艾伯史密斯
看了幾個回答談到了反證法，想起了我一直的一個疑惑，和題目關係不是很大，我覺得反證法本身可能就有問題。
我高中的時候有一次數學練習題，有一道證明題，具體我忘了，總之大概就是給了一些條件，最後證明k>2，我當時就沒有解出來，後來老師講題的時候用的反證法，倒推後證明k<=2時與題目給定的條件不一致，所以k>2成立，其實這種題高中時倒也常見，但我當時突然有點疑問，就問了老師一個問題，如果我不去證明k<=2時不符合給定的條件，而是去證明k<=1時不符合給定的條件（這個肯定是成立的，因為k<=2的區間包含k<=1），那麼這個題不就無法證明了？怎麼確認“2”是恰好的分界點？也許還有"2.1"、“3”啊，老師讓我證明一遍，我用反證法很快照著老師的思路證明k<=1時，不符合題目給定的條件，所以k>1(事實上，k>1包含k>2)，老師當時也有點懵，我當時學習不是那種很好的，老師就說讓我別考慮別的數字，既然題目是2，就用2。所以，我一直到現在都覺得反證法本身是有侷限的，甚至是有問題的。當然，一家之言，我本身數學也不大好，如果不對請勿噴，如果有人能解答疑惑，萬分感謝。
看了很多回復，我覺得應該重申一下我要說的關鍵，我不是說這個題怎麼樣，我是對反證法這種證明方法有異議，因為這種證明題，一般都是根據條件推導出結論，幾乎沒用過反證法。如果把這個題改一下，其他條件都不變，但改成不知道結論的求解題，大家隨便假設一個數，然後反證法證明了，這個過程也沒有問題，但明顯不對，再說如果我反證法證明了k>3，那算不算對？如果一個證明方法等得出很多不同的結果，還有什麼意義？這裡重點是那個恰好的節點，如果能證明2就是那個節點，那就不需要用反證法了。
一花一塵埃
我來說說個人體會吧。
雖然現在沒有從事數學相關的工作，甚至連曾經學過的數學也差不多忘光了，但依然有些數學證明，至今難忘。而我小時候，第一次品嚐到數學這門學科的魅力，正是來自這些巧妙的證明，這讓我養成了特別喜歡做證明題的興趣，它遠遠比簡單的計算要更有意思，常常為了證明一道題而冥思苦想甚至茶飯不思。
引我進入數學證明大門的一道題，其實很簡單：
請證明不存在最大的素數
早在公元前300年，歐幾里得就證明了這道題，不存在最大的素數。
所謂素數是指大於1，只能被1和自身整除的自然數。
比如2是素數，它也是唯一即是素數又是偶數的數，因為下一個偶數4，就不再是素數，它可以被2整除，能被2整除本來就是偶數的定義。因此，任何大於2的數，如果它是一個素數，那它必須是一個奇數。但當然不是所有奇數都是素數，比如數字9，它是奇數，但它能被3整除，因此它不是一個素數。
注意，所有大於1且非素數的數，一定能被一個素數整除。
比如，所有大於2的偶數都能被2這個素數整除。
至於奇數，要麼是素數，要麼能被素數整除。
因為非素數的奇數一定是3、5、7、11、13..... 這些素數的倍數，即能被這些素數整除，如果不能被這些素數整除的奇數，那麼它自身就一定是個素數呀。
讓我們換種方式寫一下數字。
1,2,3,2*2,5,2*3,7,2*4,3*3,2*5,11,2*6（3*4）,13,2*7,3*5，
要想證明這道題，除了知道素數的定義，還需要知道這個至關重要的基礎：
至於奇數，要麼是素數，要麼能被素數整除。
如果你嘗試寫下1~10000以內的素數，你會看到一個規律，那就是隨著數字增大，素數出現的頻率開始降低，畢竟數字越大，它就越有可能被另一個數整除，不是麼？後世的數學家們發現，從不大於數字N的範圍內隨機抽一個數，它恰好是一個數字的概率略為1/lnN（ln 自然對數），當N非常非常非常大的時候，您可以將它簡化為1/N，很明顯數字越大，你恰好隨機抽到一個素數的概率就越小，但注意這個概率將永不等於零，哪怕N趨近於無限大也一樣，因為這只是素數出現頻率的估計，的確數字越大，素數將越來越稀少，但無論它多麼少，素數總是存在著，這就是證明題的魅力，我們很早以前就知道了：不存在最大的素數。
