現在我們要往 “山寨版” 黎曼猜想挺進了。 由於黎曼猜想是關於黎曼 ζ 函數零點分佈的猜想， 因此很明顯， 要想有黎曼猜想， 首先得有黎曼 ζ 函數。 只不過，黎曼猜想如果是 “山寨版” 的， 作為其 “核心部件” 的 黎曼 ζ 函數當然也只需是 “山寨版” 的即可。 這 “山寨版” 的黎曼 ζ 函數從何而來呢？ 正是從有限域上的代數曲線中來。
為此， 我們要引進有限域上代數曲線 F(x, y)=0 的一個重要性質， 那就是它所含點的數目。 這個性質之所以重要， 因為它實際上就是有限域上代數方程 F(x, y)=0 的解的數目。 如前所述， 解的數目對於研究方程來說是一個重要課題， 相應的， 所含點的數目對於代數曲線來說也是一個重要性質。 我們在前面說過， 有限域 Fq 上的代數方程 F(x, y)=0 可以被視為是所有有限域 Fqm (m=1, 2, 3, ...) 上的代數方程。 用代數曲線的語言來說， 這意味著有限域 Fq 上的代數曲線 F(x, y)=0 可以被視為是所有有限域 Fqm (m=1, 2, 3, ...) 上的代數曲線。 另一方面， 代數曲線 F(x, y)=0 所含點的數目， 或代數方程 F(x, y)=0 的解的數目， 顯然是與定義域 Fqm 的選取有關的。 為了體現這種關係， 我們用 Nm 表示定義域為 Fqm 時的這一數目。
有了這些準備， 現在我們可以定義 “山寨版” 的 黎曼 ζ 函數了， 那就是：
如此定義的 “山寨版” 黎曼 ζ 函數與 “正版” 黎曼 ζ 函數一樣， 是關於復變量 s 的函數， 它有一個比較正式的名字， 叫做有限域上代數曲線的 ζ 函數。 在這一函數的定義中， 我們特意引進了一個表示代數曲線的字母 C， 因為此定義所給出的函數顯然與代數曲線的選取有關； 定義中的 q 則來自於代數曲線 C 的原始定義域 Fq 中的 q (q 不出現在左側， 是因為表示代數曲線的 C 已經包含了 Fq 這一定義域信息， 從而包含了q)。
有了 “山寨版” 的 黎曼 ζ 函數， 我們就可以表述有關其零點分佈的 “山寨版” 黎曼猜想了。 由於這個猜想是關於有限域上代數曲線的 ζ 函數零點分佈的， 因此我們稱其為有限域上代數曲線的 “山寨版” 黎曼猜想。
有限域上代數曲線的 “山寨版” 黎曼猜想： 有限域上代數曲線的 ζ 函數的所有零點都位於複平面上 Re(s)=1/2 的直線上。
由於“山寨版” 黎曼 ζ 函數與代數曲線的選取有關， 而後者有無窮多種， 因此上述 “山寨版” 黎曼猜想實際上是無窮多個猜想的統稱。 對於特定的代數曲線及原始定義域， 該猜想可以通過對 “山寨版” 黎曼 ζ 函數的直接計算加以驗證， 有些甚至是相當容易的， 但涵蓋所有代數曲線及原始定義域的普遍證明卻大為不易。
我們在上節中曾經提到，韋依並不是 “山寨版” 黎曼猜想這一研究方向的開創者。 事實上， 早在 1923 年， 奧地利數學家埃米爾·阿廷(Emil Artin ，1898-1962) 就提出了有限域上一類被稱為超橢圓曲線 (hyperelliptic curve) 的特殊代數曲線上的 ζ 函數， 以及相應的 “山寨版” 黎曼猜想。 1933 年， 德國數學家赫爾穆特·哈賽(Helmut Hasse，1898-1979) 則證明了有限域上一類被稱為橢圓曲線 (elliptic curve) 的特殊代數曲線上的 “山寨版” 黎曼猜想 (請注意，阿廷只是提出猜想，哈賽則是證明猜想， 而且兩人所針對的是不同情形下的猜想——前者針對超橢圓曲線， 後者針對橢圓曲線)。
