牛頓，一個總結出統治經典物理的力學三定律的先驅，一個發現天體運轉規律的預言者，一個耐心地把無窮級數和逆級數玩轉的魔術師，一個經常寫一個漂亮的公式但就是不說自己是如何得到的怪才，一個把 24K 純機械懷錶當雞蛋煮的英國貴族，說：
“我只是一個在海邊玩耍的小孩，偶爾撿起了幾個美麗的貝殼，但是對於真理的大海，我卻絲毫沒有發現。”
我一度覺得這就是牛頓在謙虛，但是看了下面這本書才發現，如果說牛頓謙虛，那麼不僅萊布尼茲會不服，而且在此後的幾百年裡，伯努利、歐拉、柯西、黎曼、劉維爾、魏爾斯特拉斯、康托爾、沃爾泰拉、貝爾、勒貝格等一大批人先後駕著帆船去真理的大海里衝浪，與兇險的海浪搏鬥，用實際行動告訴了我們牛頓確實沒發現真理的大海。
這本由美國著名數學作家 William Dunham 寫的《微積分的歷程—從牛頓到勒貝格》正是一本記錄了微積分發展歷程中最精彩事件和最主要定理（含證明過程）的書。
第一次看到這本書的時候，看書名以為是一本以記史為主的輕科普書。但在仔細讀過第一章之後，就發現這本書其實可以當做半個教材使用了，因為裡面的公式和證明都非常詳實。
這本書依照歷史發展的順序，記錄了從微積分這個概念被提出的 17 世紀 60 年代到測度論基本建成的 20 世紀初，這 300 年之間的思想起伏。在讀這本書的過程中，一開始心裡是惴惴不安的，因為這本書居然直接用一些令人瑟瑟發抖的人名作為章節的標題，比如第 4 章—歐拉，第 6 章—柯西。不過在深入其中之後，倒是覺得裡面的人物變得溫和起來，這些大數學家一個個都是有血有肉的人，比如牛頓遇到棘手的問題也會搪塞回避，面對比自己強的競爭對手萊布尼茲也會拉幫結派搞學術政治；伯努利兄弟為了誰先解出難題而耿耿於懷；柯西甚至沒有完全理解以自己的名字命名的“柯西序列”（就像魯迅不會做自己文章的閱讀理解一樣）等等。
這本書是近期讀過的最精彩的書，沒有之一，對比以前度過的分析學教材，這個是第一本讓我能看得懂裡面 99% 證明題目的書，而且深度也是夠的。下面就簡單回憶一下這本書的內容。
1. 早期
在早期，為了求解曲線下的面積，牛頓、萊布尼茲提出微積分。在那之後，分析學家其實就是無窮級數學家，因為他們都在比誰能把無窮級數這門技術玩到極致。伯努利兄弟接過了恩師萊布尼茲的大旗，同樣堅信無窮級數是進入分析學的必由之路。雅各布·伯努利發現了調和級數發散，約翰·伯努利也發現了 $x^x$ 的積分可以表示成一個無窮級數，並且抽空還培養了一位研究生–歐拉同學。
歐拉特別喜歡計算積分，當然跟萊布尼茲是一脈相承的，最善於用無窮級數去輔助求各種複雜的積分。這裡值得一提的是當無窮級數遇到 $\pi$ 的魔力。我們知道古代中國數學家祖沖之在公元5世紀已經把圓周率精確到了 7 位小數，然後這個記錄被打破是 15 世紀的阿拉伯數學家—卡西（精確到了 17 位），前後一共 1000 年，把精確度推進了 10 位小數。現在我們把眼光移向歐洲，在 16 世紀的韋達用正 393216 多邊形把 $\pi$ 精確到了第 9 位小數，沒多久之後依然在 16 世紀，科伊倫用純手工計算的方式，用 2^62 邊形把 $\pi$ 精確到了 35 位小數，這個計算耗費了他一生的時光。他們用的方法都是割圓術，然後到了 18 世紀，歐拉就用一個無窮級數的簡單公式輕鬆超越了之前所有人，用這個公式計算到第 20 位小數也就大約 1 小時，這就是算法的力量。
2. 第一次波折
在萊布尼茲發表第一篇微積分論文之後的第 99 年，歐拉辭世。在這麼多位卓越先驅的呵護下發展了 99 年的微積分，此時依舊脆弱不堪，很多底層的假設大多依靠直覺而不是推理。牛頓所提出來的“逐漸消失的量”成了各大反對者批評的對象。英國著名的哲學家和克羅因教區的主教—柏克萊寫了一篇標題很長的文章，題目是《致一位不信教的數學家的評論，其中剖析現代分析學的目標、原理和結論是否比宗教的神秘和教義有更清晰的構思或更縝密的推理》。很顯然，此時的微積分在神學家看來，成為了攻擊數學家們的最有力武器。而且這位柏克萊主教說了一句讓我拍手稱絕的話：“錯誤也許能產生真理，但是絕不會產生科學”。這也是我認為西方現代科學最美麗的部分，不是隻看重某個結果是否正確，而是更關注產生這個結果的過程是否嚴謹和科學，這保證了科學的每一點進步都是無比堅實的，這也恰恰是東方哲學中最欠缺的。
我們知道，當一個東西處於風口浪尖的時候，往往會吸引來一大批關注者，比如拉格朗日就發表過一篇文章，用無窮級數來代替微分，巧妙繞開了“逐漸消失的量”，本來自信滿滿以為功成名就的時候，遇到了一個柯西舉出的反例和質疑，立刻被拋棄。沒錯，這本書關於拉格朗日這位大數學家的篇幅就這麼多，不管他在其他領域的成就多麼偉大，在普魯士科學院的頭銜多麼高，在微積分底層邏輯構建的大潮中，他只是大膽地做了一次不那麼嚴謹的嘗試就被嚴厲駁倒，在科學麵前，人人平等。那麼真正邁出堅實第一步的是誰？沒錯，柯西！