最初，我看到這道題的時候，還是個熊孩子，看到這道題的感覺完全就是懵逼的，一頭霧水，狗咬烏龜找不到下嘴的地方，直到我看了答案，才恍然大悟拍案驚奇，從此學會了一種至關重要的思維方式，受益終生，不僅僅是在數學上，也在別的地方有用。
反證法
如何證明不存在最大的素數呢？
如果找不到一種正面的證明方式，那麼不妨讓我們先假設存在一個最大的素數，然後在此基礎上進行推理，看是否會得到一個荒謬的結果，如果能，那就說明我們的假設是錯的，即存在一個最大素數的假設是錯的，由於答案只能是二選一，沒有更多選擇，這時候否定了一方，就等於肯定了另一方，因為兩者必居其一。要麼存在最大的素數，要麼不存在，沒有第三種可能性。
現在，讓我們看看推理過程，別怕，這是小學生都能看得懂的過程，當然，你得先記住什麼是素數。讓我再重複一下。
大於1且只能被1或自身整除的數，就是素數，大於2的時候，所有的素數都必然是奇數。而奇數，它要麼是一個素數，要麼能被一個素數整除。
1、假設存在最大的素數，它等於N。
只要我們能推翻這個假設，就意味著不存在最大的素數。
2、那麼我們可以利用數字N，構造出一個新的數字M，它=2*3...*N+1
這個加1很重要，是整個證明的精華所在，是回頭來看時拍案驚奇之處，畢竟我就是告訴你，這道題要用反證法來證明，你也得找到具體的證明辦法才行。
3、注意，新數字M是個奇數，所以M要麼是一個素數，要麼不是一個素數
3.1 假如數字M是素數，那麼M>N，即存在最大素數的假設是個錯誤，證畢。
3.2 假如數字M不是素數，那麼必然存在一個素數X，能整除M。
4、由於M = 1*2*3*....*N +1 ，這就意味著從2開始一直到N，作為除數去除M，都不可能把M整除，即M/(2....N)都不可能是一個整數，總會有一個餘數1。因此X必然大於N。由於X是個素數，因此原假設存在最大的素數N，不正確，因為還有比它更大的素數X。按照同樣的邏輯，我們可以證明X也不是最大的素數，您只需要把上面的證明流程再循環一次就能得到比X大的素數，無窮無盡。
我來舉個實例吧，
假設N=5是最大的素數
那麼M=2*3*4*5+1 = 121
121不是一個素數
它可以被素數11整除
但11>5，所以5是最大的素數被否證。
同樣11也不是最大的素數
因為2*3******11+1 = 39916801，
這個數本身就是一個素數，它可比11大得多。
這樣的過程可以無限循環，但數字迅速增大，超過人力計算的範疇
但證明題的魅力就在於，只要邏輯正確，前提無誤，我們就脫離了硬算的限制，進入自由世界。
裸猿的故事
說一個小時候，寒木死活想不明白，僅靠記憶做題……
長大了，看到證明後，才心服口服的東東。
證明過程超級簡單，小學三年級的人都能看懂。
除數不能等於零！
這是小學老師告訴我們的，但那時，他們很少告訴我們，這是為什麼。
他們大多隻會一邊敲著黑板一邊大喊：除數等於零，沒有意義！沒有意義！
這個“沒有意義”實在是太難以理解了，折磨了寒木很長時間。
現在，我們用反證法來證明一下：
假設，0可以作為除數，則：
0×1=0
0×2=0
所以：
0×1=0×2
因為0可以作為除數，所以……
兩邊再除以0，得：
化簡一下：
得：
1=2
矛盾，所以，0不能作為除數。
小學六年級的時候，如果老師能給我們這麼證明一下，我們就不會去深入思考，那個“沒有意義”到底是個什麼意義了。
