內容來源：本文來自《數學通報》2000年第12期，原載於《中學生數學》2000年11月上期。
前言
華羅庚先生是55年前我在昆明西南聯合大學求學時代的老師。2000年11月12日是華老的90週年誕辰，華老的許多弟子和朋友們都到了他的故鄉江蘇省金壇市，參加了隆重的紀念活動。作為華老的一個老學生，我能有機會應邀做了一次回憶華老的報告，真感到異常興奮而榮幸。當天大會中的不少發言，都說到了華老往年的音容笑貌和對學生們的嚴謹而親切的教導，一切猶如歷歷在目，都懷有不勝感激之情。我這篇報告的主要內容，以“回憶我的老師華羅庚”為題刊載在由中國數學會普委會、北京數學會與首都師大主辦的《中學生數學》雜誌上[見2000，11月上期]。現今由《數學通報》轉載此文時，我又做了一些修改和補充。
一、對50年前的片廢回憶
正如王元的著作《華羅庚》一書中所說，抗日戰爭年代的西南聯合大學是一個“藏龍臥虎”之地。當年我前往昆明求學之前，已從報紙上得知自學成才的數學家華羅庚以其著名的《堆壘素數論》榮獲教育部的一等獎。另外，還從報刊上讀到有關他的艱苦奮鬥歷史和一些有趣故事。那時候我正好自學了一本胡濟編著的《整數論初步》，略知數論是一門優美而精深的學科。所以我在西南聯大數學系學完了兩年課程之後，很自然地懷著高度崇敬的心情，選修了華先生的“初等數論”課程。後來還學了他開設的必修課“近世代數”。記得兩門課我都得到了90分的最好成績。
華先生講課姿態很靈活，喜歡在黑板前面走來走去，邊走邊講。他在黑板上寫字不多，只寫出那些最必要的算式，而很注重講問題的來龍去脈和論證思想，有時也穿插講點小故事。所以聽他講課我感到是一種愉快的享受。
有一次華先生應俞大維部長（抗日戰爭時期的“國防部長”）之邀出差去重慶期間，曾讓他的助教閔嗣鶴先生來領導我們分頭報告他編寫好的各章數論講義。我努力把華先生的一章講義弄懂之後，很高興地報告了三次，曾得到閔先生的讚許。這對我後來喜愛數學教學無形中起到了積極的鼓勵作用。
在我的印象裡華先生並不看重考試。他教我們兩門課程時，一次考試也沒有。當然，學生們對他這樣的老師是很歡迎的。但他要求我們必須做一批他所指定的習題，最後根據做題的表現狀況給我們打分數定成績。這樣，無疑是體現了對青年學生的學習主動性與自覺性的尊重和鼓勵。我想，正因為華先生本人是自學成才的，所以他看重人的主動自覺性也就很自然的了。
1945年我從大學畢業後，有幸被留校做華先生的助教。每星期批改一次由華先生授課的近世代數班的習題本。記得當年學生中有一位來自香港的優秀青年名叫陳國才。他的習題做得特別好，可以預見他是最有前途的。後來，他果然成為海外華裔的傑出數學家，但不幸英年早逝了。多年前香港數學會通訊上還有專門文章紀念他。
記得當年華先生講課的主要特點是，他總是盡力把題材化繁為簡，化難為易。有時也對一些數學定理及其證法的妙處，讚歎幾句，他曾不只一次地對我說：“高水平的教師總能把複雜的東西講簡單，把難的東西講容易。反之，如果把簡單的東西講複雜了，把容易的東西講難了，那就是低水平的表現。”這些話是使我終生難忘的。
還有一次在講近世代數課時，他對大家說，他在步行來校的路上才真正想通了“舒爾引理”（Schur’s lemma）的妙處。一位著名的數學教授，竟能在學生們面前毫無保留地表白對一個著名定理的體會過程，真使大家更加敬重他的坦誠性格和求實精神。
二、華先生的治學經驗及名言
