轉自：國家數學與交叉科學中心
文章來源：《安徽科技》2002 年第 10 期
驚聞丁石孫先生不幸離世，深表悲痛！丁先生是著名的數學家和教育家，對中國數學的發展做出了重要貢獻，是我們永遠學習的楷模和典範。今天，重新回憶丁先生的《數學的力量》，讓我們深深緬懷丁石孫先生。丁先生永垂不朽！
數學的力量
數學的作用不侷限於它是一門知識，更不僅僅是工具，在整個教育過程中，數學對人才的培養具有很重要的作用。哪個學科一旦與數學的某個問題掛鉤，往往就能夠得到一個飛躍的發展，這方面的例子很多。20 世紀 80 年代，Hauptmann 獲得諾貝爾化學獎，解決的是如何用 X 光確定晶體結構的問題。Hauptmann 曾經說過：我的化學水平就是在大學唸了半年普通化學，其他我不懂。實際上，他解決用 X 光確定晶體結構的問題主要靠的是數學。數學往往能夠對不同的學科起作用，但是，對什麼學科起作用，以什麼樣的方式起作用，並不是人們事先能夠預料的。
從科學發展來看，數學和許多學科都發生過密切的關係，數學的發展和許多學科的發展都起著相輔相成的作用——或者是數學的發展促進了其他學科的發展，或者是其他學科向數學提出了一些具體問題，反過來推動了數學的發展。
有人說，數學是科學的王后。這個說法很多數學家都不贊成。數學並不是孤立於其他學科高高在上的，而是和其他學科相輔相成，共同促進，共同發展的。把數學與其他學科的關係說成是一種夥伴關係也許更恰當一些。
從歷史的發展看，數學對於推動科學的發展起了什麼作用呢？
先來看看計算機設計思想的產生。大家知道，世界上第一臺計算機出現在 1946 年。計算機最早設計思想的提出可以追溯到 20 世紀初。1900 年，數學家 Hilbert 在世界第二次數學家大會上提出了 23 個問題———這件事學數學的人都知道。這 23 個問題一方面總結了 19 世紀數學的發展，同時指出了 20 世紀數學應該向哪些方面發展，對於 20 世紀的數學研究產生了很大影響。
在這 23 個問題中有一個問題是：有沒有一個方法，能夠判斷一個整係數的多元多項式組有沒有有理數解，或者有沒有整數解。按照數學的語言來說，就是能不能有個算法。這個問題引起了一部分數學家的注意，希望有一個明確的回答。但是，經過了 30 多年，人們逐漸發現這個算法是沒有的。在數學裡，要證明“有”在某種程度上比較容易，要證明有，你就要給出一個算法，用這個算法就能判斷。但是，你要說“沒有”，就需要說明什麼叫算法。可以說算法是很死的方法，當然這不是嚴格的數學語言，但人們通常可以理解。如果你要證明這樣的東西是不存在的，僅靠這樣理解還不行。所以，直到 1936 年前後，才有數學家給算法下了定義。
科學發展中常常會出現種奇怪的現象，那就是一個問題經過很多年不能解決，但到了某一個時候，同時好幾個人以不同的方式解決了這個問題。給算法下定義的問題也是如此。1936 年前後，有幾個人給出了算法的定義。其中有一種算法的定義，現在叫做 Turing 機器。Turing 機器是個理想的計算機，它已經比較接近現在計算機的設計思想。可以說 Turing 機的定義，就是後來的計算機設計思想的重要來源。從這裡可以看出，一開始提出來的是一個純數學的問題，根本沒想到設計計算機。但是你要解決這個問題就必須給算法下個定義。現在能發生這麼大作用的計算機，根源是一個數學問題，而且研究這個數學問題事先根本沒想到會產生這麼大影響。這個例子說明，從一個純數學問題出發進行研究，結果不僅解決了數學問題，而且對其他學科產生了重要影響。
又如“群論”。現在搞數學的都知道群是個什麼概念。但群的定義的出現，是 20 世紀 50 年代的事，最早是從解方程出來的。大家知道解一元二次多項式，它的解是所謂根號，這個問題大約在 2000 年前人們就知道，大家已在初等數學中學過。這裡有一個有趣的過程：要把根通過係數表達出來。二次方程解決了，很容易就會想到三次怎麼樣，就是一元二次方程有沒有類似的公式。差不多到 15 世紀，二次方程就解出來了，那個公式就非常複雜了。不久解四次方程的公式也出來了。數學家有個癖好，就老想推廣，既然二次的公式有了，三次的公式有了，四次的公式也有了，那麼五次怎麼樣？大家就想五次也應該有，可是沒想到在五次方程這個問題上遇到了很大的問題，差不多經過了幾百年，一直到 19 世紀開始都沒能解決這個問題。19 世紀 30 年代，法國有個叫 Galois 的年輕數學家，就提出了一個 Galois 理論：就是他給出了一個方法，能夠判定多少次方程的根能夠用係數表達出來。所謂表達出來，就是用加減乘除和開方（不一定開平方）表達出來。這樣的話，就提出了群的概念，這個問題最終是用群的方法解決的。開始這個結果被送到法國科學院，科學院裡一個很重要的科學家認為是胡說八道，所以就一直沒人理睬。一直到 19 世紀 50 年代才正式發表出來，這樣群的概念就提出來了。Galois 的這個結果在 20 年之後才得到承認。
