作者 | [法]米卡埃爾·洛奈(Mickaёl Launay)
譯者 | 孫佳雯
對於古希臘的數學家們來說，“證明”將是他們需要攻堅的主戰場之一。如果沒有相應的驗證過程，那麼一個“定理”則不能被承認，也就是說，需要有一個特定的邏輯推理明確地確立其真實性。應該說，如果沒有證明過程的“保駕 護航”，數學結論中可能會混雜一些不妙的“驚喜”。然而， 有一些方法，雖然被人們熟知且大範圍使用，卻並不總是那麼管用。
舉個例子！在《萊因德紙草書》[1]的記錄中，有一個關於“化圓為方”[2]的問題，然而這個記錄是錯誤的。雖然錯得不算太離譜，但還是錯了。不管我們如何努力，圓形和方形的面積之間依然存在大約0.5% 的差別！所以，對於土地測量員或者其他的土地規劃師來說，這沒什麼問題，如此的精度綽綽有餘，但是對於理論數學家來說，這是不可接受的。
譯註[1]：也稱阿姆士（Ahmose）紙草書，或者大英博物館10057和10058號紙草書，是古埃及第二中間期時代（約公元前1640年至公元前1550年）由名為阿姆士的僧侶在紙草書上抄寫的一部數學著作，是具有代表性的古埃及數學原始文獻之一。
譯註[2]：化圓為方是古希臘數學裡尺規作圖領域當中的命題，和三等分角、倍立方問題並列為盡規作圖三大難題。其問題為：求一正方形，其面積等於一給定圓的面積。
就連畢達哥拉斯也陷入了各種錯誤假設的陷阱之中，他最著名的錯誤是關於“可測長度”的問題。畢達哥拉斯認為， 在幾何學的意義上，任意兩個長度總是可以被測量的，也就是說，能夠找到一個足夠小的單位，同時測量這兩個長度。試想一下，有兩條線段，一條長9 釐米，另一條長13.7 釐米。古希臘人並不知道小數點，他們只用整數來測量長度。因此， 對於他們來說，第二條線段無法用釐米來測定。但是沒關係， 在這種情況下，只要用更小的單位，即釐米的十分之一⸺ 毫米⸺來測定，很容易得出這兩條線段分別為90 毫米和137 毫米。畢達哥拉斯相信，任意兩條線，不管長度是多少， 總是能夠找到一個合適的度量單位進行同時測量。
然而，這種“信念”卻被一個叫希帕索斯的畢達哥拉斯學派門徒推翻。希帕索斯發現，在一個正方形中，邊長和對角線長是不可同時測量的！不管選擇什麼測量單位，正方形的邊長和對角線長總是不可能同時由整數測定。希帕索斯還提供了一個邏輯論證，使得這個結論變得板上釘釘，不可動搖。畢達哥拉斯和他的門徒們大為驚慌，將希帕索斯驅逐出畢達哥拉斯學派。甚至有傳言說，希帕索斯因為這一發現被他的同窗們丟進了海里！
對於數學家來說，這樣的逸事是很可怕的。我們真的能夠肯定地斷言什麼事情嗎？我們是不是生活在這樣一種永恆的恐懼之中，害怕所有的數學發現有朝一日都會支離破碎？那麼邊長為3∶4∶5的三角形呢？我們能確定它真的是直角三角形嗎？在未來的某一天，我們是不是也可能會發現，在我們今天看來是完美直角的那個角，其實也只是一個近似直角的角而已？
直到今天，數學家們還時不時地成為錯誤直覺的受害者，這並不稀罕。這也就是為什麼，當今的數學家們依然追隨古希臘前輩們追求嚴謹的精神，並且採取非常謹慎的態度來區分那些被稱為“定理”的、已經被論證過的陳述和那些他們認為是正確的，但是暫時還沒有辦法得到證明的陳述⸺他們稱之為“猜想”。
在我們這個年代，黎曼猜想是非常著名的數學猜想之一。很多數學家都對這個尚未被證明的猜想的真實性很有信心，因此他們做了很多以黎曼猜想為基礎的研究。如果有朝一日，黎曼猜想變成了定理，那麼他們的研究就能“板上釘釘”。但如果有朝一日黎曼猜想被推翻，所有以黎曼猜想為基礎的研究工作都會隨之傾頹，無數人畢生的努力將付之東流。我們作為21 世紀的科學工作者，毫無疑問會比我們的古希臘前輩們更加理性，但是我們也可以理解，在這種情況下，如果有一位數學家站出來宣稱黎曼猜想是不成立的，那真的會有不少數學家同行產生想投水自盡的慾望。
