波利亞把<strong>數學題的求解過程分為四個階段，把”怎樣解題”表中的問題與建議分成了四組．<strong>首先，我們必須瞭解問題，必須清楚地看到要求的是什麼？其次，我們必須瞭解各個項之間有何聯繫？未知數和數據之間有什麼關係？為了得到解題的思路，應該制訂一個計劃．第三，實現我們的計劃，第四，回顧所完成的解答，對它進行檢查和討論．
<strong>上述每一階段都有其重要性．可能會有這樣的情況：一個學生想出了一個異常好的念頭，於是跳過所有的預備步驟，答案就脫口而出了，如此幸運的念頭當然是求之不得的，但是也可能發生很不如意或很不走運的事，學生通過上述四階段中的任何一個階段都沒有想出好念頭，還有更糟糕的是學生並沒有理解問題就進行演算或作圖．一般說來，在尚未看到主要聯繫或者尚未作出某種計劃的情況下，去處理細節是毫無用處的．如果學生在實現其計劃的過程中檢查每一步，就可以避免許多錯誤．如果學生不去重新檢查，考慮已完成的解答，則可能失去最好效果．
第一階段 弄清問題
波利亞強調：“回答一個你尚未弄清的問題是愚蠢的，去做一件你不願乾的事是可悲的．”學生應當弄清問題，然而他不僅應當弄清它，而且還渴望解出它．如果學生對問題沒弄清或不感興趣，這並不是他的過錯，問題應當精選，所選的題目不宜太難也不要太易，應順乎自然而且趣味盎然，並且有時在敘述方式上也應當自然而有趣．
首先，必須瞭解問題的文字敘述．教師在某種程度上可檢查這一點，他可以要求學生重新敘述這題目，而學生應能流利地重新敘述這個問題．學生還應當能夠指出問題的主要部分，即未知數、已知數據、條件．所以老師提問時，不要錯過這樣的問題：未知數是什麼？已知數據是什麼？條件是什麼？
學生應當仔細地、重複地並且從各個方面來考慮問題的主要部分．如果問題和某一圖形有關，那麼他應該畫張圖並在上面標出未知數與已知數據．如果對這些對象需要給以名稱，他應該引入適當的符號．適當地注意選擇符號，他就會被迫考慮這些必須選擇符號的對象，在此預備階段中，假定我們並不期望有一個明確的回答，而只不過想有一個臨時性的回答或一個猜測，那麼另外還有一個問題可能是有用的，即：滿足條件是否可能呢？
例l 已知長方體的長、寬、高，求其對角線長度．
為對此問題作有益的討論，學生必須熟悉勾股定理及其在平面幾何中的某些應用，他們對立體幾何可能只有很少的系統知識．教師這時可以依賴學生對空間關係的樸素知識．通過使問題具體化而使之有趣．如教室就是個長方體，其長度可以測量，也可估計，要求學生不作測量，間接地求出教室的對角線長度．教師指出教室的長、寬、高，用手勢說明什麼是對角線，通過不斷地和教室相聯繫而使畫在黑板上的圖變得更加形象．
以下是老師與學生的對話：
“未知數是什麼？”
“長方體對角線的長度．”
“已知數是什麼？”
“長方體的長、寬、高．”
“引入適當的符號，用哪個字母表示未知數？”
“x”
“長、寬、高應選哪些字母？”
“a、b、c．”
“聯繫a、b、c與x的條件是什麼？”
“x是長方體的對角線，長方體的長、寬、高為a、b、c．”
“這是個合理的問題嗎？我意思是說，條件是否充分，足以確定未知數嗎？”
“是的，是充分的．如果我們知道a、b、c．我們就知道長方體，如果長方體被確定，則對角線也被確定了．”
第二階段 擬定計劃
