精確性和確定性是數學陳述的鮮明標誌，這是公認的。但對於“數學是發明還是發現”這個問題，人們就有了分歧，而這種爭論本該是

哲學或政治領域的特質。

“發現”這種說法暗示了在真實或超自然的世間存在著“前世”，而“發明”這種說法涉及人類心智，無論指個人的心智，還是指整個人類的心智。這個問題是一個跨學科的課題，涵蓋了哲學、數學、認知科學乃至人類學，絕不是數學能獨立解決的——至少不能直接解決。

有的學者是柏拉圖主義者（發現論者），有的學者是形式主義者（發明論者）。也有觀點認為這個問題本身就是個偽命題，數學既是發現，又是發明；一般情況，概念是發明的，定理是發現的。這個回答的最後，會以歐幾里得的黃金分割率為例，來闡釋為什麼說數學是發明和發現的結合。

觀點的一方：數學是發現

1989年，法國數學家阿蘭·孔涅（Alain Connes），這位贏得了數學界最負盛名的兩項榮譽（1982年的菲爾茲獎和2001年的克拉夫德獎）的數學家清晰地表達了自己的觀點。

根據我的觀察，質數（僅能被1和自己整除的自然數）組成的世界，遠比我們周圍的物質世界穩定。數學家的工作可以與探險家發現世界相媲美。他們都是從經歷中發現基本事實。舉例來說，通過簡單的計算，我們發現質數的序列似乎永無窮盡。那麼，數學家的任務就是證明存在無窮多的質數，當然，這是歐幾里得提出的一個古老結論。這個論證中最有趣的一個推論就是，如果某一天有人宣稱他發現了最大的質數，很容易就能證明他是錯的。對任何其他論證來說同樣如此。由此可見，我們面對的數學現實和物理現實一樣無可爭議。^[1]

知名而多產的數學科普作家馬丁·加德納（Martin Gardner）也支持“數學是一種發現”的觀點。對他來說，無論人類認識與否，數與數學都是獨立於人類認知存在的，這一點毫無疑問。他曾風趣地評論：“如果森林中有2只恐龍魚另外2只恐龍相遇，不管周圍是否有人類在觀察，那兒都會有4只恐龍。但是，愚蠢的熊卻不會知道。”

^[2]正如孔涅所強調的，“數學是一種發現”（這也是柏拉圖的看法）的支持者認為，一旦人們理解了某個數學概念，如自然數1,2,3,4，…，那麼就會面臨一些無可爭議的事實，如

，這與人們如何看待它們的關係並無關聯。至少，這會給我們留下一種印象：我們接觸的就是存在的真實世界。

觀點的另一方：數學是發明

當然，並不是所有人都這麼認為。在為孔涅的一本書撰寫評論文章時，英國數學家邁克爾·阿蒂亞爵士（Michael Atiyah，他在1966年獲得了菲爾茲獎，在2004年獲得阿貝爾獎）寫道：

每一位數學家都會支持孔涅。我們都感到整數、圓在某種抽象意義上是真實存在的，並且柏拉圖的觀點十分有吸引力。但是，我們真的能支持它嗎？假如宇宙是一維空間，或者甚至是離散的，很難想象幾何學在這個一維空間中是如何孕育發展的。對人類來說，我們對整數似乎更在行，計數是真正的原始概念。但是想象一下，如果文明不是出現在人類之中，而是出現在潛藏於太平洋深處、獨居並與世隔絕的水母之中，情況又會如何？水母不會有個體的體驗，只會感覺到周圍的水。運動、溫度和壓力將給它提供基本的感知經驗。在這樣的環境中，就不會出現離散的概念，也不需要計數。

阿蒂亞確信：“通過理想化和抽象物理世界中的那些基本要素，人類創造了數學。”^[3] 語言學家喬治·萊考夫（George Lakoff）和心理學家拉斐爾·努涅斯（Rafael Núñez）也持同樣的觀點。二人在合著的《數學從哪裡來》一書中總結道：“數學是人類天性的一部分，它源於我們的身體、大腦，以及我們在這個世界中每天的經歷。”

阿蒂亞、萊考夫和努涅斯的觀點又引出了另一個有趣的問題：如果數學完全是人類發明，那麼它真的具有普遍性嗎？想象一下，假如外星文明真的存在，它們是否也會發明出與我們相同的數學呢？卡爾·薩根（Carl Sagan，1934-1996）曾認為，答案是肯定的。當他在《宇宙》一書中探討智能文明將哪種訊息傳播到外空間時，薩根提出：“任何自然的物理進程都不可能只傳播僅包含質數的無線電信息。假設接收到這樣的信息，我們就能推斷出那裡存在一個至少喜歡質數的文明。”但這如何確定呢？

數學物理學家史蒂芬·沃爾夫拉姆（Stephen Wolfram）在《一門新科學》一書中提到，他認為這種稱為“人類的數學”的智慧，也許僅代表盛開在數學之樹上的眾多不同“花朵”中的一朵。假如不使用基於數學公式的法則來描繪自然的話，人類也可以使用其他類型的法則，比如，在簡單的計算機程序中所體現的法則。

