例1：1． 兩個自然數的最大公約數4，它們的最小公倍數的是120，那麼這兩個自然數的和可能是（ ）。（有多少填多少）
例2：兩個自然數的差是55，它們的最大公約數與最小公倍數的和是275，那麼這兩個自然數的和是（ ）。
給大家一點時間思考。
此類題很多同學都能做一點，但做的完全對的不多，因為在我們的思維中還沒有形成完整的推理邏輯，下面講解一下例題。
例1：
解：設兩個自然數為aq、bq（中間乘號省略、q為非0、1的自然數，a與b互質）
這樣設的好處：直接設出了最大公約數，即b，而最小公倍數也很容易表示：abq；
根據題目條件，我們知道q=4，abq=120，進而推出ab=30；
再考慮到a與b互質，可以知出下面幾組不同結果：
a=1，b=30；推出兩數分別為4、120；
a=2，b=15；推出兩數分別為8、60；
a=3，b=10；推出兩數分別為12、40；
a=5，b=6；推出兩數分別為20、24。
所以一共有四個答案！
a=30，b=1；推出兩數也分別為4、120，故不考慮這種重複的情況！
此題較為簡單，屬入門題！
但也需要我們會設，正確的假設，這題就做出了一半！
例2：
同樣，我們設兩個自然數為aq、bq（中間乘號省略、q為非0、1的自然數，a與b互質，且a>b）
根據題目條件：
aq-bq=55；兩自然數的差為55；……1式
q+abq=275；最大公約數與最小公倍數的和是275……2式
將兩式做變換，提出公因數q：
q(a-b)=55；……3式
q(1+ab)=275；……4式
觀察3式和4式可知，q為55和275的公因數，是不是最大暫時無法確定，那麼，我們先求了下55和275的公因數：
所以，我們可知，55和275的公因數有三個，即q=5、11和55。
此時我們就要進行嚴謹的邏輯分析：
A. 當q=5時：a-b=11；1+ab=55即ab=54；
此時，我們先考慮ab=54中a與b的可能性：（注意，我們假設的是a>b）
a=54，b=1；
a=27，b=2；
a=18，b=3；
a=9，b=6。
這四組可能中，均沒有符合條件a-b=11的，所以q不可能為5。
B. 當q=11時：a-b=5；1+ab=25即ab=24；
同理，我們先考慮ab=24中a與b的可能性：
a=24，b=1；
a=12，b=2；
a=8，b=3；
a=6，b=4。
此時，我們發現，只有第三組，即a=8，b=3時，符合a-b=5，所以題目所求的兩個數可能是：
aq=88，bq=33。
C. 當q=55時：a-b=1；1+ab=5即ab=4；
同理，我們先考慮ab=4中a與b的可能性：
a=4，b=1；
不符合條件a-b=1，所以q不可能為55
此類題目需要同學有嚴謹的思維！再出個海盜分金的題目我們練習一下：
經濟學上有個“海盜分金”模型：
是說5個海盜搶得100枚金幣，每一顆都一樣的大小和價值。
他們按抽籤的順序依次提方案：首先由1號提出分配方案，然後5人表決，投票有超過半數同意方案才被通過，否則他將被扔入大海喂鯊魚，依此類推。
假定“每個海盜都是絕頂聰明且很理智”，那麼“第一個海盜提出怎樣的分配方案才能夠使自己的收益最大化？”
當然，海盜分金還有一種題目：
5個海盜搶到了100枚金幣，每一顆都一樣的大小和價值。
他們按抽籤的順序依次提方案：首先由1號提出分配方案，然後5人表決，投票有半數或超過半數同意方案才被通過，否則他將被扔入大海喂鯊魚，依此類推。
假定“每個海盜都是絕頂聰明且很理智”，那麼“第一個海盜提出怎樣的分配方案才能夠使自己的收益最大化？
兩題的區別在於第一個是超過半數才能通過，第二個是半數也可以通過！
聰明的朋友們，是你的話你怎麼分金幣，看看你們的邏輯性如何？希望留下你們的評論！
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