當我們知道，或大體上知道，為了求解未知數，必須完成哪些計算、要作哪些圖的時候，我們就有了一個計劃．從弄清問題到想出一個計劃，其過程可能是曲折的．事實上，求解一個問題的主要成績是構想出一個解題計劃的思路，這個思路可能是逐漸形成的．或者，在明顯失敗的嘗試和一度猶豫不決之後，突然冒出一個“好念頭”．老師為學生所能做的最大的好事是通過比較自然的幫助，促使他自己想出一個好念頭．我們下面要討論的問題與建議正是要誘發這樣一種好念頭．
為了弄清學生的心理活動，老師應當回想他自己的經驗，回顧他自己在解題時碰到的困難與取得成功的經驗．
我們當然知道，如果我們對該問題知識貧乏，是不容易產生好念頭的；如果我們完全沒有知識，則根本不可能產生好念頭．一個好念頭的基礎是過去的經驗和已有的知識，僅僅靠記憶不足以產生好念頭．解決數學問題所必需的材料是我們早已獲得的數學知識的某些有關內容，如以前解決的問題，以前證明過的定理．因此，以“你知道一個與此有關的問題嗎？”為題開展討論較為合適，但其困難就在於：通常有相當多的問題與我們現在手上的問題有關．
我們怎樣挑出其中一個或幾個確實有用的問題呢？我們建議把力量放在主要的共同之處上：看著未知數!試想起一個具有相同或相似未知數的熟悉的問題來．
上述問題，如能很好地理解和認真地加以考慮，常常有助於激發起一連串正確的想法；但它們並非總是有用的．如果這些問題不行，我們必須尋找某些其它的適當接觸點，並且探索問題的各個方面．我們不得不變化、變換、修改該問題．你能否重述這個問題？“怎樣解題”表中的某些問題提示了改變問題的專門方法，例如普遍化、特殊化、應用類比、捨去一部分條件等等．改變問題可能導致提出某種適當的輔助問題：如果你不能解決所提出的問題，則應首先嚐試去解決某些與此有關的問題．
嘗試去應用各種已知的問題或定理，考慮各種修改，對各種輔助問題進行試驗，我們可能離開原來的問題太遠，甚至最後有失掉它的危險．但是還有一個很好的問題可以把我們帶回原處，即“你是否用了所有的已知數據？你是否利用了整個條件？”
例2 我們繼續考察例1．
“你是否知道一個與此有關的問題？”
……
“看著未知數，你是否知道一個具有相同未知數的問題？”
……
“好，未知數是什麼？”
“長方體的對角線．”
“你是否知道任何具有相同未知數的問題？”
“不，我們還沒有任何關於長方體對角線的問題．”
“你是否知道任何具有相似未知數的問題？”
……
“你看，對角線是條線段，就是直線的一段．你從來沒有解過一個未知數是直線長度的問題？”
“我們曾經解決過這樣的問題，如找出直角三角形的一邊．”
“好!這裡有一個和你的問題有關的問題，且早已解決，你能利用它嗎？”
……
“你真不錯，想起了一個與你當前問題有關的問題，而且這個問題你以前已經解決了．你願意利用它嗎？為了能利用它，你能否引進某個輔助元素？”
“看這裡，你所想起的是一個關於三角形的問題．圖中有三角形嗎？”
我們希望這最後的提示已明白得足以誘發出解題的思路(即引入一個在圖１中用陰影標出的直角三角形)．這個引入的直角三角形的斜邊就是我們所要求的對角線，但是教師應當對下述情況有所準備：即使這樣明白的提示也不能使學生開竅，那麼他應當動用更明顯的提示．
“你是否希望在圖１中有個三角形？”
“在圖中，你希望有哪種三角形？”
“你現在還不能求出這對角線，但你能求出三角形的一條邊．那麼現在你該怎麼辦呢？”
“如果對角線是三角形的一條邊，你能找出它嗎？”
經過或多或少的幫助後，學生終於成功地引進了決定性的輔助元素，即圖中陰影三角形，在鼓勵學生進入實際計算之前，教師應確信學生對問題的理解已有足夠的深度．
“我想，畫出那個三角形是個好主意，你現在有了個三角形．但是你是否有未知數？”
“未知數是三角形的斜邊，我們可用勾股定理去計算它．”