最後，來一個趣味題。
話說，有4個算命先生，分別是A、B、C、D先生。其中：
A先生：準確率10%，收費5元；
B先生：準確率45%，收費10元；
C先生：準確率60%，收費15元；
D先生：準確率80%，收費20元；
那麼，你該選擇哪個呢？既要追求準確率，還要追求性價比，能同時做到嗎？
答案太容易了。
這樣去思考，A先生的準確率只有10%，那就說明，他的錯誤率就是：
1-10%=100%-10%=90%
因此，你每次去找他算命，如果他說：
小夥子，你今年沒有桃花運，要2020年才有哦。
則：
你今年擁有桃花運的概率是90%。
但你只需要花5塊錢。
寒木釣萌老師
拍案稱奇的冰雹猜想證明。
這個猜想就是個數字遊戲。數字跳躍碰找4的n次方。因為猜想的框架結構為：奇數（x3+1）÷2。
所以會形成：4=1X3+1，會形一個本質結構規律。4²的次方等於16，16-1=15，15÷3=5，這是第一個一步迴歸數。
4³的次方是64，64-1=63，63÷3=21，這是第二個一步迴歸數。
4的4次方是256，256-1=255，255÷3=85，這是第三個一步迴歸數，以此類推到無限。
用4的N次方。寫入公式為：（4n²-1）÷3。
它還有另一個性質，用以上公式會形成下列結構：
4x1+1=5=4¹+1。
4x5+1=21=4²+4¹+1。
4x21+1=85=4³+4²+4¹+1。
4x85+1=341=4⁴+4³+4²+4¹+1。
4x341+1=1365=4⁵+4⁴+4³+4²+4¹+1。
4x1365+1=5461=4⁶+4⁵+4⁴+4³+4²+4¹+1。
4x5461+1=21845=4⁷+4⁶+4⁵+4⁴+4³+4²+4¹+1。
以此類推到無限。
我們知道猜想的規則是奇數x3+1=偶數，偶數÷2=奇數，來回循環。所以我們可以證明一下。把所有的無限奇數x3=3的倍數，+1=÷3=餘1的偶數，它們4+6=10. 10+6=16。
4.10.16.22.28.34.40.46.52.58.64.……。下去你會發現4n次方都在這些當中，這佔自然數的1/6，把這些x3+1的偶數÷2會有兩種結果，一種是偶數，一種是奇數，各一出一。奇數又有種結果，就是它們都是÷3餘2的數。把÷2的偶數再÷2，就是÷3餘1的數，來回循環，為什麼會這樣，是因為餘1數x2=餘2數，而餘2的偶數÷2=餘1數。
因為冰雹猜想本質就是數字遊戲，奇數x3+1=偶數，也就是膨脹性質，它是一次一次的，偶數÷2條件合適可以連續÷2，所以是÷2是收縮的性質。
奇數x3+1是跳躍，+1是找4n次方，因為每個奇數（x3+1）÷2的路線是固定的。循環次數也是固定的。所以這個猜想的等式是成立的，不存在反例，只是每個奇數的起點位置不同，確定了循環的次數與形成時間的長度。
那麼我們找一下4n次方，我們按照解刨倒推法一步一步來。4的n次方是
4.16.64.256.1024.4096.16384.65536……。無限下去，會發現都是-1÷3數，也是連續÷2可以歸1的數。把這些數字-1÷3。分別是
1.5.21.85.341.1365.5461.21845……。
因為÷3數是起點沒有上一層，所以能整除3的數不理它。其它的數都是猜想第一個一步迴歸數，上面的奇數都是x4+1的連續數，可以發現有被3整除數，有除3餘1數，有除3餘2數。除3數不能被做為迴歸數，餘1數（x4-1）÷3=第二個迴歸數，餘2數（x2-1）÷3=是第二個迴歸數。讓我們試一試證明一下。（5x2-1）÷3=3 ，3是第一個迴歸數,但3沒有上一個迴歸數。用3x4+1=13.是5的第一個一步迴歸數，13x4+1=53. 是第二個5的第二個一步迴歸數，53x4+1=213. 213是可以被3數除的數，不做為迴歸數。213x4+1=853.是5的第三個一步迴歸數。853x4+1=3413.是5的第四個一步迴歸數。以此類推，有無限個5的一步迴歸數。
