用罗尔定理证明中值命题的基本概念、步骤与典型题思路分析

米歇尔·罗尔（Michel Rolle，1652年4月21日－1719年11月8日），法国数学家

一、基本概念与定理

1、中值命题

函数或其导数在某区间中至少存在一点成立的等式或者不等式，常称为中值命题；并且根据等式关系和不等式关系描述的结论分为等式命题与不等式命题.

2、中值等式证明支持理论

考虑使用零点（介值）定理证明，但是如果遇到方程f(x)=0具有偶重根，f(x)在区间[a,b]两端点的值不变号，或者抽象的中值等式，则函数值的正负可能难以或者根本无法判断，从而使得零点定理可能无法使用；对于这样的等式，尤其是包含有导数值的等式，则一般考虑使用微分中值定理来解决，尤其是首先考虑的是罗尔中值定理来解决.

3、罗尔定理

条件：

(1)如果f(x)在[a,b]上连续；

(2)在(a,b)内可导；

(3)f(a)=f(b)；

结论：

至少存在一点ξ∈(a,b)，使得f’(ξ)=0.

二、用罗尔定理证明中值等式的思路与步骤

在确定使用罗尔定理来证明中值等式时，可考虑如下基本思路与步骤：

(1) 变换预证等式：化简、移项，将等式所有项移动到左侧，使得右侧等于0，即具有G(ξ)=0的形式.

(2) 构造辅助函数F(x)：将等式中的中值符号，如ξ，替换为变量x，将其转换为函数G(x)在中值的函数值，然后计算、构造该函数的一个原函数F(x)(即导数为G(x)的函数). 在原函数F(x)无法直接计算得到的情况下，可以考虑引入不增加导函数G(x)零点的辅助函数h(x)乘以G(x)来构造原函数F(x)，即问题转换为寻找G(x)h(x)的原函数F(x). 常用的辅助函数h(x)有自然常数为底的指数函数e

F’(x)=G(x)或者F’(x)=G(x)h(x).

常见的中值等式及通过凑导数方式构造辅助函数F(x)的形式列表如下：

【注】：其中辅助函数所具有的结构或形式，也可以根据已知条件能够推导、变换得到的各种可能的结果表达式，结合需要证明的中值等式来尝试寻找. 同时，值得注意的是F(x)的形式不唯一.

(3) 验证条件给出结论：验证构造的原函数F(x)满足罗尔定理的三个条件，并一一列出，然后写明基于罗尔定理的结论，并变换得到与所需证明结论的等价形式.

三、实例分析

例 设函数f(x)，g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，

f(a)=g(a)，f(b)=g(b).

证明：存在ξ∈(a,b)，使得

【解题分析】变形中值等式，有

所以考虑构造辅助函数

下面验证F(x)满足罗尔定理的三个条件：根据已知条件“函数f(x)，g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有二阶导数且存在”可得

(1)F(x)在[a,b]上连续；

(2)F(x)在(a,b)内可导.

下面关键是验证存在有两点x₁，x₂，使得F(x₁)=F(x₂)，即

如果令G(x)=f(x)-g(x)，即存在两个导数值相等，如果能够找到三个点使得G(x)的值相等，则使用两次罗尔定理则可以得到x₁，x₂点.

根据“f(a)=g(a)，f(b)=g(b)”，容易得到有

如果还能找到一个了G(x)的零点，则就可以验证我们的问题了. 另外一个已知条件为“

f(c)=maxf(x)，g(d)=maxg(x)，

且f(c)=g(d)，于是有

于是由零点定理，存在一点η∈[c,d]，使得

G(η)=f(η)-g(η)

于是分别在[a, η]，[η,b]上使用罗尔定理，有

x₁∈(a, η)，x₂∈ (η,b)，使得

所以，由于[x₁,x₂]⊂[a,b]，由前面的推导，根据罗尔定理，存在ξ∈(x₁,x₂)，使得

【注】：对于这个习题，如果设辅助函数为

F(x)=f(x)-g(x)，

这样可能更符合日常做过的练习，即函数F(x)在三个点函数值相等，两次使用罗尔定理，得到存在一点使得二阶导数值F’’(ξ)=0验证更熟悉和更直接. 而按照分析过程中所设的辅助函数，则思路更符合分析、总结的三个解题步骤.

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