陰霾冬天
我來回答這個問題，線性代數這門課我最有心讀的就是對角化問題。
1.矩陣往往是某種實際問題提煉出來的數據表述，很多特徵都包含在這個矩陣中，比如方陣行列式，矩陣的秩，方陣的特徵值，特徵向量，為啥說成特徵值和特徵向量，肯定蘊含著某些實際問題的特徵，對角化就是讓他的特徵暴露出來，先看一個簡單的例子吧！
上面的四個方程（1），（2）在平面座標系中表示何種曲面呢？（3），（4）在空間座標系中又表示何種曲面呢？
顯然這並不是高中裡面學習的二次曲線的標準方程，高中裡學習的二次曲線方程中沒有x，y的交叉乘積項，很容易看出來是雙曲線還是橢圓，而這裡有交叉乘積項就無法看出來了，這兩個方程的信息都隱藏在矩陣裡，如下兩個矩陣。
求出這兩個矩陣特徵值
，化成標準形，實際上就是矩陣的對角化問題了，對角線以外的元素都為0了，也就是方程中xy交叉項沒有了。就自然知道它表示的是何種曲線了。
上面（3），（4）兩個方程類似，在空間表示何種曲面呢，方法完全類似。
2.特徵值，特徵向量不只是上面提到的應用，有著廣乏的應用背景，下面再來說一個微分方程的實例，為了方便還是舉一個一階線性微分方程組吧。
上面這個方程組x對t導數既和x有關有個y有關，我們稱為兩個方程相互耦合在一起，能否引入兩個新的變量x1，y1使得x1對t導數只和x1有關，與y1無關，我們稱為解耦，即解除耦合，這樣方程就好解了。多個變量的線性微分方程組也是如此。
3.你說的有何實際應用，你不會認為現代控制理論沒用吧，整個一本《現代控制理論》教材有大量章節都是矩陣的對角化問題，當時我教工科研究生這門課時，才深刻感覺到線性代數中對角化太重要了。不妨拍幾頁該門課的章節內容，供你參考
這些都是矩陣對角化問題。甚至不能對角化，就化為約當標準形，僅此於對角化問題簡單。說明不是沒有用，而是當你用時發現知識不夠用了。
希望我的回答對你學習有所幫助！
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