2018年淄博中考數學第12題
如圖，P為等邊三角形ABC內的一點，且P到三個頂點A，B，C的距離分別為3，4，5，則△ABC的面積為
A．9+(25√3)/4B．9+(25√3)/2C．18+25√3D．18+(25√3)/2
【答案】A．
【解析】解：∵△ABC為等邊三角形，
∴BA=BC，
可將△BPC繞點B逆時針旋轉60°得△BEA，連EP，且延長BP，作AF⊥BP於點F．如圖，
∴BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，
∴△BPE為等邊三角形，
∴PE=PB=4，∠BPE=60°，
在△AEP中，AE=5，AP=3，PE=4，
∴AE2=PE2+PA2，
∴△APE為直角三角形，且∠APE=90°，
∴∠APB=90°+60°=150°．
∴∠APF=30°，
∴在直角△APF中，AF=1/2AP=3/2，PF=√3/2AP=3/2 √3．
∴在直角△ABF中，AB2=BF2+AF2=（4+3/2 √3）2+（3/2）2=25+12√3．
則△ABC的面積是√3/4•AB2=√3/4•（25+12√3）=9+(25√3)/4．
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