關於數學實驗的認識誤區
一種非常普遍的觀點是: 數學是“理論科學”, 只是動動腦子的事, 內容都是“抽象的”, 至多隻需要紙筆等簡單工具。更有些極端的看法, 否認數學是科學, 是研究自然規律, 認為自然數純粹是人腦子裡的東西, 等等(可憐都是二元論唯心主義)。
離開自然界, 數學根本不可能存在。
最早的數學研究對象 ---- 自然數的客觀存在,是一個物理事實, 人類只是“發現”而不是“發明”了自然數。
在數學中自然數只是作為一個基本事實和出發點, 其存在性在數學中是沒有證明的。自然數的
皮亞諾公理用範疇論的語言可以簡單地表述為自然數的存在性。
在今天數學的大部分內容可用文字表述, 這是數學作為人類文化的積澱。很多人由此認為數學就是這些文字和符號的遊戲, 這只是表明他們不懂數學, 恐怕只能歸咎於他們所受的數學教育質量之差。
作為科學, 數學產生於實驗, 在這一點上與物理、化學等都是一致的。但是數學產生於數萬年前, 那時的實驗手段, 在今天看來很原始; 而人類認識自然數的過程經歷了數萬年, 可以說歷盡千辛萬苦。但不能因此否認實驗在數學的產生和發展中所起的作用。
還有很多二元論者將“理論”和“實驗”完全對立起來, 例如在人教版初中數學七年級下冊 7.2 節的“為什麼要證明”一段文字:
李老師: 小明, 我們知道三角形的內角和是180度, 你能根據已學的知識證明這個結論嗎?
小明: 我們觀察任意一個三角形, 量出它的內角, 都能得出它的內角和等於180度, 為什麼還要證明這個結論呢?
李老師: 通過觀察、試驗等可以尋找規律, 但是由於觀察可能有誤差, 試驗可能受干擾, 考察對象可能不具一般性等原因, 一般說由觀察、試驗等所產生的“結論”未必正確, 例如, 讓一個班的
學生每人任意畫一個三角形, 再量出它的每個內角, 計算三個內角的和, 得到的結果未必全是
180度, 可能有的會比180度大些, 有的會比180度小些。
小明: 如果觀察細緻, 儀器精確, 不產生誤差, 還需要證明嗎?
李老師: 僅通過觀察、試驗等就下結論有時也缺乏說服力, 例如, 即使不考慮誤差等因素, 當
上面觀察的所有結果全是180度時, 人們還會有疑問: “不同形狀的三角形有無數個,
我們畫出並驗證的只是其中有限個, 其餘的三角形的內角和是多少呢? 能對所有三角形都進行驗證嗎?” 事實上, 不管我們經歷多長時間, 畫出多少個三角形, 觀察、試驗的對象也是有限個。
由此, 要確認“三角形內角和等於180度”, 就不能依靠度量的手段和觀察、試驗、驗證
的方法, 而必須進行推理論證 ---- 從道理上得出“無論三角形的具體形狀如何, 它的內角和一定等於 180度。
姑且不談有多少學生會接受這樣牽強的需要證明的“理由”。不難看到文中表現出作者的一個
觀點: 有些科學研究是直接實驗, 有些則是通過邏輯推導, 而這是兩種截然不同的途徑。
如果一個人做過一些實驗研究, 就會知道在實驗過程中, 包括實驗的設計、實驗過程中的調整、實驗結果的分析、實驗結論的建立等等都有邏輯推理; 所有科學實驗都有誤差, 受干擾, 而且都是在特殊的條件下做的,但並不能由此否定實驗科學的可靠性、精確性和普遍性。另一方面, 如果一個人做過一些理論研究, 就會知道在理論研究中經常需要實驗, 只是有時可以利用前人已經完成的一些實驗。
就以“三角形內角和等於180度為例說, 在中學幾何中證明這個定理是純粹的邏輯推理嗎?
