弗萊明因為“粗心大意”發現了青黴素、門捷列夫在夢中排定了元素週期表、倫琴則在從事陰極射線研究時發現了X射線...科學史上有許多這樣偶然的重要發現，但這些看似偶然的背後卻隱藏著必然。

X射線

青黴素、元素週期表、X射線的發現在當時的歷史環境下是一個偶然現象，但是在歷史長河中卻是必然的，因為迫切需要解決的問題驅使人們在一次次失敗中尋求出路，不達目的誓不罷休的堅持與努力，讓一切難題都在隨著時間的流逝而變得容易、並最後被解決，本質相同，唯一不同的是時間、地點、人及方式.

作為”科學的皇后”，數學上這種“偶然”與“必然”的現象也時有發生。”複數”的發現、發展就是一個重要的例子.

人類對方程的研究是孜孜不倦的。公元前18世紀的古巴比倫人就已能熟練的解一元二次方程，但與現在不同的是，他們只要能找到方程的一個根就已心滿意足——如果這個根是正數，留下；如果是負數，就捨去。這種情況直到9世紀的阿拉伯才有所改變，數學家花拉子米（Al - Khwarizmi）開始刻意討論方程兩個根的情況，但是對於方程的“負根”，他明顯表示出了不認可。

我們一起來看方程：x^²+x=2，即（x-1）(x+2)=0.花拉子米會得到兩個根1和-2，但負根-2會被捨去。古印度數學家或者會得到根1，或者得到根-2，承認負根，但是得到一個根後不會再去計算另一個.

再來看看方程：x^2+1=0.無論是古巴比倫、古希臘、古印度，還是古阿拉伯數學家，如果恰好遇到這個方程，他們都會順其自然的認為：此方程無解。所以古時候沒有任何跡象表明，“複數”會與數有什麼關聯.

如果人們一直這樣只會解二次方程，那麼一個對當代數學影響巨大的概念可能就此被深藏，但是到了16世紀，一個偶然事件改變了這一狀況。數學家在探索了幾千年後，終於在1510年左右的意大利，數學家費羅（Ferro）成功發現了三次方程x^³+px=q(p、q為正數）的公式解，隨後的意大利數學家塔爾塔利亞Tartaglia，在1553年最早得出了三次方程式一般解。

塔爾塔利亞

但直到此時，遇到方程的根不是正數的情況，依然是可以理所當然的捨去的。卡丹（ Cardano,1501-1576）在《大術》中提出問題：將10分成兩部分，使其乘積為40. 然後他寫道：“顯然，該問題是不可能的...但是拋開精神的痛苦，我們將5+√-15和5-√-15相加得到10，相乘得到40...”

儘管卡丹並不承認負數開根號（即“複數”）是一個數，並認為這樣的解是“矯揉造作”的，但是他的確第一個使用了√-15這樣的符號和運算。

卡丹

16世紀的另一位數學家邦貝利（Bombelli，1526-1572）則比較幸運，他在研究時《大術》有了一個驚人的發現。對於三次方程x^³=15x+4，通過觀察發現它有三個實數根:4,-2+√3,-2-√3.同時代用“卡丹公式”得到方程的一個根為：

通過簡單的運算，邦貝利得到一個不可思議的結果：

一個整數，居然可以用√-1表示，要知道在“負數”都還沒有得到正確理解和認可的16世紀，這個結果是超乎想象的。但數學家們又不得不深入思考：為什麼會出現這樣的情況呢？√-1到底是什麼?

經過深思熟慮，邦貝利顯然沒能理解√-1也是一個數——即虛數。但是他大膽的給出了虛數的運算法則：

因為這樣，複數的發現自然就歸到了邦貝利的名下.

自此開始，數學中引入了這樣一個“怪物”，在沒有徹底搞清楚這個概念前，數學家們對待√-1的態度是搖擺不定的。

17世紀著名數學家、解析幾何的創始人之一笛卡爾覺得√-1是不可思議的、不存在的、“虛無的”，所以給它去了一個消極的名字——“虛數”（imaginary number），不幸的是，這個名字深入人心、一直延用至今。

微積分的發現者之一、17世紀德國著名數學家萊布尼茨（Leibniz，1646－1716）在研究邦貝利的《代數學》後，更加深入的研究了“虛數”，並聲稱“在一切分析中，我從來沒有見過比這更奇異、更矛盾的事實了。我覺得自己是第一個不通過開方而將虛數形式的根化為實數的人.”