華先生很重視做學問需要有“看家工夫”。所謂看家工夫指的是做科研時必不可少的最基本而有用的本事。據他所說，他的紮實的看家工夫主要來源於三部經典著作。一是克里斯托爾（G. Chrystal）的《代數學》，二是蘭道（E. Landau）的《數論教程》（三大卷），三是特恩波爾（W.H. Turnbull）與愛德肯（A.C. Aitken）合著的《標準矩陣論》。他說，《代數學》使他學會了計算技巧，《數論教程》使他獲得了從事數學研究的分析功底，而《標準矩陣論》雖是一本薄薄的書，卻是幫助他後來完成“矩陣幾何”和“複分析”巨大研究成果的基本工具。
記得北京大學數學系前系主任段學復教授，50年代在清華大學任教時期曾對我說過，據他所知華先生在青年時代即精讀蘭道的三卷鉅著，共做了6大本筆記，可見其功夫之深。《標準矩陣論》這本老書，曾由華先生傳給了閔嗣鶴先生，後來又由閔先生傳給了我。至今保存在我家已有50餘年了。從這本老書中還可以看到當年身為名教授的華先生曾做過書中習題的痕跡。
19世紀初葉的傑出數學家阿貝爾（N.H. Abel）曾有這樣的經驗和見解：“只有直接向名家的原著才能最有效地取得寶貴的知識和智慧。”顯然華先生成功的經歷與阿貝爾的成才經驗及見解是完全一致的。
談到讀書的方法問題，華先生自有一套深刻的獨到見解。我們曾多次聽他說過“讀書要從薄到厚，再從厚到薄”的道理。當然這也是他自己讀書成功的經驗之談。
他的經驗是，首先要做好讀書筆記，筆記中要補充書中的不足之處，包括補足定理證明的缺陷等等。還要選做書中的習題。這樣就好像是把薄書讀成厚書了。他還說過：“讀數學書而不做習題，真好像是入寶山而空返。”進一步是要努力提煉出書中題材的基本要點和核心內容以及論證方法的關鍵所在。因為要點、核心和關鍵經過分析、概括和徹底理解後也就會變成直觀上一目瞭然的東西，顯然只須 用極小的篇幅即可記錄下來，所以厚書也就變成薄書了。
對待探索性科學研究，華先生認為在工作過程中出現些差錯是常有的事。他說：“只有廟宇裡的菩薩才不會出錯誤，凡是研究工作做得越多的人，出現差錯的機會也就會越多。”這和法國已故分析學大師阿達瑪（J. Hadamard）的觀點正好是不謀而合的。真是英雄所見略同，阿達瑪曾在他的著作《數學領域中的發明心理學》一書中說過，“在數學中我們不怕出錯誤，實際上錯誤是經常發生的。”他還說，“就他自己（阿達瑪）而言，所發生的錯誤往往比他的學生所發生的錯誤還多。但由於他總是不斷地加以改正，故在最後的結果中，就不會再留有這些錯誤的痕跡。”
事實上，從事數學創造性研究工作，一般都免不了要經歷“猜測——不斷試證——不斷糾錯——確證真理”等步驟，所以傑出的數學家們都會有雷同的經驗和觀點也就不足為奇了。
數十年前當華先生在數學上取得卓越的重大成就而享有盛譽之後，一般人常把華先生稱讚成“天才”。實際上他個人並不認可“天才”的說法。記得有兩次他曾和我談論到有關人類智力的看法。他認為一般正常人的天賦智能其實是差別很小的。但由於人們實際生活環境與條件的不同，智能被開發的程度不同，才使人們的智能在表現上有所差別。他常說他自己的科學工作成就主要靠勤奮，還常用“勤能補拙”的成語來勉勵我們。
往年，在昆明西南聯大時代，每次我去華先生家拜訪求教時，總是看到他安然自若地坐在一個吃飯用的大方桌邊做研究。我的印象是，他喜歡在飯桌上寫作，而並沒有固定的書房和寫字檯，也沒有象樣的沙發椅。