5的起點回歸數是3。用（5x2-1）÷3=3.因為3能被3整除.所以不能做為迴歸數。用3x4+1=13. 13是5的第一個迴歸數。用13x4-1=51.51÷3=17.所以17是13的第一個一步迴歸數,17x4+1=69.不能做為13的迴歸數,69x4+1=277. 是13的第二個一步迴歸數。277x4+1=1109.是13的第三個一步迴歸數。讓我們驗證一下：1109x3+1=3328÷2=1664÷2=832÷2=416÷2=208÷2=104÷2=52÷2=26÷2=13x3+1=40÷2=20÷2=10÷2=5x3+1=16÷2=8÷2=4÷2=2÷2=1。因為數字是無窮的，以樣本推整體。只要等式成立，就是正確的，和計算機計算大數是沒用的。
為什麼沒有反例，是因為等式成立。隨著數字增大，也只不過相對增加了步數的長度與時間。但再長的路也是有盡頭的，只是個時間問題。
在分成枝口後，在奇數中÷3只有三種性質：被3整除數，餘2數，餘1數，要想找出連續被3整數，餘2數，餘1數，就各x85，就是各個分枝口的位置。分枝都伸向無限，把這棵樹推展不來，就是所有奇數的位置，用（奇數x3+1）÷2就能從下圖知道為什麼每個數最終都能歸1。
述：因本人是體力民工，小學文化，業餘愛好數學，專業術語與數學規範數學符號書寫欠缺。望有識之士諒解！我叫趙生明，陝西省榆林市榆陽區劉千河鄉果園塌二組村民。開始研究是2018年4月左右到現在共用了三個多月的時間。書寫日期為2018年7月16日13點45分。
窺探數字結構
有關數學公式的證明很多，下面介紹幾個常見公式的巧妙證明過程。
（1）自然數的立方和=自然數之和的平方
上述等式的左邊為自然數的立方和，等式的右邊為自然數之和的平方。雖然通過分別推導出左右兩邊的計算公式就能證明該等式，但通過如下的圖形很直觀地就能證明上式：
把自然數立方和的圖形平鋪看來，其中的正方體數量剛好是就是自然數之和的平方，所以就能證明上述等式成立。
（2）勾股定理
這個公式為勾股定理，我國在商朝時就已經發現了直角三角形的一個特例——勾三股四玄五，後來的中外數學家通過各種方法來證明這個公式。下面要介紹的是加菲爾德證法的變形方法，這可以很容易證明勾股定理：
大正方形的面積為：
(a+b)^2
大正方形的面積也等於四個三角形的面積以及小正方形的面積之和：
4×(1/2ab)+c^2
由此可得下式：
(a+b)^2=4×(1/2ab)+c^2
化簡之後，即可得勾股定理：
a^2+b^2=c^2
（3）歐拉恆等式
這個公式就是著名的歐拉恆等式，它被譽為最美的數學公式。一個十分簡單的公式就結合了數學中最重要的常數——自然常數e、虛數單位i、圓周率π、自然數1、自然數0，以及最重要的數學符號——加號+、等號=。
歐拉恆等式源自於如下的歐拉公式：
對歐拉公式的左邊e^(iθ)進行泰勒展開可得：
再分別對cosθ和sinθ進行泰勒展開可得：
顯然，cosθ與sinθ之和剛好等於e^(iθ)，由此就能證明歐拉公式成立。再令歐拉公式中的θ=π，即可得下式：
e^(iπ)=-1+0
對上式進行移項，最終就可以推導出歐拉恆等式的常見形式。
（4）證明圓周率是無理數
圓周率是無理數的證明方法不少，下面要介紹的是數學家Ivan M. Niven給出的反證法，這種方法簡單而又巧妙。
倘若π為有理數，必然存在整數a和b，使得下式成立：
π=a/b
構造如下兩個函數：
