π是一個無理數,那麼圓的周長也應是無理數,那麼周長值還可以是整數嗎,例如周長10?

雙木良子


這個問題很有意思,我來回答一下。

如果對數學有興趣的朋友我推薦大家一本書,叫做《數學分析八講》,這本書是著名的蘇聯數學家、教育學家辛欽寫的,不厚,也幾乎沒有太多的公式,但是仔細讀一下就會對很多數學問題有醍醐灌頂一般的感受。

這個《數學分析八講》中的第一章就詳細說了什麼叫做“連續統”,尤其是關於無理數的概念——事實上無理數這個概念遠比我們想象的要複雜。

人類本質上只知道什麼是“整數”,這些數雖然無限多,但是是這個世界的一種非常明確的計量方法。而有理數就是通過這些整數構建出來的,表示為兩個整數的商。有理數雖然有無限多個,但是依然不能填滿整個數軸。

比如說我們常說的根號二( √2)就是一個無理數,這個數不能表示為兩個整數的商。不過我們也可以說,其實根號二對我們來說並不是一個陌生的事物,因為根號二這個數字可以跟整數建立起來關係——也就是 √2* √2=2。而這些可以表示為整係數多項式的根的數叫做“代數數”。

從整數,到有理數,到代數數,我們似乎獲得了數不盡的“數”,但是這些數不盡的數就能夠把我們整個數軸填滿嗎?答案是:依然不能填滿。

我們依然可以從數軸上找到一些無理數,這些無理數不是任何整係數多項式的根——也就是我們沒有辦法把這些數通過我們已有的數——整數“構造”出來。比如說圓周率π,比如說一個神奇的數——e。

確實有這些數,但是你沒有辦法把他們跟任何的整數關聯起來,只能說,這是數軸上的一個數字,雖然我們不知道這個數具體是多少,又怎麼通過我們已知的數把這個數字表示出來,但是這個數字確實存在,他的大小近似是3.1415926……。

不可思議並且難以想象,但是這些不能表示但是又存在的數確實是實數的一部分的。

這些數字就是“超越數”,超越數跟代數數之間的加減乘除和各種運算、超越數互相之間的加減乘除和各種運算都被囊括在“實數”內。

比如說,10/π存在嗎?答案是,存在。這個數字就在數軸上,它的大小是

X.XXXXX

……這個數字的特點就是跟π相乘等於10,用這個數字作為圓的直徑的時候,圓的周長是10。

你可能會奇怪,一個無理數10/π跟另一個無理數π相乘,怎麼反而是一個有理數了?這個沒辦法,因為這個數字10/π確實存在,它的唯一定義就是:它是一個“跟π相乘結果等於10”的數,除此之外,沒有任何意義。你不要管這個數字你寫不寫得出來,有多奇怪的性質,但是它就是存在——這就是數學不講理、但是又符合邏輯的地方。

我們需要這個數,這個數字就出現了,我們只知道他在數軸上,但是除此之外對它一無所知——換句話,實數軸就是一個寶庫,我們可以從中找到各種我們需要的東西,因為實數軸是“連續的”,上面有任何我們需要的數。

甚至於你說數軸上有通過有理數、代數數、超越數加在一起還構造不出來的數嗎?這個其實我也不知道,你知道嗎?

所以說,對數學不能較真,或者說數學本來就是超越我們“直觀認識”的存在,有些時候只有定義,而沒有你能夠看到、感受到甚至於構造出來的“實體”。


航小北的日常科普


圓周率很早就被嚴格證明為是一個無理數,這意味著圓周率無法用分數表示,而它的小數點後是無限且不循環的。如果圓周率是擁有無數位不循環小數的無理數,那麼,圓的周長可以是有理數(比如整數)嗎?圓的周長又怎麼會是一個確定值呢?

從數學上能夠證明,任意一個圓的周長和直徑之比都是相等的常數,這就是圓周率。反過來,圓周率和直徑的乘積即為圓的周長:

C=πd

如果圓的直徑是有理數,那麼,它與無理數的圓周率相乘之後所得的圓周長必然為無理數。

另一方面,如果圓的直徑是某些特殊的無理數,那麼,圓的周長將會是有理數,甚至整數。只要直徑取以π為分母的數,例如,直徑取10/π,那麼,這個圓的周長為10,所以圓的周長不但可以為有理數,而且還能為整數。

雖然圓周率是算不盡的,但這並不意味著它是不確定的未知數。圓周率就是一個常數,它的數值是完全確定的,它可以在數軸上標註出來,這就像諸如根號2等無理數一樣,因為它們都是實數。既然圓周率是一個確定的常數,那麼,圓的周長自然也能夠依據直徑而確定下來。