“如果兩邊為已知，你會計算．但它們是已知的嗎？”
“一個邊已給定，是c．另一個邊，我想也不難求出．是的，另一邊是另一個直角三角形的斜邊．”
“很好!現在能看出你有個計劃了．”
第三階段 實現計劃
想出一個計劃，產生一個求解的念頭是不容易的．要成功，需要有許多條件，如已有的知識、良好的思維習慣、目標集中，還要有好運氣．但實現計劃則容易得多，我們所需要的主要是耐心．
計劃僅給出一個一般性的大綱，我們必須充實細節並耐心地檢查每一個細節，直到每一點都完全清楚了，沒有任何可能隱藏錯誤的含糊之處為止．
如果學生真的擬定出了一個計劃，則教師就比較清閒了．現在的主要危險是學生可能忘記他的計劃，因為那些從外界接受計劃的和根據教師的權威來採納某個計劃的學生，很容易發生這種現象；但若是學生自己搞出來的計劃(即使經過某種幫助)，並且學生滿意地看出了最終的思路，則他就不那麼容易忘記．教師必須堅持讓學生檢查每一步驟．
根據“直觀”或“形式”上的論證，我們可以使自己相信每一步驟的正確性．我們可以集中力量在有問題的疑點上，直到問題完全搞清楚，毫不懷疑每一步驟都是正確的為止；或者我們可以根據形式推理的法則推導出有問題的這一點．
主要之點是：學生應當確信每一步驟的正確性．在某些情況下，老師可以強調“看出來”與“證明”二者之間的差別而提出：你能清楚地看出這一步驟是正確的嗎？同時你也能證明這一步驟是正確的嗎？
例3 我們繼續考察例2．
學生最後得到了解題的思路．他看出未知數是直角三角形的斜邊，而給定的高度c是邊長之一，另一邊則是長方體的一個面的對角線．很可能這時學生會引入一個適當的符號，選擇y表示另一邊，即面上的對角線，其兩邊為a和b．學生現在可能看得更清楚：解題的思路就是應該引進一個輔助未知數y．最後，陸續對這兩個直角三角形進行考慮之後，得到x方＝y方＋c方，y方＝a方＋b方，
於是消去輔助未知數y，從而有x方＝a方＋b方＋c方，x＝根號下（a方＋b方＋c方），
如果學生正確地進行上述細節運算，老師沒有理由去打斷他，除非必要時提醒他應當檢查每一步．這樣，教師可以問：
“你能清楚地看出具有三邊x、y、z的三角形是直角三角形嗎？”
對於這個問題，學生會據實回答：“是．”但是如果老師不滿足於學生的直觀猜測，他應該繼續提問：
“但是你能證明這個三角形是個直角三角形嗎？”
除非整個班級對於立體幾何已經有了良好的起點，否則教師不應當提出這個問題．即使如此，也仍然存在某些危險性，即對這個偶然提出問題的回答可能成為大多數學生的主要困難．
第四階段 回顧
即使是相當好的學生，當他得到問題的解答，並且乾淨利落地寫下論證後，就會合上書本，找點別的事來幹．這樣做，他們就錯過了解題的一個重要而有教益的方面，通過回顧所完成的解答．通過重新考慮與重新檢查這個結果和得出這一結果的步驟，學生們可以鞏固他們的知識和發展他們解題的能力，一個好的教師應該懂得並且傳授學生下述觀點：沒有任何問題是可以解決得十全十美的，總剩下些工作要做，經過充分的探討與鑽研，我們能夠改進這個解答，而且在任何情況下，我們總能提高對這個解答的理解水平．
現在學生已經完成了他的計劃．他已經寫出了答案，檢查了每一步．這樣，他似乎有充分理由相信他的解答是正確的了．然而，錯誤還是可能出現的，特別當論證冗長而複雜的時候更會如此，所以要驗證．特別是，如果有某種快速而直觀的辦法來檢驗結果或者檢驗論證，決不要忽略．你能檢驗這結果或檢驗這個論證嗎？
