度量單位的本質及小學數學教學

度量單位是計量事物標準量的名稱。幾乎所有度量單位的產生和發展都經歷了漫長的時間，承載了度量單位由多元到統一，由粗略到精細的發展過程。

度量是數學的本質，是人創造出來的數學語言，是人認識、理解和表達現實世界的工具，正如龐加萊所論述的那樣：“如果沒有測量空間的工具，我們便不能構造空間。”

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本文選自︱《數學教育學報》2018.12（有刪減）

作者︱娜仁格日樂、史寧中

度量可以是因人而異的，度量單位就是把不同個體的度量方法標準化，是為了對度量的結果進行傳播和交流的需要。因此，度量單位的制定必須能夠表達度量的本質，方法科學、表達準確、相對穩定，能夠得到人們的廣泛共識。

無論度量單位的稱謂如何，人們都是用 1 來表示一個度量單位，這是數學研究最為基本的概念。雖然度量單位都是人規定，但就度量單位的形成過程而言，大體可以分為兩類：

一類是通過抽象得到的，是人思維的結果；另一類是藉助工具得到的，是人實踐的結果。

形成過程的不同必然蘊含著思維形式的不同，因此，對於數學教育、特別是對小學數學教育而言，這樣劃分是必要的。這裡分別討論這兩類度量單位的形成過程以及其中蘊含的思維形式，然後再討論相應的小學數學教學。

01

通過抽象 得到的度量單位

從遠古時代開始，為了日常生活和生產實踐的需要，人們創造出一些語言用來表達事物量的多少，比如，狩獵收穫的多少，祭祀犧牲的多少，等等。

在古代中國，這樣的表達可以追溯到商代的甲骨文。雖然在這樣的表達中出現了數字，但這些數字都依附於具體的現實背景，因為在數字的後面都綴有特殊的量詞，可以把這樣的量詞看作度量單位的稱謂。

在現代漢語中，一些後綴量詞被根深蒂固地保留下來，比如，“一粒米、兩條魚、三隻雞、四個蛋、五匹馬、六頭牛、七張紙、八頂帽子、九件衣服、十條褲子”，等等。

可以看到，這樣的數字還不完全具有數字符號的功能： 因為一粒米與一頭牛是不可同日而語的，雖然都是數字 1 的具體體現；這樣的表達是無法進行運算的，因為無法理解一粒米加一頭牛得到的是什麼。

數學研究的對象應當是更為一般的抽象，這就涉及到數量度量的本質，這個本質就是度量數量的多與少，如前所述，這個抽象過程依賴於人對數量多少感知的本能。這個抽象過程最終導致十進制自然數的發明，十進制大概與人有 10 個手指頭有關。

這個抽象的結果， 在形式上是捨去了度量單位的稱謂，在實質上是脫離了數量所依賴的具體的現實背景。數學抽象的本質就是捨去事物的現實背景，更確切地，數學抽象就是捨棄事物的一切物理屬性。

表示十進制自然數的關鍵是 10 個符號和數位，其中的度量單位是 1，因此，自然數是一個一個多起來的，皮亞諾就是依據這個原則建立了自然數公理體系。

需要特別強調的是，雖然在教科書中是用加法（相反數）或者減法定義負整數，但中國漢代的數學著作《九章算術》表明，負整數與自然數一樣，也是人們對數量抽象的結果，與對應正整數之間的關係是： 數量相等，意義相反。

基於度量單位，那麼 5 就是 5 個 1，50 就是 50 個 1。因為是十進制，因此自然數的數位依次相差 10 倍，可以用現代數學語言表示為 10⁴，10³，10²，10¹，10⁰，10^-1，10^-2，10^-3，10^-4

， 在一般的意義上，可以把數位也看作度量單位。

比如，人們通常把 5000 讀作 5 千，這是 5 個 10³ 的語言表述；把0.05 看作 5 個 0.01，這是對 5 個 10^-2 的理解。這樣認識度量單位的方法，對於分數度量單位的理解是非常重要的。

雖然分數是數，被稱為有理數，但最初的分數是為了表達兩個自然數之間的關係，主要表達兩種關係，一種關係是整體的等分，另一種關係是兩個線段長度的比。

關於整體等分所表達的分數，分數單位的表達形式可以在古埃及象形文字中找到，是在表達整數的符號上面畫一個橢圓的符號，比如，在表示 4 的符號上面加上一個橢圓就表示分數單位 1／4。特別是在古埃及，幾乎所有的分數都是通過分數單位和的形式進行表達的。

之所以說這樣的分數是整體等分的表達，還有一個重要的理由，是因為古埃及人是這樣表述分數的，比如 3 份，他們稱 3／3 是分數的第一個數，2／3 是分數的第二個數，1／3 是分數的第三個數，這顯然是把整體 1 分成 3 等份的表述。

這樣的理解延續至今，現代英語仍然用第三（third）、第四（fourth）、第五（fifth）等順序用語表達分數單位。與整數的表達一樣，基於分數單位，3／5表示的就是 3 個 1／5。

兩個線段長度比所表達的分數，為了用幾何的方法解釋無理數。無理數的問題困擾著古希臘的學者，因為包括畢達哥拉斯在內的古希臘學者認為，可以用整數表達世間萬物， 可是無理數有悖於這種學說。歐幾里得在《原理》中定義了這種形式的分數：

用長度單位 1 分別度量兩個線段的長度，如果線段 a 和 b 是兩個可以公度的量，公度的量分別是 n 和 m，那麼這兩個線段的長度就分別是 n 和 m，並且比值 n : m（或者 n／m）就對應於一個有理數；如果這兩個線段不可以公度，那麼得到的就是無理數，並且用大於或小於號表示無理數與有理數的關係。