否,因為其關鍵在於作一條平行線, 而這就是實驗的結果。找出這條輔助線, 古人不知花了多大的功夫, 做了如何艱苦的探索。這樣就可將“三角形內角和等於 180∘”轉化為與之等價的平行公理, 而平行公理是可以通過實驗精確驗證的。至於“度量的手段和觀察、試驗、驗證”不能解決問題, 只是因為實驗設計太笨。
對於這些哲學上的混亂, 數學界是難辭其咎的。
在大約一百年中, 很多數學家致力於將數學打造成一個獨立封閉的邏輯體系, 使其脫離自然界, 與其他科學隔離開, 藐視數學的應用。其中極端者甚至認為應用是對於數學的“汙染”。其實在 1930 年哥德爾的工作已經將這種企圖從哲學上徹底摧毀了, 但仍有很多數學家沒有放棄,
甚至至今還有人堅持。在這一時期產生的教科書, 頗有一些受到這種哲學的影響。例如對於物理上並不很深奧不很複雜的事實做冗長的、推理技術性強的、遠離直觀的或費解的論證, 卻不願採用物理上更直接更簡單的方法。這樣就難免使讀者對於數學有“純粹理型”之類的看法。
不過近五十年來, 這種狀況已經顯著改變, 數學逐漸迴歸自然。只是教科書的改變相對滯後, 特別是還沒有重視數學實驗。
2. 歷史上數學教育中的實驗及其變遷
其實在數學教育中一直有實驗, 除了不成系統的和不普遍採用的實驗外至少有兩種成系統和普遍採用的實驗手段, 即小學的珠算和中學的圓規直尺作圖。現代人可能看不上這樣簡陋的實驗, 但不能否認它們是實驗。
算盤作為一種計算工具, 已經完全淡出經濟生活。圓規和直尺的使用, 也比以前少多了。而它們原有的數學教育功能, 隨著在小學取消珠算和在中學取消圓規直尺作圖, 都已成為歷史。
我並非主張在數學教育中恢復算盤或圓規和直尺的使用 (但也不反對)。問題在於, 原來這些實驗手段在數學教育中所起的作用, 在取消它們後沒有替代, 使得數學教育中的實驗水平顯著下降, 從而使數學教育的水平下降。
就以尺規作圖為例, 它除了培養幾何實驗和工作能力外還有幾個重要的作用, 一是培養幾何直觀, 二是培養髮現圖形中的奧秘的能力, 三是有助於培養科學的嚴謹性和邏輯性。現在中學生的幾何直觀普遍較弱, 與缺少作圖很有關係。
近二十餘年來, 中學數學教程的變化非常頻繁, 很多內容說砍就砍, 而很多必要的數學教育功能也隨著被砍掉,卻都沒有替代。
我歷來反對“先破後立”, 認為這是一種“土匪哲學”, 實際上總是“破”了就完, 並沒有什麼“立”。
例如, 現在我國中學幾何教程已大為弱化而且碎片化, 沒有了系統性也就不能承擔原有的邏輯訓練功能, 但沒有人給出邏輯訓練的替代途徑。
3. 數學教育中的實驗的現狀和存在的問題
關於數學教育的實驗, 一些有識之士已在教學實踐中進行了深入的探索, 取得了顯著的效果和寶貴的經驗, 並對其作用有了深刻的認識和卓越的理念。可惜這樣的有識之士還太少, 影響也還太小, 亟待大力支持和推介。
儘管現在的數學課程標準中已將實驗作為一個必修的環節, 但實施很不到位。由於在升學考試中沒有地位, 很多學校在數學教育中僅僅將實驗作為一種可有可無的輔助手段。
在這方面, 灌輸式教育也是一個影響因素。滿堂灌當然是和實驗完全牴觸的。純粹灌輸的教育方式與社會背景有關, 但恐怕主要還是因為傳統和習慣, 再加上懶惰。
很多人, 包括很多教育者認為, 數學中的事實如“三角形內角和等於 180∘”, 讓學生知道並且記住就行了, 沒必要做實驗。這裡涉及科學教育中的一個深刻問題: 為什麼在科學教育中需要實驗?
