例 證明：當0 【題型分析】：對於函數不等式的證明，除了有直接可以用的不等式外，一般首先考慮的是藉助導數判斷函數的單調性的方法來驗證，其基本思路可以概括為： (1) 變形需要驗證的不等式：基本原則是充分利用題目中的已知條件，儘可能的通過不等式變換，去掉要驗證的不等式中的分母、對數、根號等，轉換需要驗證的描述形式，儘可能的用最簡單、基本，而我們非常熟悉的初等函數加減乘法描述，比如冪函數，自然常數為底的指數、對數函數，正弦、餘弦函數. (2) 構造輔助函數：通過移項，將不等式的所有項移項到一側，一般全部移動到左邊，使得右邊為0，然後令左邊為所需的輔助函數表達式. (3) 計算端點的輔助函數值，確定所需驗證輔助函數的單調性.輔助函數一般在端點處，或者中間有點處為零，對於零端點位置，對於其可取值的範圍需要驗證單調性的基本原則：
區間左端點為零：在端點右側函數單調遞增，導數值大於0，函數值大於0；導數小於0，函數遞減，函數值小於0.
區間右端點為零：在端點左側函數單調遞增，導數值大於0，在端點左側函數值小於0；導數小於0，函數遞減，函數值大於0.
示意圖如下：
(4) 求輔助函數的導數，並判斷其在相應區間中的符號. 根據輔助函數導數在區間中的符號判定函數圖形的單調性，並藉助左右端點的函數值來判斷函數值的正負，從而驗證不等式成立.
【注】第(4)步如果不能直接判斷，可考慮對導數中的整體或部分通過另設新的輔助函數繼續求導判斷導數值的正負和函數的單調性，即重複(1)至(4)步.
【注】對於輔助函數或者其導數的正負性的判定，除了導數法，也可以考慮其他方法，比如泰勒公式法、常用不等式結論等.
依據以上分析步驟，對於這個例題有：
【解題分析一】：由於0
於是令輔助函數f(x)為
對函數f(x)求導，有
由於cosx>0，所以由幾何-算術平均值不等式，有
並且在0 所以函數f(x)在0 【解題分析二】也可以等價變換需要驗證的不等式，有 於是令輔助函數f(x)為 對函數f(x)求導，有 以上用到：由於0<cosx>3x<cosx>3x>1/cosx，另外就是sin2x/cosx>0，然後藉助上面的幾何-算術平均值不等式可得兩階導數大於0，由於左端點f’(0)=0，所以f’(x)單調增加，從而f’(x)>0，所以函數f(x)單調增加，同樣由於左端點f(0)=0，所以f(x)>0，即/<cosx>/<cosx> 【解題分析三】如果全部轉換為正弦、餘弦以及冪函數，則有 
於是令f(x)為
為此只需要驗證
於是g(x)單調遞增，且左端點為0，因此g(x)>0，從而有f’(x)>0，即f(x)單調遞增，且左端點為0，所以f(x)>0，即原不等式成立.
以上是從構造輔助函數的角度考慮該問題的求解，也希望有感興趣的學友分享更多更好的解題方法.
《函數的單調性判定及其應用》內容小結、題型、典型題與參考課件
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