要讓複數被人們接受，兩個重要問題需要被迫切的解決：

一個是複數除了在代數中出現以外，還有沒有其他的實際應用？另一個是複數到底是不是數，或者它有沒有具體的幾何解釋？

第一個問題的突破口在三角函數

複數與三角函數的融合使得數學家對複數產生了更多興趣。在韋達的遺著（16世紀）、萊布尼茨未出版的著作（17世紀）、以及棣莫弗的文章中，都出現了這樣一個公式：

這個公式是在解決三等分角問題導出的，稍作變換就可以得到我們常見的形式：

儘管還在懷疑它的合理性，但複數就這樣被很自然的使用，而且“在數學推理的中間步驟使用了複數，結果被證明是正確的”.數學家們繼續探索著。

1702年，瑞士著名數學家約翰·伯努利（Johann Bernoulli，1667 - 1748）對“複對數”的研究使得“複數邁進了三角函數理論的大門”.下圖是伯努利的工作.

很明顯伯努利關注到的是三角函數、複數、以及對數之間的關係。他的最得意弟子歐拉（ Euler ，1707～1783）關注到了這個等式的逆，讓其變得簡明扼要、廣為人知。即，

歐拉將數學中最重要的3個常數：自然常數e、圓周率π和1，以及虛數單位i、負數符號“-”連接在了一起.構成數學上的“最美公式”.

與三角函數的聯繫，使得複數在18世紀得到一定程度的認可，但它尚在等待另一位數學大咖的出現， 他就是德國著名數學家、“數學王子”高斯（Gauss，177－1855）.公元1799年，在法國數學家達朗貝爾(d’Alembert，1717~1783) 研究的基礎上，高斯得到並證明了

代數基本定理是代數學的基礎，而其證明又依賴於對複數的認同，這大大的鞏固了複數的地位。再到下一個世紀，法國著名數學家柯西（Cauchy， 1789-1857）、德國數學家黎曼（Riemann，1826—1866）對複分析（complex analysis）的深入研究把複數推到更高處。

柯西

第二個問題——尋求複數的幾何解釋

從17世紀英國數學家沃利斯（Wallis,1616—1703）開始，經過無數數學家的嘗試，到了18世紀末挪威-丹麥數學家韋塞爾（Caspar Wessel，1754-1818）這裡終於有了複數的合理幾何解釋，這就是我們熟悉的複平面。

到了20世紀，複數所面臨的問題已基本被解決，複數逐步滲透到幾何、量子力學、流體力學等領域，理論與應用的結合讓數學家們最終一致的認可了複數是數系的重要一員.到此複數完全的融入了數學.

可以說，複數在16世紀被發現純屬偶然，但是三次方程與複數的關聯又讓“複數”的發現成為必然。如果我們設想三次方程的發現提前千年或延後千年，由其求根公式所產生的“矛盾”也必然引起當時數學家們的重視，好奇心、實際困難，以及對數學的執著也必然會讓“複數”以其他的形式（而本質不變）出現。必然性在數學發展史中就以這樣的偶然現象被表現出來。

再簡單回顧一下複數的發展史，從時代發展上，我們發現：

在16世紀之前，複數被認為是“不被需要的”，16世紀意大利數學家從“矛盾”中偶然發現了複數，17世紀數學家對待複數處於“搖擺不定”的狀態——以複數為中介得到實數的結論、但又不承認複數是存在的，18、19世紀在歐拉、高斯、達朗貝爾、柯西、黎曼等數學大家的努力、以及大量實際應用的下，複數才逐步被認可和接受.

數學王子-高斯

總之，複數的發現、發展過程，反映了一代代數學家對未知世界的孜孜不倦的探索，體現了一個數學概念發展上遇到的曲折坎坷，更是印證了偶然與必然這對看似“對立”的規律在歷史軌跡上的高度統一.

閱讀更多 數學原來如此 的文章

關鍵字: 發現 威廉·倫琴 歷史