正是為了避免這種不知何時可能就“被否定”的永恆的焦慮感，數學需要證明。沒錯，我們永遠不會發現原來3∶4∶5 不是直角三角形， 它就是直角三角形， 確定一定以及肯定。這種確定性來自於“畢達哥拉斯定理已經被證明了”這一事實。任意兩邊邊長的平方和等於第三條邊的平方的三角形是直角三角形。對於美索不達米亞人來說，上面的陳述毫無疑問只是一個猜想。可是對於古希臘人來說， 它就成了定理。 喲吼！
那麼，所謂的“證明”到底是什麼樣子的呢？畢達哥拉斯定理不單單是最著名的定理，同樣也是人類歷史上擁有最多證明方式的定理⸺差不多有幾十種。其中有一些證明方式是由其他文明的人獨立發現的，他們肯定沒有聽說過歐幾里得，也沒有聽說過畢達哥拉斯。比如，在《九章算術》的後人批註當中，人們就發現了勾股定理的證明過程。還有一些證明過程是由一些數學家完成的，他們知道這個定理已經被證明，或是出於想要挑戰的心理，或者是希望能夠給這個定理留下一些個人的印記，總之他們興致勃勃地創建了新的證明方式。在這些數學家中，我們能找到幾個相當耳熟能詳的名字，比如意大利發明家達·芬奇，或者第20任美國總統詹姆斯·艾布拉姆·加菲爾德。
在畢達哥拉斯定理的證明過程中，我們發現，有一個原則被經常使用：如果兩個幾何圖形是由同樣若干個幾何形狀以不同的方式拼貼而成的，那麼這兩個圖形的面積是相等的。以下就是公元3世紀的中國數學家劉徽想象出來的切割方式。
由中間的直角三角形兩個直角邊出發，形成的兩個正方形，分別由2塊和5塊碎片構成。所有這7塊碎片合起來，形成了另外一個由該直角三角形斜邊出發構成的正方形。因此，以斜邊為邊長的正方形面積等於另外兩個較小的正方形面積之和。而正方形的面積等於它邊長的平方，於是，勾股定理證明完畢。
我們這裡不會就更多的細節具體展開，但很顯然，為了使證明過程變得完整，有必要證明所有的這些碎片都完全地、嚴格地相同，並且證明這樣的切割適用於所有的直角三角形。
總之！讓我們重拾我們的推理鏈，為什麼3 ∶ 4 ∶ 5 是直角三角形？因為它得到了畢達哥拉斯定理的認定。為什麼畢達哥拉斯定理是正確的？因為劉徽對正方形的巧妙切割，展示了直角三角形兩條直角邊長構成的正方形面積和恰好等於該直角三角形斜邊構成的正方形面積。整個過程看上去很像孩子們愛玩兒的“為什麼”遊戲。問題是，這個小小的遊戲有個令人討厭的缺陷，就是它永遠都不會結束。無論問題的答案是什麼，我們總是有可能再對這個答案提出質疑。為什麼？是啊，為什麼呢？
讓我們再回到劉徽的拼圖：我們已經確定，如果兩個幾何圖形由相同的若干碎片構成，那麼這兩個圖形具有相同的面積。可是，我們證明過這個原則始終是正確的嗎？難道我們就找不到這樣的一些碎片，使其面積和因組裝方式的不同而不同嗎？這種主張看上去似乎很荒謬，不是嗎？它是如此的荒謬，以至於想要證明它的嘗試看上去都非常奇怪……然而， 我們剛剛才確認過， 在數學中， 很重要的一點就是“ 證明一切”。所以就在我們承認這一規則之後不到一會兒，就願意放棄這一規則了嗎？
這可不是什麼玩笑，形勢很是嚴峻。尤其是，即使我們成功地解釋了為什麼劉徽的拼圖原則是正確的，還是應該繼續證明使用這種方法是出於什麼理由！
古希臘的數學家們也意識到了這個問題。為了證明某個數學事實，需要從另外一個地方入手。但是，任何數學過程的第一句話都沒有得到證明，就是因為它們是“第一句話”。因此，所有的數學建構，都必須從承認某一些先驗的顯然事實開始。因為所有的建構都將以這些“顯然事實”為基礎而展開，因此我們必須萬分慎重地選擇這些“顯然事實”。
