業餘數學家如何解決百年數學難題？

如果離開了大學，還能繼續做一個科學家或數學家嗎？即使早在1905年，在專利局工作的愛因斯坦也會遭遇文獻獲取的困難，他不得不在對玻爾茲曼的工作不那麼清楚的情況下，重新開拓自己的道路。

而到了今天，專業分工更為精細，每一個細分領域都有著浩如煙海的文獻，專業研究者尚且會淹沒其中，非專業人員即使對一些問題感興趣，也很難弄清楚研究的前沿在哪裡，更不要說找到一條路徑，解決自己感興趣的問題了。（巨人的肩膀真高啊……）

然而，有這麼一位“非職業”數學家，他挑戰了一個能讓最精密嚴格的數學家也為之瘋狂的問題。這位“非職業”的數學家，名叫Philip Gibbs。年輕的時候，Gibbs想過要成為一名科學家，所以就去劍橋大學數學系讀了本科，然後又跑到格拉斯哥大學獲得了理論物理學的博士學位。但是這位少俠很快就對學術研究失去了熱情，轉而成為了一名軟件工程師。直到2006年退休之前，他都在忙於為船舶設計、空中交通管制和金融等領域設計軟件系統。

○ Philip Gibbs。

這時，Gibbs仍然對學術問題很感興趣，但是一個人作為獨立科學家，很難跟上科學界所發生的一切。幸好，他會閱讀加州大學河濱分校的數學家John Baez的博客，當他看到一篇談論法國數學家亨利·勒貝格（Henri Lebesgue）的萬有覆疊問題（universal covering problem）的文章時，他意識到，這正是能深深吸引他的東西。

萬有覆疊問題

這個問題最初是由勒貝格提出的。1914年，勒貝格在給朋友Julius Pál的信中問道：對於許多不同（但都具某種共同特徵）的形狀，能夠覆蓋他們的最小面積的形狀是什麼？

這，就是所謂的萬有覆疊問題。

在腦海中想象一系列不同尺寸和形狀的剪紙圖形。然後，想象著設計另一個形狀，它剛好大到能覆蓋那一系列形狀。你可以動手做實驗，剪一個形狀覆蓋在上面，旋轉一個角度，感受下解決方案應該是什麼樣的。

假如你找到了一個萬有覆疊，又要怎樣才能知道這就是面積最小的形狀呢？你可以繼續回到尋找覆疊的那一步，找一些邊邊角角，這裡剪一點，那裡剪一點。

○ 什麼形狀可以覆蓋如此多種多樣的形狀呢？

這正是勒貝格萬有覆疊問題的精神宗旨。只不過這個問題考慮的不是修剪，而是任意兩點間的距離不超過一個單位的形狀。圓是最明顯的直徑可以為1的形狀，但是還有無限多的其他形狀：等邊三角形、正五邊形、正六邊形、三邊膨脹的勒洛三角形（Reuleaux triangle），這些還只不過是開始。正是形狀的多樣性使得我們在尋找最小覆疊時困難重重。

○ 黃色部分為勒洛三角形。

Pál在收到勒貝格的來信後不久，意識到正六邊形是一個萬有覆疊。然後，他找到了一個更好的答案。他注意到，可以剪切掉正六邊形下方兩個不連續的角，得到的形狀有著更小的面積，卻仍然是一個萬有覆疊。

在接下來的80年，另外兩個數學家在Pál的萬有覆疊的基礎上，又剪掉了一些角。1936年，Roland Sprague去除了一個角的一部分。1992年，H. C. Hansen又剪切掉了左下角和右下角的兩個非常小的楔形，它們的面積只有0.00000000004個單位。

上面的示意圖不可避免的具有誤導性，因為根本不可能按照實際尺寸畫出這個形狀，事實上，這些剪切掉的面積幾乎只是原子尺寸的碎片。

2013年，Baez的數學博客讓沉寂多年的勒貝格萬有覆疊問題不再默默無聞。Baez承認，自己對這個問題的興趣有些病態，自己被這個問題吸引，就像一個人會被昆蟲淹沒的景象吸引一樣——露出水面的面積變得越來越小。它似乎並不是一個重要的問題，自己也很難看到它與許多其他美麗的數學的聯繫。但是，相比於最初的想法，這個問題似乎驚人的困難，鑽研這個問題的人就像是決定要滑雪穿越南極一樣。

這個問題從來沒有多少數學家關注，因此，Gibbs想，或許他能在這個問題上取得一些進展。他還意識到，自己的編程背景其實是一個優勢，他可以用計算機做一些數學實驗。

原子尺寸的剪刀

2014年，Gibbs用計算機隨機生成了200個直徑為1個單位的形狀，並用它們做數學模擬。結果表明，他或許可以在先前最小覆疊的頂角處剪切掉一些面積。然後，他證明這個新的覆疊對所有可能的直徑為1個單位的形狀都適用。Gibbs將證明寄給Baez，Baez讓自己的一個學生

這次新的結果將最小萬有覆疊的面積從0.8441377減少到0.8441153個單位，剪切掉的那部分面積只有0.0000224個單位，幾乎是1992年Hansen剪切掉的面積的一百萬倍。

Gibbs相信自己可以做得更好。剛剛過去的十月，他又從之前的萬有覆疊中削掉了“龐大的”一片，將面積減少到了0.84409359個單位。

Gibbs所採用的策略，是將所有直徑為1的形狀都放到之前的最小萬有覆疊的一個角落，然後剪切掉相反角落多餘的面積。他必須精確地計算出減少的面積。Gibbs使用的數學技巧全部來自歐幾里德幾何，但他所需要達到的計算精度，是會讓高中生目瞪口呆的。

Gibbs相信，還有很大的空間去找到更好的最小萬有覆疊。而Baez希望Gibbs為勒貝格萬有覆疊問題帶來的關注，能激發其他數學家的興趣。到那時，或許就可以丟掉初級的歐幾里德幾何，轉而使用更現代的數學技巧，以一種截然不同的想法面對這個問題的挑戰。

延伸閱讀:

• 也想去John Baez的網站發掘數學寶藏嗎？訪問這個網址吧！ https://johncarlosbaez.wordpress.com/
• 業餘數學家如何寫論文？看看Gibbs的範本：https://arxiv.org/pdf/1810.10089.pdf

https://www.quantamagazine.org/amateur-mathematician-finds-smallest-universal-cover-20181115/

閱讀更多 原理 的文章

關鍵字: 格拉斯哥大學 解決 非專業