阿廷的猜想及哈賽的證明雖都有一定的廣泛性 (各自都涵蓋了無窮多的個例)，但針對的仍只是特定類型的代數曲線。韋依的貢獻則在於給出了上述 “山寨版” 黎曼猜想的普遍證明 (即針對任意代數曲線的證明)。 不過， 在上節提到的他給嘉當的信件中，他給出的只是證明的大致思路， 完整的證明直到二戰結束後的 1948 年才發表。韋依對“山寨版” 黎曼猜想的貢獻還不止於此。 完成了對上述猜想的證明後的第二年， 即 1949 年，韋依對該猜想進行了一次重要推廣。 這個推廣的證明是如此困難， 不僅他自己未能給出，在接下來二十四年的時間裡， 參與研究的所有其他數學家也都未能給出完全的證明。 他的這一推廣因此而被稱為了韋依猜想 (Weil conjectures)。
韋依猜想包含了若干個命題， “山寨版” 黎曼猜想是其中之一， 並且從歷史上講是證明最為不易的一個。 不過，韋依猜想中的 “山寨版” 黎曼猜想的證明雖然困難， 其由來卻是對上述 “山寨版” 黎曼猜想的很直接的推廣， 即將上述猜想中的代數曲線推廣為高維幾何對象。 這種高維幾何對象有一個專門的名稱， 叫做代數簇 (algebraic variety)， 它也是用代數方程 (或方程組) 來定義的， 並且也可以定義在有限域上。 與有限域上代數曲線的 ζ 函數完全類似地， 也可以引進有限域上代數簇的 ζ 函數。 對於這種 ζ 函數， 也存在 “山寨版” 的 黎曼猜想， 我們稱其為有限域上代數簇的 “山寨版” 黎曼猜想， 它是韋依對有限域上代數曲線的 “山寨版” 黎曼猜想的推廣， 也是韋依猜想的一部分。
有讀者可能會問： 將曲線推廣為高維幾何對象這樣直截了當的推廣， 那是中學生都能想到的事情， 為何要等到 1949 年才問世？ 答案是： 有限域上代數簇的 “山寨版” 黎曼猜想與普通 (即有限域上代數曲線的) “山寨版” 黎曼猜想以及 “正版” 黎曼猜想有一個絕非顯而易見的差異， 那就是它所要求的零點分佈不再是單一直線， 而是與代數簇的維數有關的一系列直線。 具體地說，韋依猜想中的 “山寨版” 黎曼猜想是這樣的：
有限域上代數簇的 “山寨版” 黎曼猜想： 有限域上的 d 維代數簇的 ζ 函數的所有零點都位於複平面上 Re(s)=1/2, 3/2, ..., (2d-1)/2 的直線上。
如前所述， 這一 “山寨版” 黎曼猜想只是韋依猜想的一部分， 而非全部。 韋依猜想還包括了關於有限域上代數簇的 ζ 函數的另外幾個命題。 雖然與普通 (即有限域上代數曲線的) “山寨版” 黎曼猜想及 “正版” 的黎曼猜想都有所不同， 這個推廣了的 “山寨版” 黎曼猜想與後兩者的相似性還是很顯著的， 不算有負 “山寨版” 的 “光榮稱號”。 此外， 在 d=1 的特殊情況下， 該猜想可以自動給出有限域上代數曲線的 “山寨版” 黎曼猜想， 這也印證了它作為 “山寨版” 黎曼猜想的地位。