數學家們稱這些“顯然事實”為“公理”。公理和定理、猜想一樣，都是數學陳述，但區別在於，公理沒有證明過程，我們也不需要尋求證明過程。它們被所有人承認是正確的。
公元前3世紀，歐幾里得撰寫了一部共13卷的《幾何原本》，主要用來討論幾何學與算術的問題。
對於歐幾里得，今天的我們瞭解得不多，他並不像泰勒斯或者畢達哥拉斯那樣留下了很多的相關資料和江湖傳說。他很有可能住在古埃及的亞歷山大港一帶。還有一些人提出一種假說，就像之前針對畢達哥拉斯的假說那樣，他們認為歐幾里得不是“一個人”，而是一群學者的合稱。總之一切都不能確定。
儘管我們對歐幾里得知之甚少，然而他卻留給了我們《幾何原本》這樣偉大且不朽的著作。這部鉅著被毫無爭議地認為是數學史上偉大的著作之一，因為它最先採用了公理化的方法。《幾何原本》一書的撰寫方式具有令人吃驚的現代性特徵，它的行文結構非常接近我們這個時代的數學家們依然在使用的結構方式。在15 世紀末期，《幾何原本》是谷登堡[3]使用新印刷術印刷成書的第一批書籍之一。在今天，歐幾里得的《幾何原本》是人類歷史上再版次數第二多的著作，僅次於《聖經》。
譯註[3]：約翰內斯·谷登堡(Johannes Gutenberg)，德國人，是發明活字印刷術的第一位歐洲人，他的發明引發了一次媒介革命，並被廣泛認為是現代史上非常重要的事件之一。
在討論平面幾何的《幾何原本》第一卷中，歐幾里得提出了以下5 個公理：
1. 任意兩點能夠定義一條線段。
2. 一條線段能夠向兩端無限延伸。
3. 給定一條線段，能夠畫出一個以該線段的一個端點為圓心，線段長度為半徑的圓。
4. 所有的角度都可疊加。
5. 若一條直線與兩條直線相交，在某一側的內角和小於兩個直角和，那麼這兩條直線在各自不斷地延伸後，會在內角和小於兩直角的一側相交。
在這5個公理之後，是長長的一串經過證明的、無可爭議的定理。對於所有這些定理的證明，歐幾里得使用的不過是上述的5個公理或者從這5個公理出發證明得出的結論。《幾何原本》第一卷的最後一個定理是我們的老熟人了⸺正是畢達哥拉斯定理。
在歐幾里得之後，大量的數學家也對“公理的選擇”這一問題產生了興趣。他們中有很多人尤其對歐幾里得的第5條公理感到困惑和不安。沒錯，最後這一條公理的確比前4條看上去複雜得多。有的時候，人們會用一個更簡單的陳述代替這一條公理，但是最終的結論還是一樣的：對於給定的一點和不經過該點的一條直線，我們能且只能畫出一條經過該點的該直線的平行線。對於“第5條公理”的選擇問題，數學家們一直爭論到了19世紀，最終，隨著新的幾何模型的創建，爭論終於停止了，因為人們發現，在非歐幾何學中，“第5 條公理”是不成立的！
關於公理的表述還帶來另外一個問題，即“定義”的問 題。我們所使用的這些詞：點、線段、角或者圓，它們又是什麼意思呢？如同“證明”所遭遇到的問題一樣，“定義”的問題也是無窮無盡的。因為“第一個”定義必然是由此前沒有定義過的詞所表述的。
在《幾何原本》中，定義是先行於公理的。第一卷開篇第一句話就是對“點”的定義。
點是沒有部分的東西。
真是很奇怪的表述，但是習慣就好！歐幾里得通過這個定義想說的是， “點”是可能存在的幾何圖形中最小的一個。我們不可能玩兒“點”的拼圖遊戲，點是不可切割的，它沒有“組成部分”。1632 年，在《幾何原本》早期的法語版本之一中， 數學家丹尼· 亨利翁在他的註釋中對“點”的定義做了一定程度的補充，指出點是“沒有長度、沒有寬度、沒有高度”的幾何形狀。