需要強調的是,無論是在二進制、十六進制或者其他進制下,圓周率的無理數性質是不會改變的。而如果在π或者nπ進制下,圓周率成為了有理數。在這種情況下,圓的直徑和周長都只能是無理數。

在我們已知的宇宙中,時空本身的構造決定了圓周率就是這樣特殊的無理數。倘若平行宇宙存在,那裡的數學家或許會證明出圓周率是一個有理數,而他們所畫出的圓也很可能會不同於我們宇宙中的圓。


火星一號


首先,π確實是無理數,這點早已得到證明,懷疑π在很多很多位數開始循環的人可以歇歇了!關於π(其他無理數也是一樣),很多人經常有一個誤解,因為π是無理數(無限不循環小說),很多人會認為π是一個不固定的數或不準確的數!

其實並不是這樣的,π與自然數一樣,都是固定的準確的數,有些人可能會說,既然π是一個固定的數,為何寫不出來呢?

這就是思維的侷限性,完全可以寫出來,它就是π!固定的數並不一定非要用小數表示出來,同理,√2也一樣,它就是√2,一個固定的數。如果你非要用小數表示出來,有理數也並不定都能用小數表示出來,比如1/3,你能用小數表示出來嗎?0.333……,你寫到天荒地老也寫不完!

明白了這點,圓的直徑和周長是無理數還是有理數就不再有任何問題了!

舉個例子,隨便畫一條線段,可以肯定的是這條線段的長度肯定是固定的,這點毫無疑問,是固定的並不意味著一定是有理數,也可以是無理數,比如說理論上你完全可以畫出一條π釐米長的線段,但這並意味著你可以用尺子測量這條線段的精確長度!

比如,我們可以在數軸上畫出π釐米長的線段,當然你無法測量是否真的是π釐米,理論上肯定是存在的,這更多的意味著π對應著數軸上的一個點!

實際上,不要說測量π釐米長的線段,任何長度的線段我們都無法準確測量出,比如說1釐米的線段,你能準確地測量出1釐米的線段嗎?並不能,這就是數學概念和現實的差距,理論與實際的差距!

最後說一點,其實根本不用這麼繞來繞去的分析,只要明白一點,π與任何自然數一樣都是固定的數,這就足夠了,固定的數對應圓的周長或直徑都可以存在,不管是有理數還是無理數!


宇宙探索


本題,涉及第二次數學危機。本文,涉及兩大物理運動。道理很簡單,恐鴕鳥心態。


無理數與有理數的本質區別



無理數的本質,既不在於是否整除,也不在於是否循環,而在於小數點最後位值的“不定性”與“皆趨零”,即:

末位值ε=a×10⁻ⁿ(a=1,2...9; n→∞)是一個趨近零的未知數,即:

∀εi→0且∀εi≠0且∀εi≈0,

末位的無窮小量εi包括:ε₁=1×10⁻ⁿ, ε₂=2×10⁻ⁿ, ε₃=3×10⁻ⁿ, ε₄=4×10⁻ⁿ, ε₅=5×10⁻ⁿ, ε₆=6×10⁻ⁿ, ε₇=7×10⁻ⁿ, ε₈=8×10⁻ⁿ, ε₉=9×10⁻ⁿ。

這些不確定的無窮小量,正是無理數對間斷點填空的緻密性與連續性的純幾何意義。

事實上,我們只能說n→∞且n≈∞且10⁻ⁿ→0且10⁻ⁿ≈0,因為無窮大與無窮小,既無意義也不存在,或者只存在於純主觀意淫中。

請看圓周率:π=3.1415926...,即:

π=3×10⁰+1×10⁻¹+4×10⁻²+1×10⁻³+5×10⁻⁴+9×10⁻⁶+2×10⁻⁷+6×10⁻⁸+...+a×10⁻ⁿ

只有最後一位的絕對無窮小“ε=a×10⁻ⁿ”,才是無理數的決定值。前面的總和卻是有理數。

我們完全有理由推出:無理數的本質是:有不確定的可逼近零的末位無窮小。

就物理學而言,無理數來自曲線運動軌跡,而曲線運動總是指向某點切線方向,可見:

