楠木青城醉
這並不是悖論。
根號2在數學上是無理數不假，無限不循環的小數，在數學上，無法計算出它的最後一位究竟是啥。但是在現實世界的表達上，就不需要這麼苛求。
根號2≈1.4142135623，這個數字介於1.41-1.42之間，所以，無理數有它觸碰不到的天花板，這樣，在現實世界的表達上，就可以表達了。
比如整數1，整數1的表達是0.99999999（無限下去）。那麼為什麼我們的尺子上有整數1呢，不就是為了方便測量嗎。
數學與現實，有時候，數學是無法完美的在現實中表達的。比方說四維、五維模型，像那個著名的克萊因瓶一樣，現實中的克萊因瓶只是一種示意，並不是真正的，真正的是不需要破個洞的。
就題目來說的根號2，你畫出來的長度不超過1.42就行，這種情況下，無需較真。
一枚遊戲科幻迷
恭喜你，不經意間發現了史上的第一次數學危機。如果在2500年前，你也許會被當作異端扔進海里哦。這事還得從公元前580~568之間的古希臘說起。
當時數學家畢達哥拉斯(Pythagoras)建立了畢達哥拉斯學派。這一學派集宗教、科學和哲學於一體，他們認為萬物皆數，即宇宙間的一切現象都能歸結為整數或整數之比。但是該學派的成員希伯索斯(Hippasus)根據勾股定理(西方稱為畢達哥拉斯定理)通過邏輯推理發現，邊長為1的正方形的對角線長度既不是整數，也不是整數的比所能表示的。希伯索斯的發現被人們看成是荒謬和違反常識的事。它不僅嚴重觸犯了畢氏學派的信條，同時也衝擊了當時希臘人的傳統見解，使古希臘的數學家們感到驚奇和不安，所以這一事件在數學史上稱為第一次數學危機。希伯索斯的發現終沒有被畢達哥拉斯學派的信徒們所接受，相傳畢氏學派就因這一發現而把希伯索斯投入海中處死。
越來越多無理數的發現迫使希臘數學家不得不研究這些數。歐多克斯(Eudoxus，約公元前408～前347)首先引入了“量”的概念，這裡的量不是數，而是代表諸如線段、角、面積、體積、時間等。量與數的不同在於，數是離散的，即可數的，而量可以是連續的。歐多克斯由量的概念出發給出了一種新的比例論。歐幾里得《幾何原本》第五卷中引用了這種比例論，其定義為：設A，B，C，D是任意四個量，其中A和B同類(即均為線段、角或面積等)，C和D同類。如果對於任何兩個正整數m和n，mA大於、等於、小於nB是否成立，相應地取決於mC大於、等於、小於nD是否成立，則稱A與B之比等於C與D之比，即A，B，C，D四量成比例。通過這一新的比例論，希臘數學家可以嚴格地將可公度量的證明推廣到不可公度的量，從而解決了不可公度帶來的邏輯上的矛盾。
歐多克斯比例論實際上是為了避免把無理數當作數，這個理論給不可公度量的比例提供了邏輯依據，但是也將數同幾何截然分開，而且使希臘數學的重點從數轉向了幾何，因為幾何可以處理無理數。在此後的幾千年間，幾何學成為幾乎是全部嚴密數學的基礎，而算術和代數則沒有取得獨立的地位。
第一次數學危機的徹底解決，是在危機產生二千年後的19世紀，建立了極限理論和實數理論之後，才被徹底解決的。
天涯鐵鉤
你好，終於看到一個非常有趣的問題。這個問題問得非常有水平，說明樓主也是善於思考，善於發現問題的人，對於根號2，可以用邊邊長為1的等腰直角三角形表示，下面我來說說我的看法：
1.根號2是一個無理數，大家都知道，所謂無理數就是不知道這個數有多少位，小數點後數字是無限不循環的，其值大概等於1.41421。
2.根號2雖然是一個無理數，但是他也是一個有界的，就是他的大小大於某個數，同時也小於某個數，也就是說我們知道他的一個取值範圍。
3.所謂能用邊長為1的等腰直角三角形表示，也就是說，三角形斜邊對應邊長為根號2的數值，但是這並不與它是無理數有關係，也就是無理數不是不能表示的。
這是你的一個思維誤區，希望通過上面的三點能夠明白這個意思。希望我的回答能讓你滿意，喜歡的關注，點贊，評論，謝謝大家
攻城獅一號
