2019-04-08 02:34:34 佚名

新龍祥

很早以前，人們就發現了電荷之間和磁體之間都有作用力，但是最初人們並未把這兩種作用聯繫起來。後來，人們發現有些被閃電劈中的石頭會具有磁性，於是猜測出電與磁之間可能存在某種關係。直到奧斯特、法拉第等人的努力，人們終於認識到電與磁的關係密不可分，人們利用磁鐵製造發電機，也利用電流製造電磁鐵。

但是，電與磁之間最深刻的物理關係是由麥克斯韋搞揭示的，麥克斯韋通過四個方程組成的方程組闡釋了電與磁——這一對宇宙間最深刻的作用力之間的聯繫，並將電場和磁場統一了起來。麥克斯韋方程組從誕生起就一直被人們認為是世界上最美的物理公式。

這篇文章將帶領大家瞭解一下麥克斯韋方程組的發現過程和具體含義，在這個過程中需要介紹一些數學基礎。雖然對於大部分人來說，理解這個過程是十分辛苦的，但是當你真正理解麥克斯韋方程組時，你會和我一樣驚歎於它的和諧和美麗。

場和場線

1758年，法國物理學家庫倫最早研究了電荷之間的作用力，並提出了庫倫定律：兩個電荷之間的作用力與電荷量的乘積成正比，與二者之間的距離平方成反比。

從那以後，科學家們就一直在爭論電荷之間作用力的方式：有些人認為電荷之間的作用力不需要時間和空間，一個電荷一瞬間就會對另一個電荷產生作用力，這就是所謂的“超距作用”。

隨著科學的發展，超距作用的觀點越來越被人們懷疑。終於，英國科學家法拉第提出了“電場”的概念。

法拉第認為：在電荷周圍存在著一種物質，這種物質看不見也摸不著，但是它是存在的，它可以在空間中傳遞。當電場傳遞到另一個電荷處時，就會對另一個電荷產生力的作用。反過來，第二個電荷也會產生電場，從而對第一個電荷產生反作用力。也就是說：電荷之間的作用是通過電場傳遞的。

1851年，法拉第還創造性的提出了一種描述電場的方法：用一組帶箭頭的曲線表示電場，曲線的切線方向表示電場的方向，曲線的疏密描述電場的強弱。比如，一個單獨的正電荷和一正一負兩個電荷在空間中形成的電場如下：

這種描述場的方法稱為“場線”，場線可以用來描述電場，也可以用來描述磁場。人們可以通過各種方法來模擬場線，例如：法拉第利用磁鐵周圍的鐵屑模擬了磁感線的情況。

場和場線的提出為後來人們研究許多問題提供了方便。

電生磁、磁生電

第一個發現電與磁關係的人是丹麥物理學家奧斯特。

1820年，奧斯特在一次給學生上課的時候，偶然間把一個通電直導線放在了小磁針上方，他驚奇的發現：小磁針居然偏轉了！在場的學生並沒有發現這個現象的驚人之處，只有奧斯特為這個發現倍感興奮。

經過仔細的研究，奧斯特提出了電流對小磁針的作用方式。在我們今天的觀點看來，奧斯特其實闡明瞭通電導線的周圍存在著以導線為圓心的環形磁場。後來，科學家安培指明瞭磁場的方向判斷方法：右手螺旋定則。

在奧斯特發現電流可以產生磁場的消息傳遍世界時，英國的法拉第剛滿30歲，他當時還在化學家戴維的手下幹活。許多人懷疑戴維處於嫉妒使用各種方法壓制法拉第，例如強迫法拉第進行光學研究。直到1829年戴維去世後，法拉第才開始著手研究自己感興趣的電磁學問題。

法拉第認為：既然電流可以產生磁場，那麼磁鐵也應該可以產生電流。為此，法拉第進行了一系列的物理實驗，終於在1831年發現了電磁感應現象。

在一個鐵環的兩側繞上兩條不同的導線，第一個導線上通過電流時，另一側的導線上也產生了電流。法拉第解釋說：這是因為第一個電路的電流發生了變化，所產生的磁場也發生了變化，而變化的磁場可以產生電流。

我們還可以做這樣的實驗：將一根磁鐵插入螺線管，螺線管連接到一個電流表上，也會發現電流表上有讀數。這也滿足法拉第所說的“在運動和變化的過程中，磁場可以產生電流。”