有些分子生物學家和認知學家基於對大腦功能的研究提出了另外一種觀點：數學與語言的區別不大。換句話說，無數世代的人類在注意自己的雙手、雙眼、兩腿後，數字“2”的抽象定義就慢慢形成了。同樣，“鳥”這個字的概念也是這樣形成的——人們逐漸認識到，這個字代表有兩隻翅膀，並能夠飛起來的動物。正如發過神經系統學家讓-皮埃爾·尚熱（Jean-Pierre Changeux）所說的：“對我而言，公理化方法（歐幾里得幾何學就建立在幾條公理之上）就是與使用大腦相關的腦功能的表現”^[4] 但是，如果數學算作另外一種語言的話，我們又該如何解釋，孩子為何在學習語言時相對比較輕鬆，而相當一部分孩子在學習數學時卻倍感吃力呢？

黃金分割率、幾何學與數學的兩重性

在歐幾里得那本不朽名著《幾何原本》的第6 卷中，有一個定義是關於如何把一條線段從特定方式分為兩條不等線段的。一個更早的定義是關於面積的，出現在第2 卷中。歐幾里得提出，線段AB被點C 分為兩段，如果以C 為端點的這兩條線段的長度之比（AC/CB），與整個線段長度除以較長線段長度的值（AB/AC）相等，那麼整條線段的分割比例就符合“中末比”。換句話說，如果AC/CB =AB/AC，那麼這一比例就稱為中末比。在19 世紀，這一比例有了更廣為人知的名字——“黃金分割率”。黃金分割率可以用一個非常簡單的代數表達式表示：如

你也許要問，歐幾里得為什麼要如此費事地定義一種線段的分割方式，還專門給這個比例起了一個名字？畢竟，我們有無數種方式來分割一條線段。在從畢達哥拉斯學派和柏拉圖學派傳承下來的神秘文化中，我們或許能找到答案。畢達哥拉斯學派痴迷於數的研究。他們認為奇數代表男性和善，同時帶有偏見地認為偶數代表女性和惡。他們對數5 有特殊的興趣，因為5 是2 和3 的和，而3 是第一個奇數（男性），2 是第一個偶數（女性）。（1 並沒有被認為是一個數，而被當作所有數的源頭。）因此，在畢達哥拉斯學派眼中，5 是愛情和婚姻的化身。他們還用五角星作為彼此之間兄弟情誼的象徵。這是黃金分割率第一次出現在歷史上。

如果你作一個正五角星，並仔細測量其中三角形任意一長邊與底邊的比值，你就會發現，這兩條邊之比恰好等於黃金分割率（上圖中的a/b）。同樣，中間的正五邊形的對角線與其邊之比，也等於黃金分割率（下圖中的c/d）。事實上，只用直尺和圓規就可以輕鬆地畫出這樣一個正五角星（這種尺規作圖畫出正五角星的方法在古希臘時代就有記錄）。在作圖過程中，你需要把一條線段分成兩段，而這個分割點就滿足黃金分割。

在畢達哥拉斯之後，柏拉圖又賦予黃金分割率新的神秘含義。古希臘人相信，宇宙中的所有物質都是由4 種基本元素組成——土、火、空氣和水。在對話錄《蒂邁歐篇》中，柏拉圖用5 種符合對稱規則的多面體來解釋物質的結構，它們通常被稱為“柏拉圖多面體”（platonic solids）。這5 種凸面立體是正四面體、立方體（正六面體）、正八面體、正十二面體和正二十面體。這些多面體是僅有的各面都是正多邊形（針對每一個單獨的多面體而言）且其面積都相等的多面體，同時，每個多面體上的所有頂點都在一個球面上。柏拉圖把其中4 個多面體與構成宇宙的4 種基本元素聯繫在了一起。例如，他認為土是立方體，火是正四面體，氣是正八面體，水是正二十面體。關於正十二面體（下圖的d圖形），柏拉圖在《蒂邁歐篇》中寫道：“對於剩下的第5 種複合圖形，上帝用它來代表全部，並給它繡上精美的圖案。”也就是說，在柏拉圖眼中，正十二面體代表整個宇宙。請注意，正十二面體的每一個面處處都有黃金分割率的影子，它的體積和表面積都可以用黃金分割率的公式來表達——正二十面體也是如此。

歷史表明，通過反覆實驗和試錯，畢達哥拉斯學派及其後來者發現了特定幾何圖形的構成方式。在他們看來，這些幾何圖形代表著一些重要的概念，例如愛和整個宇宙。毫無疑問，正是畢達哥拉斯學派和歐幾里得（他證明了這一教義）“發明”了蘊含在這些結構之中的黃金分割率的概念，併為它起了名字。與其他比例不同，1.618... 這個數激發了眾人的熱情，成了一項豐富的數學研究的核心。即使在今天，我們仍然能在一些意想不到的地方發現它的蹤跡。