群的概念純粹是從一個數學問題提出，但提出之後，首先用來解決的是化合物中晶體究竟有幾種的問題。在 19 世紀末至 20 世紀初，俄國的化學家就利用群的概念解決了晶體結構有多少種。群的概念實際上是對稱性的一個很好的度量，可以解決對稱性用什麼來度量，也就是它的變換群是什麼結構，有多少。這又是一個純粹從數學裡提出的問題，但用處遠遠超出了數學的例子。數學中這樣的例子還可以舉出很多。
下面這個例子，說明了實際的需要是怎樣促進數學的發展的。第二次世界大戰時，德國的空軍力量很強，飛機數量多，質量也好。為了解決如何以處於劣勢的空軍打敗德國空軍的問題，美國找了一批數學家，馮・諾依曼是其中之一。結果馮・諾依曼通過研究這個問題發現了博弈論。近幾十年來，博弈論很重要的一個用途是用來研究經濟數學，它已發展成為經濟數學不可缺少的基礎。
數學研究的對象究竟是什麼呢？這個問題很不容易說清楚。
過去說的數學的定義是恩格斯在《自然辯證法》中提出來的，他說數學是研究客觀世界的數量關係和空間形式的。恩格斯這個定義是 19 世紀提出來的，隨著 20 世紀數學的發展，很多東西用這個定義概括不了。說到數量關係，就是說數學是研究數的運算，但隨著數學的發展，數學運算的對象遠遠超出了數。譬如群論，它運算的對象是群元素。甚至還有其他的，可以說它與運算毫無關係，所以，說數學是研究數量關係，就已經不夠了。還有被當時理解為客觀世界的空間形式，就是通常說的三維空間。但是，幾何學研究裡已經遠遠超出了三維，涉及到四維、五維、多維，甚至無數維。所以如果再拿 19 世紀的定義來概括數學就顯得不夠。
如何給數學下一個定義呢？到現在為止還沒有一個定義令人滿意。這也說明數學的定義很難下。比如有人提出來，數學是研究量的，把“數”字去掉，他說有“數”呢，就顯得太死了，數就是整數、分數。那麼什麼叫量呢？所謂量是一個哲學概念。現在有人說數學研究的是秩序，也就是說研究數學的目的是為了給世界以秩序，這種說法不是數學語言。想想也有點道理，但是也說不太清楚。從這裡可以看出一條，因為數學的研究對象是抽象的，數學與其他的自然科學和社會科學不一樣，這些學科有非常具體的對象，而數學沒有。數學之所以既能用到自然科學，又能用到社會科學，甚至人文科學，就是因為它是抽象的。數學研究對象的抽象性首先有一條，就是能夠訓練人們一種思維方法——抽象思維方法。數學裡即使從自然數開始，就已經是非常抽象的概念了，要經過很多層抽象才能夠得出數的概念。所以，歷史上經過了很長的時間，多數和單數才被人們區分開來。只要研究了數學發展史，就會發現，數的概念的形成是很不容易的。所以，學數學可以訓練人的抽象思維能力。
抽象這種思想方法為什麼這麼重要呢？因為人們要把握住事物的本質，就必須去掉很多不重要的東西，要捨棄很多非本質的東西，就必須通過抽象的思維方式解決。抽象的思想方法對於研究科學，甚至處理日常生活出現的問題都是重要的。如果沒有抽象的能力，就不容易分清究竟現在要解決的是什麼問題。這是數學突出的特點，即它的抽象性。數學的抽象性使得數學可以廣泛地應用於很多方面，即使是完全不同的方面。
第二個特點，因為數學的抽象性，所以對數學對象的定義必須講得非常清楚。而其他學科對定義的要求就不太一樣，一般可以大概描述一下那是個什麼東西，聽的人就能夠明白。可是數學因為它的對象抽象，描述是不行的，必須有嚴格的定義。數學裡定義非常重要，這一點大家都能體會到。我在教學中就發現，其他系的老師到數學系講課，往往遇到一個很大的困難。因為經過一段數學學習，學生什麼都問定義，比如物理系的教師來講課，他講到“力”，學生就要求給“力”下定義，這非常困難。老師很難用幾句話把“力”刻畫清楚。不像數學裡講“圓”，就是從一點等距離的軌跡，說得很清楚。