據說這種思想來源於古希臘學者歐多克斯，一個不爭的事實是，這樣的思想孕育出了戴德金用有理數的分割定義實數的方法。

後來，人們通過四則運算和極限運算把數由自然數擴充到實數，但用以表達數的、抽象出來的度量單位沒有發生實質變化。

02

藉助工具 得到的度量單位

主要是指基於事物的背景構建的度量單位，這樣的度量單位始終含有表達事物背景指標的稱謂，例如，刻畫事物的重量、長度、能量、體積、溫度、速度，等等。這樣的度量單位不是抽象的結果，而是藉助工具制定的。這裡用長度單位的演變過程來分析這類度量單位的本質。

度量長度的本質是度量兩點間距離，如前所述，這樣的度量依賴的是人對距離遠近感知的本能，這樣的度量是需要參照物的。

人們最初度量距離的參照物都是人體自身的器官。在現今的日常生活中，這樣的度量仍然廣泛使用。

比如，在中國人們所說的“拃”就是古代中國的“尺”，指的是成年男人大拇指與中指之間的距離，如《孔子家語》中所說：“布手知尺，布指知寸。”還有一個度量單位是“咫”，指的是成年女人大拇指與中指之間的距離，成語“咫尺之間”說的是相差不大。

在西方的許多國家仍然把“英尺”作為度量單位，英文單詞是 foot 是腳的意思，指的是成年男子一隻腳的長度，由於腳的長度因人而異，16 世紀的德國人採用了一個折中的方法，某禮拜日把從教堂裡走出的 16 個成年男子集中，測量每人左腳的長度、加在一起取平均，定義這個平均數為英尺的單位長度，延續至今。

由此可見，這樣制定的長度單位是因人因地而異的，是無法進行傳播和交流的，因此長度單位的制定需要從多元走向統一。現在全世界統一使用的長度單位“米”源於法國，1790 年，法國科學家特別委員會提出建議，定義“米”為巴黎子午線全長的四千萬分之一。

為了使用方便，1889 年第一屆國際計量大會決定，把長度單位“米”固化，用一根相當於這個長度的、截面呈 X 型的鉑銥合金棒為“米”的基準，人們稱之為“米原器”，這是第一次在全世界範圍內確定的長度標準，現在這個“米原器”保存在巴黎國際計量局的地下室中。

隨著科學研究的逐漸深入，人們越來越需要非常精細的距離單位，因此長度單位的制定還需要從粗略走向精細。基於“路程=時間×速度”的公式，可以通過時間和速度定義長度單位。

根據愛因斯坦相對論的假設，光的速度是絕對的，因此，當人們能精確測定時間和光速以後，1967 年第十三屆國際度量衡大會，利用原子鐘原理對秒給出嚴格定義： 銫 133 輻射 9 192 631 770 個週期的時間間隔。 1983 年第十七屆國際計量大會通過定義： 米長度為光在真空中 1／299 792 458 秒所經過的距離。

這樣，人們就精細地定義了時間單位和距離單位。通過定義的過程可以看到，無論是古代還是現代，無論是粗略還是精細，這樣的度量單位的制定都是藉助工具的，因此，這樣的度量單位的表達都是具有量綱的。比如，刻畫時間的“秒”，刻畫距離的“米”，刻畫重量的“克”，刻畫速度的“米／秒”，等等。

03

相應的 小學數學教學

通過上面的論述可以看到，對於度量和度量單位的小學數學教學，應當注意到下面 3 個基本原則。

1 把握度量單位的數學功能和本質特徵

沒有度量就沒有數學，度量是人們認識數學，進而認識現實世界的基本工具和表達語言，是可以因人而異的。度量單位的確立是為了人們能夠對度量進行統一的表達和無歧義的交流，因此度量單位必須能夠揭示度量的本質，能夠得到人們的共識。

度量的本質在於表現事物某些指標的順序，比如： 數量的多少以及抽象出來的數的大小；距離的遠近；重量的輕重；速度的快慢。

2 把握度量單位的形成過程和表達形式

度量單位的形成大體都經歷了從多元到統一，從粗糙到精細的過程，這是為了日常生活的表達和科學研究的需要。雖然度量單位都是人規定的，但就形成過程而言，大體可以分為兩類： 一類是通過抽象得到的，是人思維的結果；另一類是藉助工具得到的，是人實踐的結果。

3 把握學生認知度量單位的先天本能和特殊能力

這裡特別強調，人之所以能夠進行度量，並且能夠對度量單位得到廣泛共識，是基於人的兩個先天本能，這就是對數量多少的感知和對距離遠近的感知。這兩個先天本能是學生學習數學、度量和度量單位的思維基礎，又因為人具有抽象和想象這兩種特殊能力，因此可以把兩個先天本能延伸到對事物某些指標順序的感知。

對於具體教學方法的設計而言，上述第二條基本原則是首要的，也就是說，首先要分析清楚所要教學的度量和度量單位是通過什麼形式得到的，進而可以採取不同的教學策略。在確定了教學策略以後，再合適地融入第一條和第三條基本原則。

第一條基本原則是為了明確教學過程的核心思想和基本框架，在教學過程中突出數學的本質。第三條基本原則強調注重學生認知過程，在教學過程中不僅要關注學生知識技能的掌握，還要關注學生數學素養的形成。

無論是採用什麼樣的教學策略，設計什麼樣的教學過程，最終的教學目標都是培養學生： 會用數學的眼睛看，會用數學的思維想，會用數學的語言說。