例如，在歐幾里得時代的兩千年之後，德國天文學家約翰尼斯·開普勒發現在斐波那契數列中，黃金分割率竟然也神秘地顯現了。斐波那契數列是指數列1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …從第3 個數開始，數列中每一個數都是它之前的兩個數之和，例如，2 ＝ 1 ＋ 1，3 ＝ 1 ＋ 2，5 ＝ 2 ＋ 3，等等。如果用這個數列中的一個數除以它前面的那個數， 例如，144÷89，233÷144，其結果在黃金分割率附近波動。而且，隨著數列的增加，這個值會越來越接近黃金分割率。比如，如果只取小數點之後6 位的話，斐波那契數列的上述除法運算可得到如下結果：144÷89 ＝1.617978，233÷144 = 1.618056，377÷233 ＝ 1.618026，等等。

如今，人們通過觀察發現，在一些植物葉片的排列分佈方式（術語叫“葉序”）和部分鋁合金晶體結構中，都存在斐波那契數列和黃金分割率的影子。

為什麼把歐幾里得定義的黃金分割概念視為一種發明？這是因為歐幾里得憑藉富有創意的思想，把這個比例挑選了出來，進行了詳細的分析，併成功地吸引了其他數學家的注意。不過值得注意的是，古代中國沒有明確闡釋黃金分割率的概念，目前發現的中國古代數學文獻中基本上沒有對它的具體描述。同樣，古印度也沒有發明黃金分割率的概念，只是在研究三角學的一些定理時隱約提到了這個比例。

許多例子可以證明，“數學是發現還是發明”這個問題其實是一個偽命題。數學是發明和發現的結合！作為一種概念，歐幾里得幾何學中的公理是發明，正如國際象棋的規則是人類的發明一樣。公理被人類發明的各種概念不斷補充，如三角形、平行四邊形、橢圓、黃金分割率等。但從總體而言，歐幾里得的幾何學定理又都是發現，它們是連接不同概念的橋樑。在某些情況下，證明催生了定理——數學家仔細研究什麼是能證明的，並從中總結、推演出定理。還有另一種情況，正如阿基米德在《方法論》中所描述的，數學家首先找出自己感興趣的某個問題的答案，之後再尋找證明方法。

一般情況下，概念是被髮明的。比如，質數這一基本概念是被數學家發明的，但是，關於質數的相關定理卻是人們的發現。^[5]在古巴比倫、古埃及和古代中國，當時的數學家們儘管已經發展出了先進的數學理論，但他們從未提出過質數的概念。我們能說，他們只是沒有“發現”質數嗎？這就好比說，英國沒有“發現”唯一的、彙編成法典的憲章。正如一個國家在沒有憲法時也能正常運轉一樣，沒有質數的概念，複雜的數學也能不斷髮展。在歷史上，數學的確也是這樣發展的！

是什麼原因促使古希臘人發明了“公理”和“質數”等概念？我們無法確定。但我們可以猜想，這要歸功於他們堅持不懈地探索宇宙基本結構的努力。質數是數的基石，正如原子是物質構成的基礎。同樣，公理猶如一口源泉，所有的幾何真理都從中源源不斷地噴湧而出。正十二面體被視為代表了整個宇宙，而正是黃金分割率的概念引入了這一象徵。

這些討論揭露了數學又一個有趣的特性：數學是人類文明的重要組成部分。在古希臘人發明了公理方法以後，西方所有後續的數學理論都遵循這一方法，並接受了同樣的哲學和實踐方式。人類學家萊斯利·懷特（Leslie A. White，1900—1975）曾試圖概括、總結數學中體現的人類文明，他說：“假如牛頓是在霍屯督部落（南非的一個原始部落）長大成人的，他的計算能力可能只和霍屯督人一樣。”

^[6]許多數學發現（如紐結不變量），甚至一些意義重大的數學發明（如微積分），都是由不同數學家在獨立的工作中實現的，這恐怕都源於數學體現出的文化複雜性。

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這既是一本經典的思想史鉅著，又是一本妙趣橫生的故事書，獻給所有喜愛數學、歷史和哲學的讀者。

數學是人類的發明還是發現？數學貌似能解釋宇宙萬物，而這種無處不在的威力究竟從何而來？從信奉“萬物皆數”的畢達哥拉斯、刀斧之下依然從容演算的阿基米德，到探索宇宙奧秘的近代科學十足伽利略和剔除“我思，故我在”的解析幾何之父笛卡爾，再到反對柏拉圖主義的現代數學家阿蒂亞，數學思想在千百年來人類的深層思考中不斷演變、一脈相承。這些偉大科學家的傳奇經歷、重要貢獻及其在數學史上的遠見卓識，繪成一幅斑斕的數學思想史畫卷，在作者的妙筆下緩緩舒展。

關於數學的本質，數學與物質世界、與人類思維之間的微妙關係，都將在這本書裡得到充分探討，熱愛數學的朋友，不要錯過。

參考

1. ^尚熱、孔涅，1995年。
2. ^加德納，2003年。
3. ^阿蒂亞，1995年。
4. ^尚熱、孔涅，1995年。
5. ^關於這一思想請參閱赫什（2000）引用的耶胡達·拉夫（Yehuda Rav）的一篇文章。
6. ^懷特，1947年。