3. 攻堅期
19 世紀的柯西，用精湛的手法證明了介值定理、中值定理以及微積分的基本定理，而且找到了兩個很具體的級數收斂判別法則。更重要的是，他第一次明確了積分學相對於微分學的獨立地位，這一點是歐拉所沒有認識到的。
事實上，當我讀到柯西的時候，感覺他並沒有提出多少驚世駭俗的新概念，但是作者也說這一章的篇幅卻是最長的。我覺得，數學的發展或許可以分成兩類，第一類是像牛頓、萊布尼茲一樣，提出新概念的輪廓，讓人們心之嚮往；第二類是像柯西這樣，對一個模糊的輪廓進行精確的刻畫，讓人們能觸摸到每一處紋理。這兩類的貢獻，缺一不可，柯西的貢獻絕對是不亞於牛頓的。
在柯西確立了積分獨立地位之後，隨著對嚴密性研究的深入，曲線的幾何直觀越來越被淡化，取而代之的是抽象的函數，並且函數的樣子越來越奇特。比如狄利克雷函數，在實數上處處不連續，如何定義積分？柯西的定義法此時就不行了，這個時候黎曼站了出來，提出了黎曼可積性的充分必要條件（證明過程很精彩），證明狄利克雷函數不可積，因為它‘太’不連續了。大家都知道，數學家不喜歡用‘太’‘很’這樣的詞，因為不夠定量，他們總是希望得到一個可以測量的指標來說明問題，所以這裡就引申出來一個核心問題：到底一個函數不連續到什麼程度才會變得不可積？這個問題，要到 50 年之後，勒貝格站在黎曼這個巨人的肩膀上才得以攻克。那麼在這 50 年之間，數學家們也沒有閒著。
前面說的都是等式，劉維爾通過一個不等式，發現了無理數與有理數之間的空襲，並且通過親手構造了一個超越數而證明了超越數的存在。威爾斯特拉斯更是勵志典型，從中學教師一路幹到柏林大學教授，然後被黃袍加身成為“現代分析學之父”。他從點態極限的缺陷中，提出了一致收斂的概念。在 1875 年，提出的一個處處連續卻無處可微的函數，顛覆了所有人的認識，很多數學家紛紛表示要重塑三觀。如果當時有網絡自媒體，那麼文章標題一定是“震驚！前中學數學老師竟然做出這種事，查爾斯·艾爾米特看了沉默，亨利·龐加萊看了流淚”。
4. 第二次波折
隨著微積分越來越嚴密，人們構造了大量的不同不連續程度的函數，並且驗證了其可積性，似乎之前那個函數可積性問題的答案越來越呼之欲出了，但就是沒有捅破最後那一層窗戶紙。最沉悶的時刻不過如此，保羅·杜布瓦·雷蒙認為黎曼的定義無法再改進了，於是他止步於此；而康托爾則另闢蹊徑，從集合論的觀點出發，掀起了一場現代革命。
5. 集合論與測度論
出生於音樂世家而具備浪漫主義情懷的康托爾，一直都在追求數學中超然的自主性。他發現了區間的不可數性，從而立刻證明了超越數的存在，並且因為超越數的不可數性，其數量遠大於可數的代數數。這裡康托爾與劉維爾形成了鮮明的對比。作者的一個比喻非常精彩，他說劉維爾就像一個勤勞的老農，在一片甘草堆裡四處翻找，突然一根針刺痛了他的手指，他才發現原來還有針的存在。而康托爾只是輕鬆地變個魔術把你帶到夜空下，讓你看到代數數只是夜幕下的點點繁星，超越數才是濃黑的萬里長空。接下來有了集合論這個手段，沃爾泰拉和貝爾對集合的稠密性，連續性與稠密性的關係進行了，函數的分類等問題進行了一系列探索，而這些所有數學家們的成果都成為了勒貝格的墊腳石。
他提出的測度論一舉解答了 50 年來困擾數學界的難題：黎曼可積性的充分必要條件是不連續點的集合具有零測度。在回答完這個問題後，他沒有就此滿足，在徹底理解了黎曼積分之後立刻放下了黎曼積分，把目光投向遠方，提出了勒貝格積分，完美地證明了 300 年前牛頓和萊布尼茲提出的微積分基本定理，至此最後一塊拼圖也貼好了。無數的數學家們用 300 年的時間在外面兜兜轉轉，最後又回到起點。從肯定到否定，再到否定之否定，微積分的發展作為哲學課程的典型再好不過。
尾註：現代微積分教材中廣泛使用的 $\int$ 是萊布尼茲發明的，$f^{\prime}$ 是拉格朗日發明的，但是在書中的篇幅並不多，因為前者遇到了牛頓，後者遇到了柯西。
- 本書榮獲“第七屆文津圖書獎推薦書目”
本書宛如一座陳列室，匯聚了十多位數學大師的傑作，當你徜徉其中時會對人類的想象力驚歎不已，當你離去時必然滿懷對天才們的欽佩感激之情。作者同讀者一起分享了分析學歷史中為人景仰的理論成果。書中的每一個結果，從牛頓的正弦函數的推導，到伽瑪函數的表示，再到貝爾的分類定理，無一不處於各個時代的研究前沿，至今還閃爍著耀眼奪目的光芒。
閱讀更多 人民郵電出版社 的文章
