xiaodi1990
大家好，我是通信M班長，一名通信工程師，獲取更多通信技術知識，歡迎關注我。
其實樓主遇到的這個問題，我在大二階段也曾遇到過。的確對於初學者來說，傅里葉級數的物理意義看起來還算清晰，但是怎麼突然就冒出來一個傅里葉變換了呢？
傅里葉級數
白色的光通過三稜鏡可以分解成紅橙藍綠......我們的音樂信號，在無線譜上就是一個簡單的符號。這些現象在我們理解傅里葉級數時具有很大的幫助。傅里葉告訴我們，任何週期函數，都可以看作出不同振幅，不同相位正弦波的疊加。
傅里葉變換
很明顯，傅里葉級數對於週期的信號（功率信號）是沒問題的。但是我們經常遇到的非週期信號呢？週期信號都有一個週期T，如果週期T變得無窮大，那麼我們可以看作是非週期信號。
下面就考慮一下，如果週期T變為無窮大，那麼傅里葉級數的公式會有怎樣的變化。
我們都知道傅里葉級數的頻譜在頻率軸上離散的，每個“柱子”的間隔是一個w，其中w=2*pi/T,可見當T逐漸變為無窮大的時候，w逐步變為零（說成dw是不是更準確），那麼頻譜自然就變成連續的啦！
說到這裡，如果你多想一步，就會發現問題。傅里葉頻譜F(nw)有一個因子1/T啊，當T逐漸趨向無窮大，F(nw)直接變為0了？
怎麼可能，能量不可能因為我們在這裡變換幾下，就消失的。
所以，我們想辦法把這個因子T給幹掉，我們用F(nw)除以w，即我們定義一個新的頻譜F(nw)/w，準確的是頻譜密度，畢竟是除以頻率w，所以叫做頻譜密度。
你看，由於w=2*pi/T，所以這個時候T被我們幹掉了吧。
這樣我們就得到了非週期信號的頻譜，我們把它叫做傅里葉變換。
以上說法不是很精確，如果你想看稍微詳細的推導，可以查閱相關資料，或者查看我的文章。
通信M班長
傅立葉級數的三角多項式形式
一大清早喝粥，誇獎粥熬的稠，在數學上可以表述為："任取粥中一個水分，都可以找到 粥中的一組澱粉分子，讓後者無限的逼近前者"，這種性質稱為稠密性。威爾斯塔拉斯（Weierstrass）最早發現 多項式空間在連續函數空間中稠密，即，對於實數區間 [a, b] 上的任何連續實函數 f(x)，都可以找到一組多項式 P_n(x) 使得：
當 P_n(x) 取正弦多項式時，對於任何週期為 T （角頻率為 ω = 2π/T）的實函數 f(x)，在其任何一個週期 [x_0 , x_0 + T]內，可將其展開為正弦級數：
然後，根據正弦函數的二角和差公式：
可將上面的正弦級數展開式變形為：
於是，令：
最終得到 f(x) 的三角多項式展開形式：
三角級數就是大名鼎鼎的傅里葉級數。
傅里葉級數中各項三角函數組成序列：
任取序列中兩項（可重複）相乘後，在週期 [x_0, x_0 + T] 上求定積分（設 n, m ∈ N, n ≠ m），
當選取的兩項不同時，有以下可能：
利用差化積公式，
有，
結合上面的結果，再利用積化和差公式，
有，
當選取的兩項相同時，有以下可能：
利用半角公式，
有，
綜上發現，只有當選取的兩項相同時定積分的結果才不是零。利用這個結論，可以很方便的得到傅里葉級數的各項係數：
傅里葉展開式的兩邊同乘 1 然後在週期 [x_0, x_0 + T] 上積分，有，
於是得到：
傅里葉展開式兩邊同乘 cos(mωx) 然後在週期 [x_0, x_0 + T] 上積分，有，
於是得到：
傅里葉展開式兩邊同乘 sin(mωx) 然後在週期 [x_0, x_0 + T] 上積分，有，
於是得到：
傅立葉級數的複數形式
利用歐拉公式：
有：
兩式分別 相加 或 相減，得到：
應用於上面的傅里葉展開式，有，
於是最終得到傅里葉級數展開式的複數形式：
其中係數c_n，有：
於是神奇的發現，係數 c_n 在三種情況下的形式一致，最終為：
傅立葉變換
考慮，函數 f(x) 在週期 [-T/2, T/2] 上的傅里葉複數形式展開，並將 c_n 帶入，得到：
令
則顯然 ω_n 組成序列
是實數集R的子集，而且任何相鄰兩點之間的間距為 ω，令 Δω_n = ω 。因為 ω = 2π/T 所以 T = 2π/Δω_n，代入前式，
考慮非週期函數的情況。非週期函數可以看作是週期 T → ∞ 的週期函數。在這種情況下 Δω_n → 0。上式改寫為，
如果將 ∑ 和 Δω_n 之間的部分看作是以 ω_n 為參數的函數 g( ω_n)，則上式極限部分顯然就是黎曼積分的定義：
於是有，
可以證明當 Δω_n → 0 時，序列 Ω 在實數集 R 中稠密，於是對於任意 ω∈R 都存在Ω中的點列 ω_k → ω，這說明對於任意 ω∈R 上式都成立，於是最終得到：
這就是著名的傅里葉公式。
令，
則有，
前者稱為傅里葉變換，記為 
後者稱為傅里葉反變換，記為 