其中n為正整數。
顯然，f^k(0)、f^k(π)、F(0)以及F(π)都為整數。而且f(x)和f^k(x)都會滿足f(x)=f(π-x)，它們都在x=0以及x=π處可積。
再構造函數G(x)=F'(x)sinx-F(x)cosx，並對其進行求導可得：
對上式兩邊從0到π都進行積分可得下式：
因為F(0)以及F(π)都為整數，故F(π)+F(0)亦是整數。當x∈(0, π)時，顯然有f(x)>0且sinx>0，故f(x)sinx>0，所以F(π)+F(0)>0，並且f(x)sinx在[0, π]上的積分為正整數。
當x∈(0, π)時，顯然有a-bx
科學認識論
也算是對幾十年數學學習的一個小結吧。
列一下從小到大給予我震撼的數學證明：
四年級：證明√2是無理數（亞里士多德），第一次接觸反證法。另一類似的題是歐幾里得證明素數有無限個。
六年級：3*3*3的立方體可否只用5刀（每次可以重組）切成27個單位小立方體？答案是不能（因為中心的單位立方體的6個面都需要刀切），這是我第一次學習尋找數學問題中的“不動點”，或者說是“特徵值/函數”
初二（數競班）：任意階線性遞歸數列求通項。當時對這個“特徵方程”深感神秘，直到後來上大學才意識到這是微積分的基本應用。
高一：證明有理數和自然數一樣多，第一次接觸到集合論和“一一對應法則”。
高三上：儘管高聯拿到了省第一，但第二試的第二題只做出一半。這題本身不值一提，但當時讓我意識到自己的數學水平還停留在冷兵器時代：還沒有掌握“火藥”，即微積分思想。
高三下（集訓隊）：證明無理數比有理數多（類似的：無窮集合冪集>原集），被康托爾精妙的“對角線方法”折服。
大一：e的一切，罄竹難書的美妙！微積分也從此變得有趣。
大二：歐拉公式的推導，你無法不對歐拉的敏銳和深刻頂禮膜拜。
大三：古希臘三大尺規作圖問題不可解，五次以上方程沒有一般根式解。天才伽羅華！抽象代數也是我最喜歡的數學課之一。
入行工作後第一年：算術編碼理論，花一晚上看懂後大腦高潮了好久。
…
最近一次是幾年前，看到絕對反常識的banach-tarski定理的證明，太tm漂亮了！
其實還有很多極其精彩的數學證明，不過大多超出了我的知識範圍，只能不明覺厲。
帖木兒
拍案叫絕的證明過程確實有，在【我和你媽同時掉河裡你先救誰】的求證過程中，首先根據速度時間距離的關係，再通過年齡計算出肌肉的爆發力和滑動摩擦力，這樣就可以得出年輕女朋友的速度大於你媽，女朋友應該走在前面，
再從河岸傾斜度，算出女朋友在加速度下入水的提前量，所要考慮的重點是你女朋友的體重，如果骨感，入水速度更快。
你媽作為中年婦女，體重應該大於你女朋友，這就要有準確的近似值考慮，以便估計你女朋友和你媽之間的距離差，你媽在速度不變的情況下，到達你女朋友的落水點需要多長時間?
通過證明可得，你女朋友和你媽同時掉河裡，從理論上不存在，你女朋友首先不是個盲眼的，之所以掉河裡，只有一種可能，你女朋友一路低頭摳手機，在撩前任，私約，這種情況下，不可能和你媽並肩而行。
由此可知，你媽掉河裡，為救你女朋友，早把生死置之度外。你女朋友說成你媽和她同時掉河裡，是推卸責任，不懂感恩。
你在通過反覆證明之後，應該作出正確選擇，你媽入水較晚，離岸最近，是否捨近求遠?
應該以最快速度，奮力把你媽推向岸邊，讓你媽上岸找到你女朋友的手機，把女朋友營救之後，立刻查看聊天記錄，一切水落石出，起訴你女朋友前任故意綠人罪，或者連女朋友一起起訴，告她與前任合謀害死你親媽。
一切會有的，一切會發生的，掉河裡就掉河裡唄，問君能有幾多愁，恰似一江春水向東流，反正是離不開水，既然是水命，就水水算啦，還指望一個答案能讓你女朋友海枯石爛咋滴?