這些“否定式”的定義讓人心生懷疑，因為它只說了“什麼不是點”，而沒有真正地說清楚“點到底是什麼”！然而， 更“聰明”的傢伙們知道如何更好地下定義。在20 世紀早期的一些法國教材裡，我們有時能找到這樣的定義：將一支削得極細的鉛筆筆尖壓到一張紙上，得到的痕跡就是“點”。“削得極細！”這次，我們終於有了一個實體的點。然而，這樣的一個定義卻能把歐幾里得、畢達哥拉斯和泰勒斯等古代數學家氣得活過來，因為他們費盡千辛萬苦，竭盡畢生之力，只是為了創造出完全抽象的、理想化的幾何圖像。沒有任何一支鉛筆⸺無論筆尖被削得有多麼細⸺能夠真的在紙上留且僅留下一個沒有長度、沒有寬度、沒有高度的痕跡。
總之，沒有人真正知道“點”到底是什麼，但是幾乎所有人都確信，“點”這個想法足夠簡單和清晰，而且不會產生模稜兩可的情況。所以，當使用“點”這個詞的時候，我們終於能夠確定所有人都在討論同一個事情。
正是出於對這些“初始定義”和“公理”的絕對篤信，人們在此基礎上發展出了整個幾何學。而且，更準確地說，我們整個現代數學學科正是建立在同樣的模型基礎之上的。
定義―公理―定理―證明：這條由歐幾里得開闢的道路將成為他所有的後繼者必須要追尋的路徑。然而，隨著理論的建構和擴大，數學家們新的眼中釘又出現了，那就是悖論。
所謂悖論，就是一種似假非真、似是而非、自相矛盾的命題。它是一種顯然不能被解決的矛盾。一個看上去絕對正確的論述，結果卻能夠推導出一個完全荒謬的結論。想象一下，你列出了一個公理的清單，這些公理在你看來都是不容置疑的，然而你卻從這些公理出發推導出了一系列明顯是錯誤的定理！簡直是噩夢啊！
歷史上著名的悖論之一，是由米利都的歐布里德提出的， 內容與古希臘詩人埃庇米尼得斯說過的話有關。的確，埃庇米尼得斯曾在某一日宣佈說：“所有的克里特人都是騙子。”那麼問題來了，埃庇米尼得斯自己就是一個克里特人！因此，如果他說的是真的，那麼他就是個騙子，所以他說的就是謊話； 如果他說的是假的，那麼他就是在說謊，這句話就成了真話！ 後來，這個悖論被演變成了各種各樣的形式，其中最簡單的一種，是一個人說：“我說的這句話是謊話。”
說謊者悖論挑戰了一個我們預設的想法，那就是對於任意一句陳述來說，它或者是真，或者是假，絕對沒有第三種可能。在數學上，這被稱為“排中律”。乍一看，把排中律的原則當成一個公理似乎是個很誘人的提議。然而，說謊者悖論卻警告了我們：情況比排中律所說的更復雜。如果一個陳述確認了自己的虛假性，那麼在邏輯上，它就是既非真也非假的。
但是，這種程度的“困擾”並不會影響當今大多數數學家認為排中律是真實的。畢竟，說謊者悖論並不是一個真正的數學陳述，人們覺得它更像是一種語言學上的不一致，而不是一種邏輯的矛盾。然而，歐布里德身後2000 多年，邏輯學家們發現，同樣類型的矛盾居然也出現在了最嚴格的理論當中，造成了數學領域的劇烈動盪。
公元前5 世紀的古希臘哲學家，埃利亞的芝諾，也是一位善於創造悖論藝術的大師。他自己一個人就創造出了將近10種悖論，其中最負盛名的，就是“阿喀琉斯追烏龜”。
想象一下，阿喀琉斯（一位著名的運動健將、“希臘第一勇士”）和一隻烏龜，賽跑。為了平衡一下雙方實力，烏龜被允許領先一段距離起跑，比如說領先100米好了。儘管烏龜具有這樣的優勢，然而在我們看來，奔跑速度遠遠大於烏龜的阿喀琉斯都將很快趕超烏龜，贏得比賽。然而，芝諾卻向我們證明了相反的結果。芝諾說，比賽的路程可以被分為若干個階段，為了追趕上烏龜，阿喀琉斯必須至少先跑過烏龜領先的100米。而當阿喀琉斯跑過這100米的時候，烏龜也前進了一段距離，因此，阿喀琉斯必須要再跑過這段距離才能追上烏龜。可是當阿喀琉斯跑完這段距離的時候，烏龜又會往前移動一段距離。因此，每次阿喀琉斯跑完了烏龜領先的一段距離，烏龜都會繼續再領先一段距離……