舉例說,
中學生學化學要做製造氫氣的實驗 (在稀硫酸中加鋅), 這樣做有什麼意義呢?
不會發現新的事實,教科書上寫得很清楚; 這實驗是成千上萬人做過的, 不會有意外; 操作很簡單, 不會提高什麼技術。那麼, 通過實驗接受關於氫氣的化學知識和僅通過讀書、聽課接受它有什麼不同呢?
閱讀和聽別人講, 只是接受信息, 而且只是一個學習者所接受的全部信息中的很小一部分。尤其是在信息爆炸時代,讀書上課所接受的信息佔的比例已經很小, 而且還會越來越小。但科學與其他信息相比有很大的特殊性和重要性,一是其正確性, 二是其精確性, 三是其實用性。如果僅僅當做信息來接受, 那就很容易被淹沒在海量的錯誤信息、虛假信息、模糊信息、垃圾信息等等的海洋裡。通過實驗的學習卻不同, 是學習者直接與自然界交流, 獲得可靠的和準確的第一手信息, 其價值遠非普通信息 (如新聞或常識) 可比。由此學習者可以逐漸培養出科學的客觀性、嚴謹性、邏輯性、洞察力和理論聯繫實際等素質, 進而建立對於科學的信念和敬畏。
數學教育也並不例外。上面所說的加輔助線證明“三角形內角和等於180度，就是重複前人的實驗,其意義與製造氫氣的實驗類似。歐幾里德將這條輔助線寫進教科書, 使得後人受惠兩千多年, 不用再辛苦探索,只需要照此驗證即可, 就如在化學教科書中說在稀硫酸中加鋅可以產生氫氣, 學生只要照此做實驗即可。
缺乏實驗的數學教育導致的後果是非常明顯的, 有大量的實例可以說明。上面所說到的對於數學的各種偏見就是一個方面, 幾何直觀的薄弱也是一個方面。另一個方面是將數學應用於經濟生活的能力和自覺性 (很多人只會用加減乘除, 不會運用方程、函數、優化等)。常見學了很多數學的人, 在工作中只會運用很初等的數學。邏輯性的欠缺也是一類很常見的後果。
由此可見, 反覆灌輸、強制學習和功利性的引導等教育方式, 對於科學素質包括數學素質的培養不會有什麼好處, 而且影響將會越來越小。
4. 數學基礎教育中的實驗手段的需求和供給
各種強制性的手段和功利性的誘導都不可能成為學習數學的動力。唯一的學習動力是興趣, 而興趣需要通過實驗來培養。幼兒的數學實驗基本上是“玩數學”, 有很強的遊戲性, 通過遊戲接觸自然。但隨著年齡的增長, 這樣的實驗日益顯得不足和幼稚, 需要更高水平的實驗。
對於數學的普及教育, 實驗的需求是很大的, 目前“供給側”明顯不足, 對於小學教育有一些但尚不足, 對於中學教育短缺尤為明顯, 很多認真的中學數學教師仍不得不使用很原始的實驗手段。例如, 對於全等實驗, 現在還沒有比用兩張透明膠片滑移更好的手段; 對於長方體實驗, 現在還沒有比疊紙盒更好的手段; 對於圓錐切割實驗, 現在還沒有比用手電筒照牆面更好的手段, 等等。如上所說, 小學用的算盤、中學用的圓規直尺等都需要更好的替代。
另一方面, “需求側”也有明顯的不足, 大部分需求還只是潛在需求, 而且功利性的引導 (如統考) 對於實驗的需求很少刺激。我在某小學看到花錢買來的幾十套實驗設備從來沒有打開過, 這種現象恐怕很普遍。
不過我認為現在應重點關注供給側, 一旦有了高質量的創新產品, 即使只有佔比例很低的用戶, 也是不小的市場;反之, 如果沒有高質量的創新產品, 一般人想不到需要什麼, 因為這種需要是較為專業的。
高效率高質量的數學實驗新手段, 需要一線教師、數學家和教育技術專業人員中的有識之士相互合作才能創造出來。
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