教師資格/招聘高中數學教學設計：《直線與平面垂直判定》2
一、內容和內容解析
本節課是在學生學習了空間點、直線、平面之間的位置關係和直線、平面平行的判定及其性質之後進行的，其主要內容是直線與平面垂直的定義、直線與平面垂直的判定定理及其應用。
直線與平面垂直是通過直線和平面內的任意一條直線（無一例外）都垂直來定義的，定義本身也表明了直線與平面垂直的意義，即如果一條直線垂直於一個平面，那麼這條直線就垂直於這個平面內的所有直線，這也可以看成是線線垂直的一個判定方法；直線與平面垂直的判定定理本節是通過摺紙試驗來感悟的，即一條直線只要與平面內的兩條相交直線垂直就可以判定直線與平面垂直了，它把原來定義中要求與任意一條（無限）垂直轉化為只要與兩條（有限）相交直線垂直就行了，概言之，線不在多，相交就行。直線與平面垂直的判定方法除了定義法、判定定理外，還有如果兩條平行直線中的一條直線垂直於一個平面，那麼另一條直線也垂直於這個平面，這是直線與平面垂直判定的一種間接方法，也是十分重要的。
本節學習內容蘊含豐富的數學思想，即“空間問題轉化為平面問題”，“無限轉化為有限”“線線垂直與線面垂直互相轉化”等數學思想。
直線與平面垂直是研究空間中的線線關係和線面關係的橋樑，為後繼面面垂直的學習、距離的學習奠定基礎。
二、目標和目標解析
1.藉助對實例、圖片的觀察，提煉直線與平面垂直的定義，並能正確理解直線與平面垂直的定義；
2.通過直觀感知，操作確認，歸納直線與平面垂直的判定定理，並能運用判定定理證明一些空間位置關係的簡單命題；
3.在探索直線與平面垂直判定定理的過程中發展合情推理能力，同時感悟和體驗“空間問題轉化為平面問題”、“線面垂直轉化為線線垂直”、“無限轉化為有限”等數學思想.
三、教學問題診斷分析
學生已有的認知基礎是熟悉的日常生活中的具體直線與平面垂直的直觀形象（學生的客觀現實）和直線與直線垂直的定義、直線與平面平行的判定定理等數學知識結構（學生的數學現實），這為學生學習直線與平面垂直定義和判定定理等新知識奠定基礎。
學生學習的困難在於如何從直線與平面垂直的直觀形象中提煉出直線與平面垂直的定義，感悟直線與平面垂直的意義；以及如何從摺紙試驗中探究出直線與平面垂直的判定定理。
教學的重點是直線與平面垂直的定義和直線與平面垂直判定定理的探究；教學的難點是操作確認並概括出直線與平面垂直的判定定理及初步運用。
四、學習行為分析
本節課安排在立體幾何的初始階段，是學生空間觀念形成的關鍵時期，課堂上學生通過感知、觀察、提煉直線與平面垂直的定義，進而通過辨析討論，深化對定義的理解。進一步，在一個具體的數學問題情境中猜想直線與平面垂直的判定定理，並在教師的指導下，通過動手操作、觀察分析、自主探索等活動，切身感受直線與平面垂直判定定理的形成過程,體會蘊涵在其中的思想方法。繼而，通過課本例1的學習概括直線與平面垂直的幾種常用判定方法。再通過練習與課後小結，使學生進一步加深對直線與平面垂直的判定定理的理解。
五、教學支持條件分析
觀察和展示現實生活中的實例與圖片，以直觀感知直線與平面垂直的形象；準備三角形紙片，用於探究直線與平面垂直的判定定理；製作多媒體課件動態演示，以加深對直線與平面垂直定義及判定定理的感知與理解。
六、教學過程設計
1.從實際背景中感知直線與平面垂直的形象
問題1：空間一條直線和一個平面有哪幾種位置關係？
設計意圖：此問基於學生已有的數學現實，通過對已學相關知識的追憶，尋找新知識學習的“固著點”。
問題2：在日常生活中你見得最多的直線與平面相交的情形是什麼？請舉例說明。
設計意圖：此問基於學生的客觀現實，通過對生活事例的觀察，讓學生直觀感知直線與平面相交中一種特例：直線與平面垂直的初步形象，激起進一步探究直線與平面垂直的意義。
2.提煉直線與平面垂直的定義
問題3：你能給出直線和平面垂直的定義嗎？回憶一下直線與直線垂直是如何定義的？
設計意圖：兩直線垂直有相交垂直和異面垂直，而異面直線垂直是轉化為兩直線相交垂直，實質上是將空間問題轉化為平面問題，讓學生回憶直線與直線垂直的定義，旨在由此得到啟發：用“平面化”的思想來思考問題，即能否用一條直線垂直於一個平面內的直線，來定義這條直線與這個平面垂直？
問題4：結合對下列問題的思考，試著給出直線和平面垂直的定義．
(1)陽光下，旗杆AB與它在地面上的影子BC所成的角度是多少？
(2)隨著太陽的移動,影子BC的位置也會移動,而旗杆AB與影子BC所成的角度是否會發生改變?