通過奧斯特、法拉第等人的發現，人們認識到電和磁並不是割裂的，而是緊密相關的，甚至有人認為：電和磁似乎是同一個問題的兩個方面。

麥克斯韋方程組的數學基礎

1860年，比法拉第年輕四十歲的青年科學家麥克斯韋來到了法拉第面前，他把他之前發表的論文《論法拉第的力線》遞交給法拉第。法拉第大喜過望，並對麥克斯韋說：你不應該侷限於用數學解釋我的觀點，而要有所創新。

在法拉第的鼓勵下，麥克斯韋進一步開拓了自己的觀點，並最終總結成四個方程組成的麥克斯韋方程組。為了理解這四個方程，我們首先需要兩種數學運算：通量和路徑積分。

第一個概念是通量。如果電場E垂直穿過一個平面S，我們把電場E和麵積S的乘積稱為電場通量。如果電場E和平面S的法線夾一定的夾角，我們可以把電場進行正交分解，再用垂直於平面的分量乘以面積得到電場通量。

因為電場E可以用電場線的疏密表示，所以用電場E乘上面積S，實際上表示的就是穿過這個面的磁感線根數。假如各處電場不同，就需要把面積分割成無限多份，用每一小份的電場通量相加。

用數學表達式表示就是：

同樣，磁場穿過一個面時也可以用同樣的方法定義磁通量。用積分符號寫作：

第二個概念是路徑積分。如果一個電場E沿著路徑AB的方向，用電場E乘以路徑AB的長度L，就得到路徑積分。如果電場E與路徑AB方向夾一定角度，就把電場進行分解，把沿著AB方向的場分量乘以路徑長度L。磁場也有類似的路徑積分。

如果電場或磁場各處不同，我們就可以把路徑AB分成無窮多份，把每一份的路徑積分加起來，表示成：

需要注意路徑並不一定是直線，沿著曲線也有路徑積分。

麥克斯韋方程組

好了，現在我們知道了一個矢量可以計算通量，也可以計算路徑積分。這樣我們就可以來理解這四個偉大的方程了。

1.電場的有源性

麥克斯韋方程組的第一個方程用數學表示了法拉第的第一個觀點：電荷會在周圍空間產生電場。正電荷會向外發射電場線，負電荷會從周圍吸收電場線。電荷的電量越大，所發射或者吸收的電場線越多。

如果我們用一個閉合曲面包圍住一個電荷，那麼這個閉合曲面上的電場通量就代表了電場線的根數。由於這些電場線都是由曲面內的電荷發射出來的，所以它正比於曲面內所有電荷的代數和。需要注意的是：無論我們所選取的曲面形狀如何，只要它包圍的電荷相同，它的電通量就是相同的。如果電荷在閉合曲面外，它發射的電場線就既要穿入曲面，又要穿出曲面，這樣對曲面的電通量就沒有貢獻，因此在方程中考慮的電荷量都是曲面內部的電荷。

用公式寫作

在這個公式中，等號左邊部分表示閉合曲面上的電通量，也就是穿出曲面的電場線根數，等號右邊的Σq表示曲面內的電荷代數和，ε0稱為真空介電常數。這個方程就是麥克斯韋方程組中的第一個方程，也稱為電場高斯定律。這個方程告訴我們：電場是有源場，它的源就是空間中的電荷。

2. 磁場的無源性

與電場不同，無論是由磁體產生的磁場，還是由電流產生的磁場，磁感線總是閉合的。磁感線既沒有出發點，也沒有結束點。比如我們觀察通電螺線管的磁場就會發現這個特點。

於是，如果我們在空間中做一個閉合曲面，磁感線要麼不穿透這個曲面，要麼一定是既穿入這個曲面，又穿出這個曲面，因此磁感線的通量為零。

這樣，麥克斯韋方程組的第二個方程就可以寫作：

這個方程稱為磁場高斯定律，它告訴我們：磁場是無源的，既沒有起點也沒有終點，而總是閉合的。

3 電場的環路積分

麥克斯韋方程組的第三個方程是為了解釋法拉第電磁感應定律。

比如，當一個磁鐵靠近一個導線圈時，導線圈中會產生感應電流。法拉第等人認為：這是因為磁鐵靠近時，線圈中的磁通量發生了變化，而且產生的電動勢正比於磁通量的變化率。

麥克斯韋經過思考，得出了一個設想：電動勢的產生是由於有一種電場力推動了電荷，因此變化的磁場可以產生的是渦旋狀的電場。假如有個導體恰好處於渦旋電場之中，就會在導體中產生感應電流。而且，這個渦旋電場的大小是正比於磁通量的變化率的。