化學裡很多東西也都可以通過描述大家就能懂，並且很清楚，不需要下定義。數學為什麼對定義有這麼嚴格的要求？就因為它的對象抽象，如果不通過定義把它界定清楚，就沒法討論。所以，數學裡要求對概念的描述非常準確。我經常開玩笑說，學數學的人是非常笨的，他聽的東西，只要那個定義沒說清楚，他就聽不懂。在這個意義上說，有它的好處，也有它的壞處。壞處就是，什麼都要問定義，也會有問題，並不是所有的東西都可以下定義。所以，數學的第二個特點就是它要求對概念非常準確地刻畫。
數學的第三個特點是它的邏輯的嚴格性。因為它是抽象的，所以它的展開只能靠邏輯，這一點對人們說來也是非常重要的訓練，這可以從平面幾何來理解。學了平面幾何究竟起什麼作用？年輕的時候，也就是念了大學的數學以後，我就宣稱平面幾何沒有用。20 世紀 50 年代，我參加過中學數學的教學改革，我經常說平面幾何應該取消。當過幾年教員以後，我就發現學過平面幾何與沒有學過平面幾何的學生有一點不一樣，就是如果要證明一個問題，學過平面幾何的學生很容易接受，沒有學過平面幾何的學生接受就比較困難。“文革”期間的學生，如果講證明三角形三個角之和等於 180 度，他們很多人就會提出來，這麼簡單的問題還需要證明嗎？拿量角器量一下不就行了，搞得我們的教員啼笑皆非。這就說明，邏輯思維的能力是需要通過一些具體的東西來培養的，平面幾何就是培養人們邏輯思維能力的很好的媒介。
數學課有這麼三個特點。通過學習數學，能夠獲得很好的思維習慣和思維方法，在無形中會對人們起作用。數學與其他學科的關係不光是互相促進，重要的一點是，數學給人的不只是知識，而且是思維方法，數學實際上是文化的一部分。數學是理性和思維的典型，數學的上述三個特點都是關於理性思維的。
數學還是文化的一部分。在中國的傳統文化裡，理性思維是不太受重視的。有人舉例說，文藝復興以後，西方很多哲學家都喜歡搞哲學體系，這是他們的習慣。這個習慣好還是不好，另當別論。中國就很不相同，中國很重要的典籍《論語》是語錄體。裡邊很多話是警句，把要點指出來，並沒有論述，也不需要論述，你一聽就有所體會。這就反映了中國的思維習慣。中國傳統的數學書有個特點，就是裡面都是例子。比如數學裡很重要的理論孫子剩餘定理，在中國數學書裡孫子剩餘定理就是告訴你三三數之餘幾，五五數之餘幾，七七數之餘幾，它編了個口訣，根據這個口訣一算，結果就出來了。它既沒有證明，也沒有形成一個體系，這是中國數學的一個特點，也是中國文化的一個特點。
數學是文化的一部分，數學中體現的是一種思維的模式，數學學習也是訓練人的邏輯思維能力的一種重要方式。過去我們在教學改革中曾經提出，通過上邏輯課直接獲得邏輯思維能力，在中學還專門開了形式邏輯課，但最後證明效果很差。關於邏輯思維的一些規律講了半天學生也聽不懂，更不會用。後來才承認人的邏輯思維能力是不能通過上邏輯課來培養的。平面幾何最大的好處，是它的內容非常直觀，通過平面幾何這個載體可以有效地培養人的邏輯思維能力。數學理論邏輯非常嚴密，人們無法把邏輯從具體內容中抽出來單獨講，這樣誰也聽不懂，也學不會。通過數學的學習，邏輯思維的能力慢慢就提高了。數學是文化的一部分，通過數學的學習，可以培養人的能力，也可以提高人的素質。
數學知識可以分兩種，一種是比較基礎的，一定要學通；還有一種屬於提高的，這些等到要用的時候再學還來得及。比如十幾年前，大家都感到計算機的用途前景廣闊，於是就學習計算機語言。計算機語言要學一點，但是後來的經驗是，語言學多了也沒有用。語言有個特點，學了不用很快就會忘記。還有一點就是計算機技術發展很快，計算機與人的關係越來越近，學起來也很容易。
概括起來說，數學不只是知識，它同時培養人的能力，提高人的素質。素質說起來就虛一點。有的同志經常說數學是美的享受，這話我就不大懂。你說數學很美，有些時候你是可以說它非常美，但我就不大體會這個美的享受對我有多大作用。數學是美的享受，這話可以說，但不能過分誇大。不管怎麼說，數學是一門很特殊的科學，它能給人一種無形中的影響。
記住一位數學家講過這樣一句話：今天數學教育的質量，決定著我們明天科學人才的水平。
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