判斷兩線段之間的數量和關置關係是幾何中的基本題型.線段的數量關係一般為:相等或倍比關係，常由全等或相似推出，線段的位置關係一般為:平行或垂直關係，通常由角的關係推出.下面結合例題，通過相似巧證線段的數量和位置關係.
一.證明兩線段的相等關係
1.如圖，在△ABC中，DE∥BC，BE與CD交於點O，直線AO與BC邊交於點M，與DE交於點N，求證BM=MC
【分析】證明線段相等關係，以前學過多種方法，而題中只有DE∥BC這一條件，則只能想到利用相似，怎樣進行轉化，由於DE∥BC，可得△NEO∽△MBO，∴NE/BM=ON/OM，可得△NDO∽△MOC，∴ND/MC=ON/OM，∴NE/BM=ND/MC，∴NE/ND=BM/MC，由於DE∥BC，可得△AND∽△AMB，∴AN/AM=DN/BM，可得△ANE∽△AMC，∴AN/AM=NE/MC，∴DN/BM=NE/MC，∴NE/DN=MC/BM，∴BM/MC=MC/BM，∴MC²=BM²，∴BM=MC.
2.如圖，在△ABC中，AD、AE分別是∠BAC的內，外角平分線，過頂點B作BF⊥AD，交AD的延長線於F，連接FC並延長交AE於M.求證:AM=ME.
【分析】從條件可知，∠1=∠2，∠3=∠4，而∠1+∠2+∠3+∠4=180°，∴∠2+∠4=90°，即∠FAE=90°，而AF⊥BN，∴∠AFB=90°，∴AE∥BF，由於∠1=∠2，我們聯想到"角分垂，等腰歸”，∴延長BF交AC的延長線於N，則可證△ABN為等腰三角形，可證BF=FN，出現了相等的線段，以此來證AM=ME，如圖
由於BN∥AE，∴BF/ME=FC/CM，∴FN/AM=FC/CM，∴BF/ME=FN/AM，而BF=FN，∴AM=ME.
二.證線段的比
3.(1)如圖①，在正方形ABCD中，點E，F分別在BC，CD上，AE⊥BF於點M，求證AE=BF.
(2)如圖②，將(1)中的正方形ABCD改為矩形ABCD，AB=2，BC=3，AE⊥BF於點M，探究AE與BF的數量關係，並證明你的結論.
【分析】第一問簡單，證△ABE≌△BCF即可，第二問證△ABE∽△BCF，得AE/BF=AB/BC=2/3，∴AE=2BF/3.
4.如圖，△ABC與△DEF均為等邊三角形，O為BC，EF的中點，則AD/BE的值是多少？
【分析】欲求AD/BE的值，須找AD邊所在的三角形與BE邊所在的三角形相似，BE邊所在的三角形為△BOE，AD邊所在的三角形未知，而題中有O為BC，EF的中點這一條件，於是連接OD，OA，如圖
則DO⊥EF且平分EF，AO⊥BC且平分BC，則∠AOD=∠DOE+∠AOE，∠BOE=∠AOB+∠AOE，而∠DOE=∠AOB=90°，∴∠AOD=∠BOE，設△ABC的邊長為a，△DEF的邊長為b，則AO:BO=√3a/2:a/2=√3:1
DO:EO=√3b/2:b/2=√3:1，∴AO:BO=DO:EO，∴△AOD∽△BOE，∴AD:BE=√3:1.
三.證明兩線段平行
5.如圖，已知點D為等腰直角三角形ABC的斜邊AB上一點，連接CD，DE⊥CD，DE=CD，連接CE，AE.求證AE∥BC
【分析】欲證AE∥BC，這裡有∠ACB=90°，考慮證∠CAE=90°，從條件看，用七，八年級的知識證不出來，就要從相似考慮，題中有兩個等腰直角三角形，過C點作CM⊥AB於M，如圖，
則AC/CM=AE/CD=√2，而∠ACM=∠ECD=45°則∠ACE=∠MCD，∴△ACE∽△MCD，∴∠CAE=∠CMD=90°，則∠CAE=∠ACB=90°，∴AE∥BC.
6.如圖，在△ABC中，BM=CM，∠BAD≈∠CAD，BQ⊥AD於P，求證:DQ∥AB.
【分析】本題有一定難度，我們可以一步步地分析，條件中有中線AM，即BM=CM，有角平分線AD，有BQ⊥AD於P，想到"角分垂，等腰歸"，則延長BQ交AC於N，則出等腰三角形ABN，P為BN的中點，∴連接PM，則CN=2PM，PM∥AC，如圖，
則有PM/AC=DM/DC，則PM/(AC一2PM)=DM/(DM+MC一2DM)，也就是PM/(AC一NC)=DM/(DM+BM一2DM)，即PM/AN=DM/BD，由PM∥AC，又可得PM/AN=MQ/AQ，∴MQ/AQ=DM/BD，至此，可得DQ∥AB.經過一系列的代換轉到要證的比例上，需要同學們多加體會.
四.證明兩線段垂直
7.在△ABC中，D是AB上一點，且AC²=AB×AD，BC²=BA×BD，求證CD⊥AB
【分析】條件中正好是射影定理的兩個結論，這樣需要反過來推直角，由AC²=AB×AD，得AC/AD=AB/AC，又∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴∠ADC=∠ACB，又由BC²=BA×BD，得BC/BD=BA/BC，且∠B=∠B，∴△BCD∽△BAC，∴∠BDC=∠BCA，∴∠ADC=∠BDC，而∠ADC+∠BDC=180°，∴∠ADC=∠BDC=90°，∴CD⊥AB.
另，AC²+BC²=AB×AD+BA×BD=AB×(AD+BD)=AB²，由勾股定理逆定理，可知∠ACB=90°，出了一個直角，接下來就好證多了，由AC²=AB×AD，得AC/AD=AB/AC，又∠A=∠A，∴△ADC=∠ACB=90°，∴CD⊥AB.
【總結】做題多思做想，抓住條件類比聯想，是重中之重，望同學們多想多思.
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