於是，麥克斯韋把第三個方程寫作：

方程左邊表示沿著一個閉合路徑的電場路徑積分，它可以表示這個閉合路徑上的電動勢。而右側表示磁場變化率的面通量，即磁通量的變化率。

這個方程用數學解釋了法拉第電磁感應定律的成因，也可以描述成渦旋電場是有旋場。

4. 磁場的環路積分

奧斯特時代起，人們就認識到電流周圍存在磁場，而且磁感應強度正比於電流。麥克斯韋把這個特點用數學表達式寫作：

等號左邊表示一個任意的閉合路徑上的磁場路徑積分，右側表示這個閉合路徑所包圍的電流之和。

不過，麥克斯韋的思想不僅僅侷限於此。麥克斯韋設想：既然變化的磁場可以形成渦旋電場，那麼變化的電場自然也能形成磁場。例如：在一個電路中有電容器，在電容器充電和放電的過程中，導線周圍存在磁場。而電容器中的電場會發生變化，它的地位應該等同於電流。於是，麥克斯韋提出了位移電流的概念：變化的電場相當於電流。

最終，麥克斯韋把第四個方程寫作：

等號左邊表示沿著任意一個路徑的磁場路徑積分，右側的μ0表示真空磁導率，I表示電流，Ф表示這個路徑上所包圍的電場通量。這個方程表示：電流和變化的電場都可以引起磁場。

麥克斯韋的預言

麥克斯韋方程組是人類有史以來最美的物理學方程，它具有強烈的對稱性和自洽性。它告訴我們：電場和磁場並非單獨存在，而是統一於電磁場之中。

不僅如此，麥克斯韋還經過計算證明：如果在真空中存在一個振盪的電場，那麼在振盪電場的周圍就會產生磁場，而這個磁場又會進一步產生電場…如此往復，電磁場就可以向遠處傳播，形成電磁波。

麥克斯韋計算了電磁波的速度，發現電磁波在真空中的速度剛好等於光速，於是大膽預言：光就是一種電磁波。

至此經典物理學走到了極致，物理學家們的信心極度膨脹。以至於1900年物理學家集會時，開爾文爵士自豪的宣稱：物理學的大廈已經基本建成，後世只要再做一些修修補補的工作就可以了。

只可惜，麥克斯韋沒有親手證實它所預言的電磁波，1879年，年僅48歲的麥克斯韋與世長辭。而在同一年，現代物理學最偉大的科學家愛因斯坦剛剛出生。

在麥克斯韋之前，最偉大的物理學家是牛頓，因為他的萬有引力定律統一了天上和地下，他證明了月亮和蘋果滿足同樣的物理規律。在麥克斯韋之後最偉大的物理學家是愛因斯坦，因為他的狹義相對論和廣義相對論統一了時間與空間，讓人們認識到世界實際上是在一個統一的時空中存在的。而在牛頓和愛因斯坦之間，最偉大的物理學家就是麥克斯韋，他的方程組統一了電場與磁場，他預言的電磁波成為現代最重要的通訊方式。甚至於，愛因斯坦所提出的相對論，一部分原因也是為了處理麥克斯韋方程組的協變性問題。

有些人的壽命雖然不常，但是他光輝的思想卻永遠留在了世界上。

李永樂老師

題主你好。你寫的這些方程組沒有更深刻的解釋，除非你換一個形式才能看出麥克斯韋理論的另外比較特殊的解釋。這裡我只提三點。

首先是麥克斯韋理論是一個規範理論

麥克斯韋理論是最簡單的規範理論，它的規範群是一維李群U(1)群，因此完全可以丟掉麥克斯韋方程，直接從微分幾何入手就可以構造出和麥克斯韋理論一模一樣的理論。這個工作可以推廣到楊米爾斯理論，將規範群換成更復雜的非阿貝爾李群就行了。

其次是麥克斯韋理論可以允許磁荷存在

通常教科書裡的麥克斯韋方程是要求磁感應強度的散度為零，但是我們完全通過構造對偶電磁場改寫麥克斯韋理論，將磁荷“變”出來。關鍵的是，這種改變不影響客觀實際的電磁場！也就是說完全可以把磁荷加到麥克斯韋方程裡面去，但是對應到客觀實際裡去卻沒有磁單極。這是為什麼呢？原因是電磁場存在規範變換，而電磁場的場源本身也存在規範變換。這就導致，可以通過規範變換消除磁荷；也可以通過規範變換保留磁荷。在電磁理論發展的早期，有的人就用磁荷去描述磁場，結果在磁體外部空間完全可以自圓其說。研究發現，只要一切粒子的電荷-磁荷比通通一樣，那麼引不引入磁荷都是一樣的。傑克遜在其經典著作《經典電動力學》裡說過，問題的關鍵不在於磁荷的有無，而是電荷-磁荷比是否是一個固定常數。如果存在一個粒子嚴格沒有電荷而有磁荷——狄拉克磁單極子，那麼情況就不同了。這意味著麥克斯韋方程只能寫成加入磁荷與磁流以後的那種形式。如果始終沒有找到磁荷，那麼我們就可以使用現在教科書裡面的形式。

