我是純數學家，他們大概會感到吃驚的是我在積極推動中國建造一臺大裝置。同事們和我有時稱這臺大裝置為“巨型對撞機”，這原本是諾貝爾物理學獎得主戴維 · 格羅斯(David Gross)建議的名字。這臺考慮中的設備可能成為人類有史以來最強大的粒子加速器，不過也要取決於世界各地類似計劃的進展。這項任務的關鍵絕不在於建造足以誇耀為“世界最大”的機器，而是要修建一臺能夠開闢基礎物理學新領域的設備，以揭示我們目前仍無法企及的宇宙奧秘。
我對這項事業發生興趣的原因很多，其中不少都會在本書中詳細闡述。我的合著者與我本人的首要動機是想弄明白，是否有充分的理由來實施如此龐大而極具挑戰的項目。與該領域的許多同事們一樣，我們確認這種規模的機器對於基礎物理學的進步極為關鍵。或許更重要的是，它將滿足人類理解周遭世界的永恆渴望。
代之以總結這些理由，我想在此談幾點個人的動機。首先應當指出，雖然我的多數研究工作或許要歸屬“數學”名下，但我在物理學期刊上也發表過很多文章。我還同時在哈佛大學數學系和物理系任職。這種交疊其實出自個人愛好：
我喜歡在這兩個充滿活力的領域的交界線上工作。我覺得身居此地令人激動。不過除此以外，我還意識到，由觀察和理解自然界所啟發得到的物理觀念，能夠大大激發數學的發展。當然這種影響是相互的。在很多層面上數學對於物理學至關重要。我不只是在說物理定律本質上就是數學公式這個事實。數學進展時常強烈地影響著物理學，有時甚至會在自然界中具體地呈現出來。這兩種學問的交纏如此緊密，以至於通常很難說(而且這樣說也沒有多少意義)數學在哪裡終止、物理學從何處接管。
或許講一段故事可以解釋得更清楚。1970 年，我來到美國伯克利念數學研究生。從那時開始我就對愛因斯坦的廣義相對論很著迷，只是以前尚未深入學習過。我當時的專業與今天一樣,是幾何學。而愛因斯坦提供了某種新東西:引力的幾何表述。與其將引力描寫成兩個重物間的吸引力，他說，不如將引力設想成重物的存在導致了時空曲率。愛因斯坦提到的時空扭曲與所謂的“裡奇曲率”有關。這使我想到：如果時空處於真空狀態，其中空無一物,那會怎樣呢？在沒有質量的情況下是否還可能有(諸如裡奇曲率之類的)曲率呢?
讓我驚喜的是，我很快發現幾何學家尤吉尼奧 · 卡拉比(Eugenio Calabi)在 20 多年前就已提出了幾乎完全一樣的問題，只不過用相當抽象的數學語言表達成了一種面目全非的形式。這就是卡拉比猜想。不過卡拉比在 1953 年提出這一猜想時卻堅持說“這與物理毫無關係”，至少在他看來，“這完全是幾何”。
卡拉比猜想要求存在一種偶數維的幾何對象，或者說“空間”，它有很多特性，尤其具有一種奇怪的對稱性。很多幾何學家認為這種東西“過於美好”，他們認為滿足卡拉比所提條件的空間在數學上是不可能的。
雖然我最初對此也頗有懷疑，但經過對卡拉比猜想的多年研究，我終於在1976年證明了它實際上是對的。這類由卡拉比引入而我最終證明其存在性的空間於是被稱為卡拉比–丘空間或卡拉比–丘流形。我強烈地感到我的工作在物理中會很重要，而且不僅限於我最初起步的廣義相對論問題。但這一重要性將在何處出現,以及怎樣出現，我還不完全清楚。
○ 六維卡拉比-丘流形。| 圖片來源：Jeff Bryant / Visualization
大致在同一時期，從 20 世紀 70 年代初起，物理學家則開始猜測自然界具有一種所謂“超對稱”的假想對稱性。如果這是真的，就有可能解決關於量子場論的很多困惑，而量子場論又是粒子物理的主導性理論(當時是，至今仍是)。沒人證明我們的世界究竟是否有超對稱，不過卡拉比 – 丘空間具有這種對稱性就至少說明它自有數學合理性。至於它的一些物理效應，本書將在隨後探討。
故事尚未就此結束。1984年，物理學家來找我了。他們在尋找含有超對稱的高維空間，這在弦論中具有核心作用。他們覺得卡拉比 – 丘空間或許就是答案。弦論正試圖做一些之前的物理理論從未成功過的事情，它想解釋並統一自然界中所有作用力和所有粒子。至於要弄明白弦論是否正確地描述了宇宙，還有很長的路要走，而且看來沒有實驗能在近期解決這個問題。
不過即使如此，弦論已在多個前沿激發了重要的數學工作。例如，物理學家偶然發現了不同的卡拉比 – 丘空間之間有一種前所未知的密切聯繫——“鏡像對稱性”。它復興了枚舉幾何學領域，同時導致對許多難題的解答，其中有些難題甚至可追溯到19世紀。我和我的同事嘗試探索這個概念的根源，從而為鏡像對稱性確立牢固的數學基礎。
從上面這個例子可以看出，有一股穩流往返於物理和數學之間，對這兩個領域既有益又重要。我已屢次發現，物理直覺對數學家極有助益。我也知道數學工作幫助物理學研究的很多例子。除了對物理學出於私心的支持外，我同時也真正喜歡這門學問。我是物理學及一切前沿科學的一大倡導者。
然而若不是真實實驗的定期輸入，基礎物理學給予數學的靈感之流也無法永遠持續下去。坦率地說，若沒有得到經驗確證，物理學家就無法確定他們的想法是否正確。我仍然清晰地記得1990年訪問CERN的情景。在那裡人們向我介紹了地面下大約100米處周長27千米的環形隧道，大型強子對撞機(LHC)最終將在此加速粒子。對這種取精用宏的工程設計，我印象十分深刻。幾十年後，LHC 兌現了它的偉大承諾，以希格斯玻色子的發現為粒子物理的所謂“標準模型”畫上了句號。希格斯玻色子有時還被稱作“上帝粒子”。(然而科學家幾乎從不這麼叫，他們覺得這更像宣傳策略，與科學並無關係。)
大型強子對撞機是粒子物理科學家為了探索新的粒子，和微觀量化粒子的‘新物理’機制設備，是一種將質子加速對撞的高能物理設備，英文名稱為LHC(Large Hadron Collider).