我做他的助教時，他曾問我：每天工作幾小時？我回答說“大概每天搞數學三至四小時吧。”他說：“這麼少時間搞數學怎麼夠！工人每天還要工作八小時呢。”聽他這麼一說，我真是很感慚愧，心想：做老師的每天工作時間比我的兩倍還多。
三、華先生的工作特色與價值觀
華先生在數論、代數、幾何與複分析等領域的卓越成就及貢獻，已在王元的《華羅庚》傳中做了很好的介紹。這裡我只想從宏觀的角度談一些華先生工作的主要特色與有關的價值觀念。這對繼續發展我國的數學教育來說，應該會有相當的參考價值。
從華先生的許多著作可以看出，他豐碩的數學工作成果所反映的“價值觀”主要表現為：追求簡易、重視技巧、尋求顯式、堅持構造和看重應用。所以在一定程度上，華先生和著名的德國數學家雅可比（C. G. J. Jacobi）、克羅內克（L. Kronecker）以及蘭道頗有類似的工作特色。就善於用初等方法處理艱難問題的這種本事來看，他又和傑出的已故匈牙利數學家愛爾特施（P. Erdos）十分相似。
大家知道，傑出的分析家蘭道的寫作風格是：簡潔、精巧和嚴謹。華先生對此極為讚賞。事實上，華先生的著述和作文也很象蘭道的風格。然而，又因為華先生還有很好的文學底子，所以他的那些表現在科普作品的寫作技藝方面，卻不是蘭道可比的。
在科研工作中，為獲取創新成果，華先生又很象歐拉（L. Euler）和高斯（C. F. Gauss）那樣，十分重視計算、觀察、歸納和分析。他曾對我說過，如果想了解他的研究工作全過程，那就最好從他桌旁的紙簍裡去找出他的大量草稿紙來看。當年我雖然沒有那樣去做，但我從華先生的言談中，以及後來讀了歐拉和高斯的傳記之後，就逐漸領悟到他們的科研工作方法實際上是極為相似的。我並未問過華先生是否讀過高斯傳記，但平時聽他的言談，確切得知他對高斯的“從歸納到論證”的思想方法是極為通曉而崇敬的。
在看待數學工作成果的價值時，華先生對“數學思想”和“數學技巧”兩個方面是並重的。有時甚至把數學思想放到更高地位。例如，他曾不只一次地對我談到了“數學家”與“數學匠”的兩滾不同概念。他的意思是說，數學家應該是既有高明的創新思想，又有高明的方法技巧。如果只重視技巧而缺乏高明思想那就至多隻能成為數學匠了。當然，為了解決大量有一定應用價值的理論與實際問題，能精心細作的數學匠隊伍也是非常需要的。
此外，華先生還很強調“聯想”在數學創造性研究過程中的作用。這裡我想起了半個世紀前的一個真實故事。記得1946年春雲南省發生“昆明事變”之後不久，我去昆明郊外華家看望華先生時，他告訴我說，城裡響了幾天槍炮聲，他是閉院不出，天天在院子裡躺在帆布床上仰觀天空中的白雲變幻，忽然有一次由聯想使他得到了一個美妙的數學新思想。他沒有談論細節，但我知道那個時期正是他科研的高產時期，每年都有不少佳作寄往美國發表。例如，那時期他在美國的好友徐賢修先生曾在一次來信中告訴他，他在美國一年內發表的多篇論文的總頁數多達一百數十頁。
上述真實故事也正好說明了，華先生的一個數學新思想 （或數學靈感） 產生的機遇和宋代大文豪歐陽修所說的“三上文章”的經驗是非常相似的。歐陽修曾說過，他的佳作都是“三上文章”，那就是在“馬上”、“廁上”和“枕上”形成文思後產生的文章。如此看來，產生文學靈感和數學靈感的心理機制及情境條件可能是一模一樣的。
