業餘數學家如何解決百年數學難題?

如果離開了大學,還能繼續做一個科學家或數學家嗎?即使早在1905年,在專利局工作的愛因斯坦也會遭遇文獻獲取的困難,他不得不在對玻爾茲曼的工作不那麼清楚的情況下,重新開拓自己的道路。

而到了今天,專業分工更為精細,每一個細分領域都有著浩如煙海的文獻,專業研究者尚且會淹沒其中,非專業人員即使對一些問題感興趣,也很難弄清楚研究的前沿在哪裡,更不要說找到一條路徑,解決自己感興趣的問題了。(巨人的肩膀真高啊……)

然而,有這麼一位“非職業”數學家,他挑戰了一個能讓最精密嚴格的數學家也為之瘋狂的問題。這位“非職業”的數學家,名叫Philip Gibbs。年輕的時候,Gibbs想過要成為一名科學家,所以就去劍橋大學數學系讀了本科,然後又跑到格拉斯哥大學獲得了理論物理學的博士學位。但是這位少俠很快就對學術研究失去了熱情,轉而成為了一名軟件工程師。直到2006年退休之前,他都在忙於為船舶設計、空中交通管制和金融等領域設計軟件系統。

業餘數學家如何解決百年數學難題?

○ Philip Gibbs。

這時,Gibbs仍然對學術問題很感興趣,但是一個人作為獨立科學家,很難跟上科學界所發生的一切。幸好,他會閱讀加州大學河濱分校的數學家John Baez的博客,當他看到一篇談論法國數學家亨利·勒貝格(Henri Lebesgue)的萬有覆疊問題(universal covering problem)的文章時,他意識到,這正是能深深吸引他的東西。

萬有覆疊問題

這個問題最初是由勒貝格提出的。1914年,勒貝格在給朋友Julius Pál的信中問道:對於許多不同(但都具某種共同特徵)的形狀,能夠覆蓋他們的最小面積的形狀是什麼?

這,就是所謂的萬有覆疊問題。

在腦海中想象一系列不同尺寸和形狀的剪紙圖形。然後,想象著設計另一個形狀,它剛好大到能覆蓋那一系列形狀。你可以動手做實驗,剪一個形狀覆蓋在上面,旋轉一個角度,感受下解決方案應該是什麼樣的。

假如你找到了一個萬有覆疊又要怎樣才能知道這就是面積最小的形狀呢?你可以繼續回到尋找覆疊的那一步,找一些邊邊角角,這裡剪一點,那裡剪一點。


業餘數學家如何解決百年數學難題?

○ 什麼形狀可以覆蓋如此多種多樣的形狀呢?

這正是勒貝格萬有覆疊問題的精神宗旨。只不過這個問題考慮的不是修剪,而是任意兩點間的距離不超過一個單位的形狀。圓是最明顯的直徑可以為1的形狀,但是還有無限多的其他形狀:等邊三角形、正五邊形、正六邊形、三邊膨脹的勒洛三角形(Reuleaux triangle),這些還只不過是開始。正是形狀的多樣性使得我們在尋找最小覆疊時困難重重


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○ 黃色部分為勒洛三角形。

Pál在收到勒貝格的來信後不久,意識到正六邊形是一個萬有覆疊。然後,他找到了一個更好的答案。他注意到,可以剪切掉正六邊形下方兩個不連續的角,得到的形狀有著更小的面積,卻仍然是一個萬有覆疊。

在接下來的80年,另外兩個數學家在Pál的萬有覆疊的基礎上,又剪掉了一些角。1936年,Roland Sprague去除了一個角的一部分。1992年,H. C. Hansen又剪切掉了左下角和右下角的兩個非常小的楔形,它們的面積只有0.00000000004個單位。


業餘數學家如何解決百年數學難題?

上面的示意圖不可避免的具有誤導性,因為根本不可能按照實際尺寸畫出這個形狀,事實上,這些剪切掉的面積幾乎只是原子尺寸的碎片。

2013年,Baez的數學博客讓沉寂多年的勒貝格萬有覆疊問題不再默默無聞。Baez承認,自己對這個問題的興趣有些病態,自己被這個問題吸引,就像一個人會被昆蟲淹沒的景象吸引一樣——露出水面的面積變得越來越小。它似乎並不是一個重要的問題,自己也很難看到它與許多其他美麗的數學的聯繫。但是,相比於最初的想法,這個問題似乎驚人的困難,鑽研這個問題的人就像是決定要滑雪穿越南極一樣。

這個問題從來沒有多少數學家關注,因此,Gibbs想,或許他能在這個問題上取得一些進展。他還意識到,自己的編程背景其實是一個優勢,他可以用計算機做一些數學實驗。

原子尺寸的剪刀


2014年,Gibbs用計算機隨機生成了200個直徑為1個單位的形狀,並用它們做數學模擬。結果表明,他或許可以在先前最小覆疊的頂角處剪切掉一些面積。然後,他證明這個新的覆疊對所有可能的直徑為1個單位的形狀都適用。Gibbs將證明寄給Baez,Baez讓自己的一個學生

Bagdasaryan來幫助Gibbs,將證明修改成更加正式的數學風格。2015年二月,三人將論文發表到網上。

這次新的結果將最小萬有覆疊的面積從0.8441377減少到0.8441153個單位,剪切掉的那部分面積只有0.0000224個單位,幾乎是1992年Hansen剪切掉的面積的一百萬倍。

Gibbs相信自己可以做得更好。剛剛過去的十月,他又從之前的萬有覆疊中削掉了“龐大的”一片,將面積減少到了0.84409359個單位。


業餘數學家如何解決百年數學難題?

Gibbs所採用的策略,是將所有直徑為1的形狀都放到之前的最小萬有覆疊的一個角落,然後剪切掉相反角落多餘的面積。他必須精確地計算出減少的面積。Gibbs使用的數學技巧全部來自歐幾里德幾何,但他所需要達到的計算精度,是會讓高中生目瞪口呆的。

Gibbs相信,還有很大的空間去找到更好的最小萬有覆疊。而Baez希望Gibbs為勒貝格萬有覆疊問題帶來的關注,能激發其他數學家的興趣。到那時,或許就可以丟掉初級的歐幾里德幾何,轉而使用更現代的數學技巧,以一種截然不同的想法面對這個問題的挑戰。

延伸閱讀:

  • 也想去John Baez的網站發掘數學寶藏嗎?訪問這個網址吧! https://johncarlosbaez.wordpress.com/
  • 業餘數學家如何寫論文?看看Gibbs的範本:https://arxiv.org/pdf/1810.10089.pdf


業餘數學家如何解決百年數學難題?


https://www.quantamagazine.org/amateur-mathematician-finds-smallest-universal-cover-20181115/


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