歐洲大型強子對撞機是現在世界上最大、能量最高的粒子加速器。大型強子對撞機坐落於日內瓦附近瑞士和法國的交界侏羅山地下100米深·總長17英里（含環形隧道）的隧道內。
現在是時候考慮下一代更大更好的機器了。這回，隧道也許長達100千米，以便將粒子加速得更快，從而使對撞能量提升到從前的5~10倍。這臺設備可將我們帶向超越標準模型的全新境界，還有可能在此過程中發現一系列新粒子。將這樣一臺機器稱為“巨型對撞機”一點都不言過其實。我承認這個名字有些宏偉，但是這種項目的確當得起如此讚譽。
我生於中國。過去,我也花了很大精力幫助促進這裡的科學與數學研究，這其中包括在大陸(內地、香港)和臺灣建立了6個數學研究所。因此，我很樂意見到這臺巨大的粒子加速器在祖國的土地上誕生，儘管它的建設與運行在各個方面都需要國際合作。雖然這臺機器的基地或許在中國，但它意在對每個人開放使用。
於是我決定更加主動地投身於其中，而不只是坐觀其成。為此，我與中國、美國和歐洲的物理學家，以及中國政府的高級官員會面，討論這項事業的潛在收益。我經常強調的一點是，這個項目具有提升國內外所有科學水平的潛在能力——絕不僅限於物理相關的領域，這就像諺語所說的“水漲船高”。雖然一位極端重量級的中國領導人沒有即刻完全同意這項提議，但其答覆也並不消極。在當前階段這已然可謂成功，該計劃也因此保持了生機。對於同我一樣的積極倡導者，這樣的答覆既帶來了做成這件事的希望，也為接下來的行動爭取到了時間。
我還就此主題在北京主持了一場由一些世界頂尖物理學家參與的論壇，與會各方都對我們的計劃給予了密切關注。隨後，我幫助將關於此對撞機的一封信遞交給了另一位中國政府最高級別的領導人。這一任務並不像聽上去那樣容易,因為我需要事先與中央組織部部長、科技部部長和中國科學技術協會主席商榷。其中每一環節都很關鍵，因為這些主管官員都可能對該項目造成重要的阻力。然而他們都同意這個想法值得考慮，這使得個別有影響的人物當初對該對撞機的批評意見也隨之煙消雲散了。
就我個人而言，我願看到中國提升自己在科學領域的世界聲望。坦率地說，中國的聲望的確需要提升。儘管政府近年來顯著加大了科技方面的投入，中國學者發表的論文也相應增多，但是以引用數等標準衡量，這些論文及其背後的研究工作，就質量與原創性而論，仍然落後於美國與其他主要西方國家。平心而論，在粒子物理及其他科學領域中，中國需要追趕，需要為此做很多工作。在某些領域，我們甚至還有數十年的差距。
儘管如此，除去我的鄉土情結，我還認為此類加速器探索項目是超越國界的，它能夠啟迪人們，並且對我們星球上的每個人都很重要。我在這裡提到的機器不只是說中國的對撞機，而是一臺為全世界而建的對撞機，它事關世界各個角落的物理學家。
這項計劃還將深入一項更宏大的事業，關乎“文明”一詞的全部含義。簡言之，為了確保人類自身的活力與存在的意義，人類社會需要從地理、科學、藝術等各方面進行探索。我也相信，如果一個目標確實值得追求，那麼歷史永遠會青睞為這個目標而行動的人，而不是它的反對者。
那些反對者只會盯著一個項目的價碼和缺點，他們總是在尋找不要行動的理由，卻從不試圖推進。這本書討論的實驗一旦在高能物理研究的新聖地開展起來，勢必會突破目前知識的疆界，從而深化我們對宇宙深層機制的理解。於我而言，在這一系列過程中獲得的知識足以列入人類最偉大的成就中。坦率地說，我想不出還有什麼比此更高的追求。
——丘成桐，2015 年於麻省劍橋
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