小時候做算數題，買東西的要付給賣東西的0.333333……元，無限循環小數，心想這個賣東西的發財了，無限循環哦！過了好多年才突然明白，0.333333……再無限循環，也不會比三毛四分錢多。
回到題主的問題上來說，為什麼根號2能畫出來卻寫不出來？這本身是一個幾何學問題。一個等腰直角三角形，如果把它的直角邊長度定義為1，它的長邊的長度就是根號2。這是一個相對關係，不是絕對關係，三角形直角邊的長度是1米還是1英尺都不會影響這個定義成立。
如果再深入一點，這代表了我們人類認識世界的手段，我們是無法認識到直接的真實世界的，我們只是用一種模糊匹配的方式來認識這個世界。根號2只存在於理論中，實際上我們無法畫出兩根長度絕對一樣的直線，也不可能畫出絕對的直角，也就無法畫出絕對的根號2的長度，我相信現實世界中也無法存在這樣的實物長度，其他的像圓周率π也不可能實際存在。
但是我們人類提出了根號2和圓周率π這個概念，可以無限的把這個數字計算下去，雖然到世界末日我們也無法得到這個數字的確切值，但是這種計算方法卻為我們提供了不同的計算精度，實際上即使再精密的科研領域，也用不到小數點後多少位的精度，我們可以用這種無限不循環的小數來模擬現實中遇到的事物，來滿足我們人類自身需求，這就叫模糊匹配。
奇怪的是人類掌握真理，現實世界只是匹配我們人類的真理，這真是宇宙中最奇怪的事情。
麻爪工學院首席瞌睡家
這個問題的提出，源於沒有吃透數學思維，但的確是個好問題。
那麼，什麼是數學思維呢？數學思維就是用統計、近似、逼真、代換、對應、映射、投影、迭代、仿造、建模等數學方法，把複雜問題簡單化。
其中的迭代，即近似代換，是數學思維的精髓。數值是一個代號，代表特定的幾何圖形。幾何圖形是一個代號，代表一類實體圖景。
三者之間的迭代關係是：數值↹幾何↹實體。實體是模糊而複雜的，幾何是形象而簡化的，數值是抽象而方便的。
回到本題。數值√2↹正方對角線↹某個圖景。以此類推：數值π↹圓周/直徑↹太陽圓；虛數√-1↹逆時針旋轉½π↹某個裝置；
自然常數e↹代數式lim(1+1/n)^n↹規範螺旋線↹龍捲風圖景。
物理新視野
因為這兩個之間沒有因果關係啊。
當然，你想問的可能是另一個問題：為什麼能繪製出無限精度的東西呢？
答案是，我們所有真實繪製出來的東西，其精度都是有限的。但我們在概念上是可以嚴格定義出根號二的。
而且我們也能嚴格的證明，邊長為一的直角三角形，其弦長為根號二。
至於為什麼無法精確畫出，其實很簡單，精度都是有限的，而「精確」需要無限的精度。以有限比無限，殆矣。
數學上說的「尺規作圖」，並不是要精確的畫出來，雖然早期可能是這個目的。但後來追求的其實是一個概念上的關係。你用圓規畫出一個圓，很顯然它實際不是一個圓——它有各種缺陷。但並不妨礙數學家把它看作一個圓。因為數學證明並不建立在「看起來對」的基礎之上，它需要邏輯。
既然不需要看起來對，那在圖示、可視化的部分，其實是可以不那麼精確的（也做不到）。我們畫一個三角形，甚至一個線段，它的實際長度到底是多少其實關係不大，最關鍵的還是背後表達的嚴格的數學結構。
章彥博
2的開方前500位：
1.4142135623730950488016887242096980785696718753769 50
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29369186215805784631115966687130130156185689872372 500
多維觀世界