(3)旗杆AB與地面上任意一條不過點B的直線B1C1的位置關係如何?依據是什麼？
設計意圖：第（1）與（2）兩問旨在讓學生髮現旗杆AB所在直線始終與地面上任意一條過點B的直線垂直，第（3）問進一步讓學生髮現旗杆AB所在直線始終與地面上任意一條不過點B的直線也垂直，在這裡，主要引導學生通過觀察直立於地面的旗杆與它在地面的影子的位置關係來分析、歸納直線與平面垂直這一概念。
（學生敘寫定義，並建立文字、圖形、符號這三種語言的相互轉化）
思考：（1）如果一條直線垂直於一個平面內的無數條直線，那麼這條直線是否與這個平面垂直？
（2）如果一條直線垂直於一個平面，那麼這條直線是否垂直於這個平面內的所有直線？
（對問（1），在學生回答的基礎上用直角三角板在黑板上直觀演示；對問（2）可引導學生給出符號語言表述：若
，則
)
設計意圖：通過對問題（1）的辨析討論，深化直線與平面垂直的概念。通過對問題（2）的辨析討論旨在讓學生掌握線線垂直的一種判定方法。
通常定義可以作為判定依據，但由於利用直線與平面垂直的定義直接判定直線與平面垂直需要考察平面內的每一條直線與已知直線是否垂直，這給我們的判定帶來困難，因為我們無法去一一檢驗。這就有必要去尋找比定義法更簡捷、可行的直線與平面垂直的判定方法。
3.探究直線與平面垂直的判定定理
創設情境 猜想定理：某公司要安裝一根8米高的旗杆，兩位工人先從旗杆的頂點掛兩條長10米的繩子，然後拉緊繩子並把繩子的下端放在地面上兩點（和旗杆腳不在同一直線上）。如果這兩點都和旗杆腳距離6米，那麼表明旗杆就和地面垂直了，你知道這是為什麼嗎？
設計意圖：引導學生根據直觀感知以及已有經驗，進行合情推理，猜想判定定理。
師生活動：（摺紙試驗）請同學們拿出一塊三角形紙片，我們一起做一個試驗：過三角形的頂點A翻摺紙片，得到摺痕AD（如圖1），將翻折後的紙片豎起放置在桌面上（BD、DC與桌面接觸）
問題5：（1）摺痕AD與桌面垂直嗎？
（2）如何翻折才能使摺痕AD與桌面所在的平面垂直？
（組織學生動手操作、探究、確認）
設計意圖：通過摺紙讓學生髮現當且僅當摺痕AD是BC邊上的高時，且B、D、C不在同一直線上的翻折之後豎起的摺痕AD才不偏不倚地站立著，即AD與桌面垂直（如圖2），其它位置都不能使AD與桌面垂直。
問題6：在你翻摺紙片的過程中，紙片的形狀發生了變化，這是變的一面，那麼不變的一面是什麼呢？（可從線與線的關係考慮）如果我們把摺痕抽象為直線
，把BD、CD抽象為直線
，把桌面抽象為平面
(如圖3)，那麼你認為保證直線
與平面
垂直的條件是什麼？
對於兩條相交直線必須在平面內這一點，教師可引導學生操作：將紙片繞直線AD（點D始終在桌面內）轉動，使得直線CD、BD不在桌面所在平面內。問：直線AD現在還垂直於桌面所在平面嗎？（此處引導學生認識到直線CD、BD都必須是平面內的直線）
設計意圖：通過操作讓學生認識到兩條相交直線必須在平面內，從而更凸現出直線與平面垂直判定定理的核心詞：平面內兩條相交直線。
問題7：如果將圖3中的兩條相交直線
、
的位置改變一下，仍保證
，（如圖4）你認為直線
還垂直於平面
嗎？
設計意圖：讓學生明白要判定一條已知直線和一個平面是否垂直，取決於在這個平面內能否找出兩條相交直線和已知直線垂直，至於這兩條相交直線是否和已知直線有公共點，這是無關緊要的。
根據試驗，請你給出直線與平面垂直的判定方法。
（學生敘寫判定定理，給出文字、圖形、符號這三種語言的相互轉化）
問題8：（1）與直線與平面垂直的定義相比,你覺得這個判定定理的優越性體現在哪裡?