為了確信某個東西的存在或其質量的好壞，我們總喜歡去看看它，摸摸它，總是通過這兩種不同的感官來感知它．同樣，我們也可通過兩種不同的證明使我們對結果確信無疑．因此要問：你能用不同方法來導出這結果嗎？當然，我們要簡短而直觀的論證，而不要冗長而繁瑣的．所以要問：你能一下看出它嗎？
教師的首要職責之一，是不要給學生下述錯覺：數學題目之間很少有聯繫，和任何其它事物則完全沒有什麼聯繫．當我們回顧問題解答的時候，我們自然有機會來考察一個問題與其它事物的聯繫．如果學生已經作出了真誠的努力並且意識到自己完成得不錯，那末他們將發現對解答加以回顧確有趣味．這樣．他們就很想知道用真誠的努力還可幹些什麼別的，以及下次他如何能幹得同樣好．教師應該鼓勵學生設想一些情況，在那些情況下，他能再一次利用所使用的辦法，或者應用所得到的結果，你能把此結果或方法用於其它某個問題嗎？
例4 我們繼續考察例3．
學生最後得到了解答：如果長方體自同一角引出的三條邊為a、b、c，那麼對角線為 根號下（a方＋b方＋c方）
你能檢驗這個結果嗎？教師不能指望從缺乏經驗的學生那裡得到這個問題的良好回答．但是學生應該很早就獲得下述經驗：用字母表達的問題比純粹數字題好．對於用字母表示的題，其結果很容易進行幾次檢驗，而用數字表示的題則不然．這個例子雖然很簡單，也足以證明這點．教師可以對結果提出好幾個問題，對這些問題，學生可以很容易地回答“是”；但如回答“不是”，這將表明結果中存在嚴重的缺點．
“你是否使用了所有的數據？是否所有數據、、都在你的對角線公式中出現？”
“長、寬、高在我們的問題中起的作用是一樣的，我們的問題對、、來說是對稱的，你所得的公式對、、對稱嗎？當、、互換時公式是否保持不變？”
“我們的問題是一個立體幾何問題，給定稜長、、，求長方體的對角線．此問題與平面幾何的問題類似：給定邊長、，求矩形的對角線，這裡立體幾何問題的結果是否與平面幾何的結果類似？”
“如果高減小，並且最後等於零，這時長方體變成矩形．在你的公式中，令＝０，是否可得到矩形對角線的正確公式？”
“如果高c增加，則對角線也增加，你的公式是否表明這點？”
“如果長方體的三個量、、按同一比例增加，則對角線也按同一比例增加．在你的公式中，如將、、分別代以12、12、12，則對角線也將乘以12，是否這樣？”
“如果、、的單位是米，則你的公式給出的對角線的單位也是米；如果將所有單位改為釐米，則公式應保持正確，是否如此？”
上述一些問題有幾個好處：首先，公式通過這麼多的檢驗，這一事實不能不使一個聰明的學生產生深刻的印象．學生以前就相信公式是正確的，因為公式是他仔細推導出來的．但是現在經過這麼多檢驗，他就更深信無疑了，其信心的增加來源於一種“實驗的數據”．正是由於上述問題，公式的細節獲得了新的意義，而且和不同的事實聯繫起來了．這樣，公式就更容易記住，學生的知識得以鞏固．最後，上述問題很容易轉到類似的問題上，對於類似問題獲得一些經驗之後，聰明的學生就能覺察出所包含的普遍概念：利用所有有關數據，改變數據，對稱，類比．如果他養成了把注意力集中在這些方面的習慣，他的解題能力肯定會提高．
你能檢驗這個論證嗎？在某種情況下，可能需要逐步地重新檢驗論證．但通常，重新檢查一下令人惱火之點就夠了．
你能把這結果或方法用於其它問題嗎？在受到一些鼓勵並且經過一兩個範例以後，學生們很快就能應用，這些應用實質上就是把問題的抽象數字元素賦予具體的解釋．當教師在進行討論的教室裡，把教室當作問題中的長方體，他自己就使用了這樣一種具體的解釋．有的學生可能會提議計算食堂的對角線，而不是教室的對角線來作為一種應用．如果學生們自己提不出來更有想象力的內容，那麼教師本人可以提出一個稍許不同的問題．例如，“給定長方體的長、寬、高，求中心到一角的距離．”