麥克斯韋電磁場是一個存在奇異性的場

這一點需要考慮麥克斯韋方程的拉格朗日形式。麥克斯韋方程的奇異性導致電磁場的量子化比較微妙，至少在正則量子化上比較微妙。但是後來費曼提出了路徑積分量子化，這導致我們又不必考慮這層含義了。有奇異性的場，其正則量子化需要做很多預備工作，這個比較費勁。像楊米爾斯理論、廣義相對論都是有奇異性的場，它們的量子化都很費勁。

我就說這麼多吧，關於電磁理論的其他理解，可以閱讀我前面提到的傑克遜書。

科學聯盟

麥克斯韋方程組這個問題很多人都回答了，從量的計算關係上看，沒什麼問題，我也就不談這個了。

但是我要談一談對於電磁波在空中傳播方式的解釋。

大家有沒有注意到，以前的物理大部分都是建立在量的關係上的？即公式物理。而對於真正的物理模型的解釋卻很模糊或牽強，有的甚至不給解釋，直接列出量的計算關係式。

直接給量的關係式並無問題，問題是物理不夠完美。物理不但要研究量的關係，還要研究形的結構，這才是完整的物理。否則，會制約更深研究和探索，在應用設計上也是阻礙。

麥克斯韋提出，電磁波在真空中的傳播是通過電場磁場互換來向前傳播的。

然而我們已經知道，只有電流才可以激發出磁場，沒有電流不會有磁場，有磁場必有對應的電流。你也可以把電流看成是電場發生了空間位置的位移。

那麼現在問題來了，真空中有電荷麼？如果你承認沒有電荷，那麼電流怎麼來？沒有電流磁場怎麼來？什麼都不存在，電場磁場又是怎麼互換的？物質基礎都不存在，實在是牽強解釋。

麥克斯韋的電磁波傳播理論是在高中物理上講述的，當我第一次看完這個解釋後，我馬上就感覺到哪裡不對，但是為了應對當年的考試，我只能選擇暫時相信。其實我從來就沒接受這一理論解釋。

因為我一直無法接受此理論，所以我推出了關於

電磁波發射與接收的定理，

即接收電磁波天線內電流與發射電磁波天線上電流方向是同向且平行的，在兩天線平行時接收信號最強，其餘角度按角度的某一函數遞減，而在兩天線電流互相垂直時，接收信號為零。

發射天線內部是有高頻震盪電流的，否則不會產生電磁波。你把天線帶上高壓靜電場，不會產生電磁波，也不會產生磁場，說明靜電場與磁無關。只有電場動起來，才有磁場表現，說明磁場是由電流帶來的。

其實這些規律都是可以解釋的。

如果掌握了這一規律，那麼你在設計發射天線和接收天線時會非常容易，甚至可以規避某些不利因素或創造出更多東西。

都知道軍用雷達和隱身塗料是個高科技，其實也是應用了電磁波的一種特性。如果真正搞清電磁波的模型，那麼設計並不難。

我很奇怪，為什麼無人提出這種質疑，難道真是我考慮錯了？我相信我的思路。

力銘趣談經濟分析

麥克斯韋方程組僅適用於穩定電磁場！在頻率較低時僅近似適用，頻率高時就不適用了，特別是積分形式！另外，電場與磁場在真空中並不能相互激勵，否則，晚上的天空就不會是黑暗的了！詳細情況可參見本人以下文章：

彭曉韜

中國有一個科學家根據麥克斯韋方程組以及四極矩方程，推導出一個質量電荷量比值常數，稱為質_電當量常數。利用這個常數，再進一步根據大體積天體半球電荷力矩，推導出了不停旋轉的天體引力公式，即引力的根本原因是天體運動中的電磁作用。雙中子星軌道衰減併合，黑洞併合進一步驗證了這個理論，撰寫論水平太差，光作圖卡死了，無法投稿。