（2）你覺得定義與判定定理的共同點是什麼?
設計意圖：通過和直線與平面垂直定義的比較，讓學生體會“無限轉化為有限”的數學思想，通過尋找定義與判定定理的共同點，感悟和體會“空間問題轉化為平面問題”、“線面垂直轉化為線線垂直”的數學思想.
思考：現在，你知道兩位工人是根據什麼原理安裝旗杆的嗎？為什麼要求繩子在地面上兩點和旗杆腳不在同一直線上？
如果安裝完了，請你去檢驗旗杆與地面是否垂直，你有什麼好方法？
設計意圖：用學到手的知識解釋實際生活中的問題，增強學生用數學的意識，同時通過提出 “為什麼要求繩子在地面上兩點和旗杆腳不在同一直線上？”（對該問題可引導學生用三角形紙片來驗證），從而來深化對直線與平面垂直判定定理的理解。
4.直線與平面垂直判定定理的應用
如圖5，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，請列舉與平面ABCD垂直的直線。並說明這些直線有怎樣的位置關係？
思考：如圖6，已知
，則
嗎？請說明理由。
（分別用直線與平面垂直的判定定理、直線與平面垂直的定義證明；並讓學生用語言敘述：如果兩條平行直線中的一條直線垂直於一個平面，那麼另一條直線也垂直於這個平面）
設計意圖：這個例題給出了判斷直線和平面垂直的一個常用的命題，這個命題體現了平行關係與垂直關係之間的聯繫。
練習：如圖，在三稜錐V-ABC中 ，VA＝VC,AB＝BC,K是AC的中點。
求證：AC⊥平面VKB
思考：
(1)在三稜錐V-ABC中，VA＝VC，AB＝BC，求證：VB⊥AC；
(2)在⑴中，若E、F分別是AB、BC 的中點，試判斷EF與平面VKB的位置關係；
(3)在⑵的條件下，有人說“VB⊥AC， VB⊥EF， ∴VB⊥平面ABC”，對嗎？
設計意圖：例2重在對直線與平面垂直判定定理的應用．變式（1）在例2的基礎上，應用了直線與平面垂直的意義；變式（2）是對例1判定方法的應用；變式（3）的判斷在於進一步鞏固直線與平面垂直的判定定理。3個小題環環相扣，彙集了本節課的學習內容，突出了知識間內在聯繫和融會貫通。
5.小結回授
（1）本節課你學會了哪些判斷直線與平面垂直的方法？試用自己理解的語言敘述。
（2）直線與平面垂直的判定定理中體現了哪些數學思想方法？
設計意圖：以問題討論的方式進行小結，培養學生反思的習慣，鼓勵學生運用自己理解的語言對問題進行質疑和概括。
七、目標檢測設計
1．課本P73探究：如圖2.3-7，直四稜柱A1B1C1D1-ABCD（側稜與底面垂直的稜柱稱為直稜柱）中，底面四邊形ABCD滿足什麼條件時，A1C⊥B1D1．
2．如圖，PA⊥平面ABC，BC⊥AC，寫出圖中所有的直角三角形。
3．課本P74練習2
設計意圖：第1題是本節教材中的一道探究題，主要運用直線與平面垂直的意義與判定定理；第2題也是活用直線與平面垂直的意義與判定定理，前兩題重在檢測本節課的知識與技能目標，檢測運用知識解決問題的能力；第3題通過學生探索，培養學生觀察——分析——歸納和綜合運用知識的能力。
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