學生可以利用剛才解決的問題的結果，因為所求距離是對角線的一半．或者他們也可以利用引人適當的直角三角形的方法(後一種辦法對於本例來說，不那麼顯而易見，且多少有點笨拙)．
在這個應用例子之後，教師可以討論長方體四條對角線和六個稜錐體的結構，這六個稜錐體的底是長方體的六個面．公共頂點是長方體的中心，而側稜是長方體對角線的一半．當學生的幾何想象力被充分激發以後，教師應當回到他的問題上來：你能把結果或方法用於某個其它問題嗎？現在學生有機會找到更有趣的具體應用了．例如，在一個長2l米、寬l 6米的長方形建築物平屋頂的中心要立一根高8米的旗杆．為了支撐這根旗杆，我們需要4根等長的拉線．規定4根拉線要離旗杆頂點2米處的同一點開始，而另一端是建築物頂部的四個角．問每根拉線有多長？” 學生可以採用上面已詳細求解過的問題中所用方法，即在一個垂直平面上引入一個直角三角形，而在水平面上引入另一個三角形．或者他們也可以利用上面的結果：設想有一個長方體，其對角線就是4根纜繩之一，而它的邊是：＝10，＝8，＝6．直接應用公式可求出＝14.5．
當最終所得結果冗長而複雜時，我們自然揣測存在著某個更清楚而且少迂迴的解：你能用不同方式導出這一結果嗎？你能一下子看出它嗎？即使我們成功地找出一個令人滿意的解，我們可能仍然對找出另一個解感興趣，就像我們看到一個物體後還想摸摸它一樣，在有了一個證明後，我們希望找到另一個證明．
附錄：怎樣解題表
弄清問題——第一，你必須弄清問題：
未知是什麼？已知是什麼？條件是什麼？滿足條件是否可能？要確定未知，條件是否充分？或者它是否不充分？或者是多餘的？或者是矛盾的？
畫張圖，引入適當的符號．
把條件的各個部分分開．你能否把它們寫下來？
擬定計劃——第二，找出已知數與未知數之間的聯繫．如果找不出直接的聯繫，你可能不得不考慮輔助問題．你應該最終得出一個求解的計劃
你以前見過它嗎？你是否見過相同的問題而形式稍有不同？
你是否知道與此有關的問題？你是否知道一個可能用得上的定理？
看著未知數，試想出一個具有相同未知數或相似未知數的熟悉的問題．
這裡有一個與你現在的問題有關，且早已解決的問題．
你能不能利用它？你能利用它的結果嗎？你能利用它的方法嗎？為了能利用它，你是否應該引入某些輔助元素？
你能不能重新敘述這個問題？你能不能用不同的方法重新敘述它？
回到定義去．
如果你不能解決所提出的問題，可先解決一個與此有關的問題．你能不能想出一個更容易著手的有關問題？一個更普遍的問題？一個更特殊的問題？一個類比的問題？你能否解決這個問題的一部分？僅僅保持條件的一部分而捨去其餘部分．這樣對於未知數能確定到什麼程度？它會怎樣變化？你能不能從已知數據導出某些有用的東西？你能不能想出適合於確定未知數的其他數據？如果需要的話，你能不能改變未知數或數據，或者二者都改變，以使新未知數和新數據彼此更接近？
你是否利用了所有的已知數據？你是否利用了整個條件？你是否考慮了包含在問題中的必要的概念？
實現計劃——第三，實行你的計劃
實現你的求解計劃，檢驗每一步驟．
你能否清楚地看出這一步驟是正確的？你能否證明這一步驟是正確的？
回顧 ——第四，驗算所得到的解
你能否檢驗這個論證？你能否用別的方法導出這個結果？你能不能一下子看出它來？
你能不能把這一結果或方法用於其他的問題？
閱讀更多 學思悟道 的文章