說√2是個無理數，那是不知道√2的數理含義的歪說。請看官們先搞清楚“√“的符號意義作用，才能搞清楚“√2=1.4142135“的數學現象和意義。其實，數學先輩造出二次根式“√“是數學“理論工具“。而“√“數學“理論工具“在勞動人民的偉大實踐中的生產工具是剪刀（或小刀）。說“√“是數學“理論工具“是對“長方形的2平方”進行開兩次方根，就等於對“長方形的偶數2平方”進行約等於1.4142135長寬的兩次切割修補成了“約等於正方形的偶素2平方”，因此，√2x√2=1.4142135×1.4142135=1.9999999≈2（如果用代數符號表述則很清楚√Bx√B=a.papdaiy×a.papdaiy=A.IIIIIII≈B）。顯然，約等於正方體的2平方面積的長約等於1.4142135，寬約等於1.4142135。請各位看官在二維平面座標系上的豎軸畫出1.4142135長的刻度，再在二維平面座標系上的橫軸畫出1.4142135寬的刻度，然後用1.4142135長乘以1.4142135寬等於1.9999999約等於“2”，這個“2“就是約等於正方體面積。 請各位看官再在二維平面座標系上的豎軸畫出”1”長的刻度，又再在二維平面座標系上的橫軸畫出“1”寬的刻度，然後在橫、豎兩個“1”長的頂點，劃一條絃線，那麼這條絃線長度則約等於1.4142135長，這是勾邊長“1”與股邊長“1”及弦邊長“1.4142135”的直角三角形的解。這個勾邊長“1”與股邊長“1”及弦邊長“1.4142135”的直角三角形的解，就是在數學理論上把“口+口=日的兩個1平方面積之和的長方形2平方剪切了一次約等於1.4142135的一條邊即“√2=1.4142135”。綜上所述，數學理論工具的二次根式“√“在勞動人民的實踐中擔當了“剪刀或小刀”工具作用。數學理論工具的三次根式“³√“在勞動人民的實踐中擔當了“大砍刀或鋸子或砂輪切割機或激光”等工具作用。 數學理論上把“長方形變易成正方形就必須對長方形進行開二次方 ，如√2x√2=1.4142135x1.4142135≈2，√3x√3=1.732025x1.73205≈3，√4x√4=2x2=4，√5x√5=2.23606x2.23606≈5”。因此正方形有兩個同質同大平方根，之所以2長乘以2寬等於4平方。長方形有兩個同質不同大的平方根，之所以2長乘以3寬等於6平方。 數學理論上把“兩個正方形面積之和變易成直角三角形就必須對兩個正方形面積之和進行開一次方得到了直角三角形的弦長，如√1+2=√3=1.732050756（2是約等於正方形面積。之所以，勾邊長1，股邊長1.4142135，弦邊長1.732050756）。√1+4=√5=2.23606797749，之所以勾邊長1，股邊長2，弦邊長2.23606797749”。 數學理論上把“長方體變易成正方體就必須對長方體進行開三次方，開一次方得到一個立方根，開二次立方得到了二個立方根，開三次方得到了三個立方根，如³√8׳√8x³√8=2x2x2=8”。因此正方體有三個同質同大立方根，之所以2長乘以2寬再乘以2高等於8立方。長方體有三個同質不大立方根，之所以2長乘以3寬再乘以4高等於24立方。 綜上所述，說“√2”是無理數是對“√2”的數學含義不理解不明白一種歪說。
ldk666666
首先要明白一點，√2是一個數學概念，√2m是一個物理概念或者現實概念，它們兩個遠不是一個概念，數學上存在的概念現實中有可能並不存在！
一切都因為普朗克長度的存在，這個長度大約等於1.6x10的-35次方米，是長度的自然單位，也是有意義的最小可測量長度。
普朗克長度的發現意味著物體在現實中不可無限分割，而數學概念上是可以無限分割的。同時數學概念你在的找不到比0大的最小的數，而現實中或者物理學上你可以找到這樣的數，它就是普朗克長度！
普朗克長度也表明，現實中的長度（時間也是如此）並不是連續的，這意味著存在這樣一個長度，十分十分接近√2m，比這個長度再大一個普朗克長度，這個長度就越過了√2m，也就是比√2長一點點！
明白了這個道理，對於題目中的問題就應該明白了，不會為那個問題所糾纏了！
說的再直白點，現實中你在永遠畫不出真正的√2m，不但如此，你永遠畫不出任何長度，比如說你不可能畫出真正的1m（1米），1m只是人類的定義！