韋依猜想提出後引起了很多數學家的興趣， 在試圖證明這一猜想的數學家中， 包括了阿廷的學生伯納德·貝倫森 (Bernard Dwork，1923-1998)、阿廷的兒子邁克爾·阿廷 (1934-)、 1954 年菲爾茲獎得主讓-皮埃爾·塞爾(Jean-Pierre Serre ，1926-)、 1966 年菲爾茲獎得主亞歷山大·格羅滕迪克，(Alexander Grothendieck，1928-2014) 等人。 經過這些數學家的努力， 韋依猜想的某些部分在二十世紀六十年代得到了證明， 但有限域上代數簇的 “山寨版” 黎曼猜想部分， 則直到 1974 年才由格羅滕迪克的學生、 比利時數學家皮埃爾·德利涅(Pierre Deligne，1944-) 所證明， 他的證明藉助了格羅滕迪克的工作。 四年之後，德利涅因這一工作獲得了 1978 年的菲爾茲獎。
在證明包括 “山寨版” 黎曼猜想在內的韋依猜想的過程中， 數學家們發展出了一些很有用的東西， 比如格羅騰迪克創立了一種全新的數學工具： Étale 上同調 (Étale cohomology)， 對數學——尤其是代數幾何——的發展起到了促進作用。 從這個意義上講， “山寨版” 黎曼猜想與其它一些重要的數學猜想一樣， 是一隻 “下金蛋的鵝” (the goose that lays the golden egg——這是希爾伯特對 費馬猜想的評價)。 這也是它的證明雖迄今不曾為人們提供證明 “正版” 黎曼猜想的有效思路， 卻依然被視為重要成就的主要原因。 當然， “山寨版” 黎曼猜想的證明， 多多少少使一些人對 “正版” 黎曼猜想的成立抱有了更大的信心。
在結束本節前， 還有一件事情需要交代一下。 細心 (或挑剔？) 的讀者也許還會提出這樣一個問題： 我們說了半天的 “山寨版” 黎曼猜想， 作為基礎的那個所謂 “山寨版” 的 黎曼 ζ 函數跟 “正版” 的黎曼 ζ 函數並不像啊？ 難道就憑它的零點也都在直線上， 就將它稱為 “山寨版” 的黎曼 ζ 函數， 既而將有關其零點分佈的猜想稱為 “山寨版” 黎曼猜想嗎？ 如果那樣的話， 炮製 “山寨版” 黎曼猜想可就忒容易了， 因為構造一個所有零點都在直線上——甚至在 Re(s)=1/2 的直線上——的函數其實是很容易的事情 (請讀者自行構造幾個那樣的函數)， 難道那樣一來它們就都可以跟黎曼猜想攀上親？
這些問題的答案是： 這裡引進的“山寨版” 黎曼 ζ 函數及 黎曼猜想與“正版” 黎曼 ζ 函數及黎曼猜想的相似性， 絕不僅僅是因為它們的零點都分佈在直線上， 而有著更深層的理由。 比方說，“山寨版” 黎曼 ζ 函數跟“正版” 黎曼 ζ 函數一樣， 可以寫成類似於歐拉乘積公式那樣的表達式， 而且也滿足類似於“正版” 黎曼 ζ 函數所滿足的函數方程。 不僅如此， 與 “正版” 黎曼猜想的成立可以給出對素數分佈的最佳估計 (即與素數定理之間的最小偏差) 相類似，“山寨版” 黎曼猜想的成立可以給出對有限域上代數簇所包含的點的數目 (即定義代數簇的方程或方程組在有限域上的解的數目) 的某種最佳估計。
可惜的是， 這些結果， 以及 “山寨版” 黎曼猜想的證明， 都不是省油的燈 (比方說 “山寨版” 黎曼 ζ 函數所滿足的函數方程——對有限域上的代數簇而言——其實是韋依猜想的一部分)。 考慮到它們畢竟只是關於 “山寨版” 的， 而我們還想保留幾枚牙齒去啃點別的東西， 在這個方向上就不多逗留了。 如果本節的介紹讓讀者大致知道了 “山寨版” 黎曼猜想是怎麼一回事， 比諸如 “它是黎曼猜想在代數簇上的類似物” 之類口訣式的介紹強一點， 我們的目的就算達到了。
（摘自《黎曼猜想漫談：一場攀登數學高峰的天才盛宴》，作者：盧昌海）
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