相信網上有一道經典數學題很多人都看過，那就是證明0.9999...=1。題目很簡單，證明過程相信大家也都看過，我就列舉兩種最簡單的證明方法：

證明方法1

證明方法2

證明得到的結果是毋庸置疑的，但是這個結論卻讓人們根本不能接受：為什麼明明兩個看起來根本就不相等的數字，居然就是相等的呢？為什麼明明0.9999...看起來就小於1的數字反而會等於1呢？

所以我今天就是想從源頭上聊一聊一些數學上的基礎思維方式以及沒有深刻接觸過數學的那些朋友的思維慣性，然後從這個角度出發，講一講為什麼我們不能理解這個最簡單的等式。

科學上的事，不能憑直覺

所謂的“直覺”，是人們從自己的生活中逐漸總結出來的一些規律，然後下意識地做出來的判斷。比如說“2比1大”，比如說“3跟4是不一樣的兩個數”。

這些判斷一般情況下是不會錯的，而且我們人類、乃至整個地球生物圈都憑藉這種出色的“直覺”讓我們不假思索地做出來一些反應，從而可以獲得更快的反應速度。

剛出生的嬰兒也會有“下意識”的反應

但是直覺不總是對的，甚至於一些思維慣性會造成嚴重的判斷失誤。我們將通過下面這個簡單的小實驗來說明：

下面這張圖裡面絕大部分按鈕是凸起的還是凹陷的？我相信很多人會很容易回答出來：有五個按鈕是凸起的，只有一個是凹陷的。

但是如果我們把這張圖原封不動倒過來看呢？你會忽然發現，居然答案變得截然相反：五個按鈕凹陷的、一個按鈕凸出的——那麼同一張圖為什麼會讓我們產生如此不同的看法呢？

圖片倒置之後

答案很簡單：這是一張二維的圖片，我們是通過圓形中陰影和光亮來“腦補”出一個立體的圖形的。

事實上，沒有任何人告訴你：光線一定要從上方照射下來。但是因為在長時間的生活中，我們默認了太陽在頭頂上，光線一般是從上面照射下來的。所以，我們大腦中的“直覺”在冥冥之中給我們加上了一道思維的“枷鎖”。

所以當我們再來回看這道數學題：0.9999...=1，很多人不理解：明明這兩個數字不一樣呀，明明0.99...小於1呀。可是，你之所以覺得不一樣、小於，是因為你的直覺告訴你：兩個數字寫法上不一樣所以不一樣大、0.999...這個數字因為沒有達到1所以比1小——總之，都是直覺。

而就像剛剛我問按鈕是凸起還是凹陷的時候一樣，什麼叫“凸起”？什麼叫“凹陷”？你是怎麼判斷的？你為什麼沒有搞清楚這個問題就回答了是凸起還是凹陷？那麼這個問題是一樣的道理：什麼叫“一樣”？什麼叫“小於”？你有沒有搞清楚這個問題呢？這是不是你的思維慣性呢？

科學上下任何判斷都要首先考慮“定義”

一旦我們在科學上遇到了脫離了我們日常生活的題目，無論是數學上的“無限”有關的概念還是物理上的“量子”，任何事情都不要相信直覺，不要著急做判斷，先想定義。

科學研究已經超越了我們日常的所見所聞

比如說我們說“相等”這個問題，什麼叫相等？有人一看到這個問題就會很不屑地說：相等不相等還看不出來嗎？寫的一樣就是相等，寫的不一樣就不相等。

所以看到問題所在了嗎？

你還沒有開始思考這個問題，就已經首先不自覺地下了結論：這兩個數字不一樣。

這顯然就陷入了“直覺”帶來的思維慣性中了。因為我們現在面對的是無限循環小數——你面前的兩個數字“0.99...”和“1”已經是難捨難分了，不再是像1、2、3、4……這樣的自然數一樣涇渭分明，所以我們不能用直覺判斷。

為了不讓這兩個數的“外貌”來影響我們的判斷，我們用A來代表0.999...，用B來代表1，那麼我們再來問：什麼時候A=B？我們怎麼判斷A=B？

答案很簡單：我們找不到第三個數C，使得這個數C比A大、比B小，或者反過來說，這個數C比A小、比B大。就好像直線上兩個點什麼時候重合？答案就是這兩個點之間再也找不出來第三個點了。

那麼我們回到問題上來，我現在要問了：

有沒有比0.999...大的同時還比1小的數呢？

所以這麼問，答案是不是很明顯了？你還會糾結於“明明這兩個數不一樣但是為什麼還是可以證明出來一樣”這個問題嗎？

簡單說，這個問題的關鍵不是為什麼一個比1小的數會等於1，而是很多人沒有首先去想什麼叫“相等”，什麼叫“小於”，我們只是在下意識地把自己的日常經驗套用到科學研究中了——或者說，我們還沒有開始思考這個問題，我們的身體就已經先我們一步、不自覺地下結論了。

總結

直覺是我們與生俱來的能力，但是這些直覺全部是來自我們的日常經驗，當科學研究的內容脫離了我們會遇到的那些尋常事物之後，我們再憑藉這些“直覺”就會形成思維慣性，在我們真正地思考之前就已經把自己框死在錯誤的答案上，這才是這道數學題“0.999...=1”讓很多人不解的真正原因。

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