01 開場白
自從我努力將所學知識以動圖的形態呈現給大家之後，我驚喜的發現我對知識點的理解變得更加的透徹了。這難道就是：
予人玫瑰，手留餘香！
泰勒公式是非常非常重要的一個工具，同時也是不容易理解消化的知識點。如果你認為這篇文章講解的好，請分享給身邊的大學生，不管是親戚、朋友。
02 cos(x)在0點附近的泰勒分解
cos(x)
當我們仔細觀察 g(x) = cos(x) 函數的時候，當 x = 0 處的圖形和拋物線的圖形（紅色）相似度極高。
紅色拋物線的公式可表示如下：
拋物線公式
當 x = 0 時，g(0) = cos(0) = 1。 我們的目的是將拋物線 f(x) 和 cos(x) 的圖形儘量逼近。那麼，在 x = 0 時， f(0) = g(0) = 1。
x = 0處值
圖1：拋物線變換（一）
上圖所示，在我們定下 c = 1的情況下，第二項中 a 的值將會對拋物線在 x = 0 處切線斜率產生影響。cos(x) 在 x = 0 出的圖形切線斜率為 0（紅線所示）。自然，我們也需要將拋物線在 x = 0 處切線斜率逼近 0。
切線的斜率 = 切線函數的一階導數
一階導數
我們需要保證 f(x) 和 g(x) 在 x = 0 處的切線斜率相等，那麼 a = 0。
圖2：拋物線變換（二）
上圖所示拋物線公式中 b 對於圖形形狀的影響。二階導數是個很抽象的概念，有的表達式 切線斜率的變化率。這並不方便記憶，所以我們可以結合導數的物理意義來幫助記憶。
- 路程 S 的一階導數對應 速度 V；
- 路程 S 的二階導數對應 加速度 α；
圖3：拋物線變換（三）
我們分別在兩個圖形上定兩個小球，由於兩個圖形的一階導數（速度）為0，也就是初始速度都是0。之後，我們可以清楚的看到，紅色曲線上的小點運動加速度要大於藍色曲線上的小點。這就是 拋物線公式中 b 對整體的影響。
知道這一點後，我們就可以通過二階導數相等去求出 b 了。
二階導數
如上所示，2b = -1, b = -0.5。
所以拋物線的方程可以如下表示：f(x) = 1 - 0.5 * x^2
圖4：拋物線變換（四）
03 結果驗證
我們得到了 cos(x) 在 x = 0 處的泰勒公式近似公式，那麼是不是可以用該公式求cos(x)的近似值呢？
- 當 x = 0.1時：
cos(0.1) = 0.995994165
1 - 0.5 * x^2 = 0.995
- 當 x = 0.5時：
cos(0.5) = 0.877582562
1 - 0.5 * x^2 = 0.875
我們發現，當 x 的取值離 x = 0 越來越遠，則誤差越來越大。從圖4中也能看出，藍色和紅色小球之間的距離越來越遠。
這不代表我們的公式有問題，是因為我們的公式推導過程本身就是基於 x = 0 附近的點的近似求解。自然 x 的值裡0點越遠越不準。
那麼怎麼樣提高精度呢？我們可以不斷的在公式後面增加更高次冪的式子。
我們一起來看看我們不斷增加高次冪之後，兩個圖形的重合度有什麼變化吧。
圖5：拋物線變換（五）
在 x 取別的值的時候，我們依然可以按照上述過程進行泰勒展開。當我們 在 x = π 的時候做泰勒展開，圖形會如圖6般美妙。
圖6：拋物線變換（六）
泰勒公式通式：
泰勒公式
04 泰勒公式的幾何意義
圖7：泰勒公式幾何意義
那麼，藍色、紅色和綠色的面積分別為多少呢？
也就是說，泰勒公式中
- 第一項為藍色的面積區域；
- 第二項為紅色的面積區域；
- 第三項為綠色的面積區域；
- 依次類推，不斷增進精度。
05 總結
理解知識才能熟練掌握，而將數學、幾何和物理融會貫通才能所向披靡。
這麼辛苦寫了這篇文章，不關注點贊就過分了啊。
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