總之，每次阿喀琉斯跑到之前烏龜所在的地方的時候，烏龜都又前進了一段距離，阿喀琉斯始終也追不上烏龜。這個“追趕”的過程可以一直持續下去，不管重複多少次，都是真的！因此，阿喀琉斯看上去總是越來越接近烏龜，可是永遠也無法超過它。
很荒謬吧，不是嗎？但是隻要親自下場驗證一下就能知道，阿喀琉斯真的是分分鐘就能超越烏龜。然而，芝諾的推演過程看上去很牢靠，似乎很難尋找到什麼邏輯上的錯誤。數學家們花了很長很長的時間，才終於明白這個悖論實際上是巧妙地玩弄了“無限”的概念。假設烏龜和阿喀琉斯沿著直線跑，他們的運動軌跡可以看作歐幾里得所謂的“線段”。一條線段具有一個有限的長度，儘管它是由無限個點構成的，而每個點的長度都等於0。所以，在某種程度上說， 這是一種有限中的無限。芝諾悖論切割了時間間隔，使得阿喀琉斯追趕烏龜的時間間隔變得越來越小。然而，這些無限的階段卻發生在有限的時間內，因此，當時間被突破的時候， 就沒有什麼能夠阻擋住阿喀琉斯追上烏龜的腳步了。
毫無疑問，數學中的“無限”概念絕對是悖論產生的最大來源，然而“無限”同時也是一些最迷人的數學理論產生的搖籃。
縱觀歷史，數學家們與悖論之間一直保持著一種曖昧的關係。一方面，對於數學家們來說，悖論的出現代表了最嚴重的危機。一旦某一天，某個理論衍生出了一個悖論，那麼這個理論的所有基礎，也就是我們依據公理創造出來的所有定理，將紛紛倒塌。但是另一方面，悖論意味著挑戰！悖論是一種非常令人興奮的、豐富的問題來源。悖論的存在意味著有什麼東西正在困擾著我們，原因是我們錯誤地理解了一個概念，或者錯誤地提出了一個定義，或者錯誤地選擇了一個公理。因為我們太過想當然，把一個明顯不是“顯然”的事情當成了顯然。悖論是通往冒險的邀請函，這張邀請函讓我們不得不重新思考之前最熟悉的那些“理所當然”。如果沒有悖論不斷地慫恿著我們前進，那麼我們將錯過多少新想法和新理論呢？
芝諾悖論激發了關於無限和測量的新概念。說謊者悖論吸引著邏輯學家們繼續追尋“真理”和“可證明性”的深層概念。甚至在今天，還有很多學者會去分析、研究那些在古希臘學者們提出的悖論中已經初露崢嶸的數學問題。
1924年，數學家斯特凡·巴拿赫和阿爾弗雷德·塔斯基提出了一個悖論，今天我們稱之為“巴拿赫–塔斯基悖論”，它挑戰了拼圖的原則性問題。該“悖論”讓這個顯而易見的原則看上去變成了一個重大缺陷。巴拿赫和塔斯基描繪了一個三維的拼圖，然而，鑑於我們組裝“碎片”的方式不同，這個三維幾何體的體積也可能是不同的！我們隨後會再討論這個問題。然而，巴拿赫和塔斯基設想的“碎片”是如此奇形怪狀和不規則，可以說是和古希臘幾何學家們掌握的所有幾何形狀都沒什麼關係。請別擔心，當“碎片”的形狀是三角形、正方形或者其他經典形狀的時候，拼圖規則就始終是有效的。劉徽對於勾股定理的證明過程仍然成立。
但這可以看作給我們的“教訓”！讓我們對那些“顯而易見”持懷疑態度吧，讓我們為這個由古希臘學者們打開的數學世界中存在的種種謎團感到驚喜和訝異吧。
每日一書
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▼內容簡介
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本書將引領我們穿越回史前時代、四大文明古國、歐洲中世紀與文藝復興時期，也會帶領我們漫步於巴黎盧浮宮與發現宮。作者巧妙運用歷史學的方法，構建了無數歷史或現今的場景，將數學從亭臺樓閣之上帶入我們的日常生活，將數學之美化為一篇篇優美的文字，娓娓道來。
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