為何這樣說？
我們都知道1=0.9999（無限循環下去），不明白這個等式的就先不用看這個問題了，先去補補初中的數學知識！
那麼你能畫出真正的0.9999m（同樣無限循環，下同，用四個9代替）長度的線段嗎？
同理，再舉個例子，你去買一把1米長的尺子，你跟雜貨鋪老闆說要買一根長0.9999米（無限循環，也就是1米）的尺子，或者你要買一根真正的完美的1/3米長的尺子，老闆能做到嗎？是不是給你倆耳光？
所以，你利用直角三角形畫出來的並不是真正的√2m，無論如何這個長度都會比√2m略大或略小！
宇宙探索
看來很多人對這個的理解還是很模糊。主要是很多人還是分不清度量和數字的區別。
數字是人類抽象的概念，是一套數學系統。而物體的長則是物體本身的屬性，任何物體都有一定的長。而我們用數字去表示物體的長的多少，這個就叫做長的度量，簡稱長度。
什麼意思，首先明白數字並不是真實存在的東西。數字是人類抽象出來計算的符號系統。比如原始人數貝殼，一個兩個三個，然後數蘋果一個兩個三個，慢慢就意識到這之間有一個什麼共同的，可以用來表示物體多少的東西，這個就是數字，慢慢的人就形成了數的概念。
人類明白數字之後，就希望用數字來計算物體的多少，隨著慢慢就形成了加減乘除的概念，數學就誕生了。
數字可以用來計算物體的多少，那麼能不能來用數字計算物體的大小？？？在遠古時代肯定會有一個祖先想過這個問題。
我們今天知道當然是沒問題的，方法就是利用一個標準長度和被度量的長度來進行比較，然後再利用數學來表式出物體的長度。
比如，現在有一條線，那這條線的長度是如何得到的？是國際上規定出多長的一條線，叫做1米，然後用這個標準長度和被測量物體進行比較，剛好一樣長，那麼這條線的長度就是1米。
如果這條線比1米短，那麼我們就把一米等分成10分，然後再比較。假如這條線正好是等於4個等分，那麼就是0.4米。如果等於20個等分，那這條線就等於2米。
所以你要明白兩個道理，一 數字是人類用規定好的單位系統來度量物體長的。二 數字並不決定長，而是長決定數字。
明白度量的道理，你就可以理解√2是什麼概念。比如說你畫了兩條邊為一米的直角三角形，然後，你開始量斜邊。
首先，你用標準的1米和斜邊做比較，發現斜邊比1米長，那麼你知道斜邊的長度是在1米和兩米之間的。
然後你把1米等分成10份，再次比較，發現斜邊比14份要長，比15份要小，那麼你明白斜邊的長度是在1.4和1.5米之間。
然後你再把1米分成100等分，再比較，發現斜邊比141份要大，比142份要小，那麼你就明白了斜邊的長度是在1.41米到1.42米之間。
於是你不斷的重複這個過程，發現斜邊的長度始終無法剛好等於你劃分小份的10倍，這個就是√2這個無理數的概念。
請你自己在大腦裡想象一下我說的過程，你應該明白以下幾個事實。
一 斜邊的長度再度量的過程中始終沒有變。變化的是你用來比較的單位長度！所以根本不存在你所說的斜邊沒有盡頭的事。斜邊的長度始終是固定值。
二 之所以斜邊的小數位無限增多，是因為你在不斷的用10等分的單位長度來度量斜邊，斜邊的長度一直不是單位長度的10整倍數而已。
這樣不斷10等分的數字，我們就叫他自然數。不能因為我們常用的數字系統是以10等分為基礎的自然數，就認為世界上所有的長度就一定是10的整倍數。√2這樣的就無法劃分成10的等倍數，所以用自然數表示就會是一直無限不循環的小數。
所以是我們無法用自然數固定的表示斜邊的長度，並不是斜邊的長度在變化。我們為了彌補自然數的不足，就發明了無理數。所以斜邊的長度就是√2，1.414.....僅僅是√2的小數近似。
最後再重伸一下，長度是我們用人為規定標準長度和實際物體進行比較，然後用數字表示的一個值。現代一米是有國際化標準化組織規定的。完全可以規定剛才三角形斜邊這個長度就是1米，這樣原來的無理數長度就變成了1米，而我們現在用的1米卻變成了無理數。