正如國內外一些數學家所評述，華先生和印度天才數學家拉馬努金（S. Ramanujan，1887-1920）頗有不尋常的相似之處：（ⅰ）他們都出生於東方文明古國的清貧家庭。（ⅱ）他們都是自學成才的數學人物。（ⅲ）他們都是精於演算技巧並且對於“數學的形式結構”都具有特別悟性的計算大師。例如，拉馬努金特別擅長於無窮連分式與無窮乘積等解析式子的算法技巧，並有一種獨特的直覺力使他能猜到或驗證許多精美奇妙的公式，而為世人所讚歎。相似地，華先生操作矩陣運算就象是擺弄普通數字那樣得心應手，因而能順捷地得到了“矩陣幾何”等方面的一系列極為優美的構造性成果，而為數學界所稱道。
然而，拉馬努金由於長期食物營養不良而英年早逝。他的工作成果始終保持著某種原創性的獨特個性，而他未能發展成為一個完全成熟了的能進入數學主流中去的數學家。華先生的情況則有所不同。他一生中雖然遭受過王元著作中所說的“三大劫難”，但總算具有較強的環境適應能力，以致能活到75歲。他的博學多聞、勤奮努力加悟性，還使他的工作活動能融合到世界數學主流中去，所以終於成為中國現代數學事業的奠基者和領航人。
一般理論數學家往往只顧研究，不願多談應用。華先生與眾不同，他一貫強調數學的應用價值，並且身體力行，為推廣數學應用而效力。例如，70年代前後他帶領工作組不知疲勞地在國內各地大力推行簡易實用的“優選法”，為生產實際部門創造了很可觀的經濟效益，那確實是十分感人的事蹟。作為華先生多年助手的國家計量學院前院長謝庭藩教授，在金壇市的紀念活動中，還專門介紹了華先生及其弟子們在統籌與優選法方面的理論貢獻，足見華先生對待貌不驚人的應用課題也同樣是懷有巨大熱忱的。
四、後記
我有幸從青年時代起就從華先生那裡獲得了終生難忘的教益：一是向他學到了不怕計算和樂於計算的精神。正是這種精神幫助我培育了一些“硬分析”工夫。二是在他的教學與科研風格影響下，使我較早地形成了“追求簡易”和“重視顯式結構”的觀點。這些觀點對我後來研究函數逼近論與計算數學以及組合數學都是大有幫助的。三是華先生的興趣廣泛性格以及對治學方法的見解，啟發我養成了愛讀數學發展史和科學方法論的習慣。這樣，終於使我有機會能在1980年左右開始在國內三所大學講授“數學方法論”課程，並於1983年出版了一本頗為暢銷的《數學方法論選講》。現今此書已有第三版問世。
記得抗日戰爭勝利前一年，華先生曾應邀出差去重慶 （抗戰時期的陪都） 為當時的國防部門解決一個關於日軍軍用密碼的破譯問題。華先生以其卓越的慧眼很快識破日軍密碼的轉換工具即數論中的麥比烏斯（Möbius）公式。這一令人驚喜的信息，曾鼓舞了我與當年的概率論課程老師鍾開萊先生（現為美國斯坦福大學終身教授）合作寫成一篇用麥比烏斯反演公式求解一類組合概率計算問題的文章（發表於1945年美國統計數學年刊）。後來我自己以及與我的年青合作者又一起在海內外發表了數篇有關廣義麥比烏斯反演公式及其應用的論文。飲水思源，這一切都要感謝當年華先生的知識傳授與啟示。
最後要說的是，在我大學畢業時，正是由於華先生的推薦和當年數學系主任楊武之先生的首肯，才使我有機會留校從事數學工作。實際上這也是使我後來能享有漫長的“數學生涯”並能得到順利發展機會的人生關鍵一步。所以今天來紀念我的已故老師時，很自然地懷有一種深深的崇敬和銘感之情！
我衷心祝願有志於數學科學事業的年青一代繼承和發揚華老艱苦奮鬥、刻苦鑽研、無私奉獻的精神，將為我國的科技與科教事業作出更大貢獻。
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