無理數對應切向二維運動,即:f(r,θ)=re^iθ,有理數對應徑向一維運動,即:f(r)=rtgθ。

曲線運動的切向,取決於曲率半徑,曲率是絕對在變的,故有不定性或無理性。

直線運動的徑向,取決於直線斜率,斜率是相對不變的,故有確定性或有理性。

如果曲率足夠小,即令:re^iθ=rtgθ,有:e^iθ=tgθ=ε,θ=π×10⁻ⁿ(n→∞)→0。

這與lim f(n→∞)=lim sin(10⁻ⁿπ)/(10⁻ⁿπ)=1異曲同工。注意到:x→0, lim(sinx)/x=1。

現在可以討論本問關於圓周長的題設

根據定義,圓周長=直徑×圓周率。

其中,直徑(d)屬於徑向之線性參量,只屬於不為零的有理數(R),即:d∈R(R≠0);圓周率(π)是無理數。

顯然,非零有理數×無理數≡無理數。圓周長=非零有理數×無理數≡無理數。

因此,假設圓周長是例如為10的整數,是純屬想當然莫須有的。任何圓周長都是無理數。

因此,假設圓周長是有理數,本身就不成立,如果圓周長是有理數,直徑就只能是無理數,直徑就意味著是切向運動,這顯然是荒唐的。

不過,說“有理數是離散性的,無理數是連續性的”,是純屬理論性的假設或臆斷。

這很容易證明。無理數,除了不確定的末位無窮小,其餘數位值,都是有理數。有理數也可以無限精準到或連續每個非無窮小的每個細節。

小結:

有理數,只能對應徑向運動的直線方程與直徑參量,其斜率是相對不變的物理量。

無理數,只能對應切向運動的曲線方程與周長參量,其曲率是絕對變化的物理量。

無限循環小數的末位是係數明確的無窮小。無限不循環小數的末位是係數不定的無窮小。

明白了有理數與無理數的本質區別,明白了第二次數學危機的根源(見筆者前文),還惑嗎?


Stop here。物理新視野與您共商物理前沿與中英雙語有關的疑難問題。


物理新視野


這個問題其實很簡單,只須將已知數C=10代入公式π=C/R,即可求出R值,R=10/π。因此,只有π是無理數,而周長和直徑,即可以是無理數,也可以是有理數,當週長為有理數時,直徑必為無理數值,當直徑為有理數時,周長必為無理數值。無理數的存在,是線段不可公度所致,並不是某個圓周長和直徑真的有無限長,所有圓周長和直徑的長度,都是有限的,從這一點上講,前輩數學家將圓周率算成無限不循環小數,是不對的!求圓周率應該是求極限,而不是求它必須無限精確。這就如同芝諾悖論裡的阿基里斯,本來人在有限的距離和有限的時間內,完全可以追上烏龜,卻被芝諾先生乎悠的永遠追不上,圓周率若按前們算成的無限精確,則任何人都不能畫出圓來,因為畫圓人象芝諾的阿基里斯一樣,阿基里斯一直在追龜途中停不下來,畫圓人也應按前輩的無限精確,將圓一直劃下去,這麼荒唐的事,人人心知肚明,卻無人敢提出反對意見。實際上,無論是有理數,還是無理數,它們都只能表達相對精確度,因為絕對精確不存在,在實際應用中,大家都是用相對精確解決問題,無限精確沒有實際運算意義,弄不好,還會出現人追不上龜的荒謬。大自然有她的精湛選擇,她選擇了黃金比例構造圓,僅用黃金數0.618的前三位小數,作為比例常數,就使圓甄於完美,很好的體現了任何圓周長都是有限的事實。"割圓法"和“無限級數法"那個無限性,都不符合客觀實際,圓內接正多邊形的邊數,沒有無限趨近圓,極限是正100邊形!這是可證明的科學事實,是由幾何常識所決定的,只是前輩數學家們沒有發現,平直和彎曲是直接相聯繫的,3.6度圓心角所對的弧是直線,100個頂角為3.6度的等腰黃金三角形組成一個圓,故圓周率π=3.09,證明過程從略。


長眉1958


周長公式C=2πr,如果半徑是5/π那麼周長就等於10了,所有長度都存在,好比一個長度為10的軟皮尺可以圍繞出來任何形狀的周長。

實際上π是無理數,也就是說周長與直徑的比,那麼周長可測麼?根據測不準原理周長沒有準確數值。那麼直徑可測麼?也是測不準的,所以π也就成了無理數。

因為π是通過微分計算出來的,微分的周長不等於實際周長,但永遠在靠近實際周長,也就是這個數字π在不斷接近一個數值,所以π是無理數。

實際上說周長為10也只是理想的數值,好比數學有直線概念,數軸的概念,事實上都是理想模型,宇宙中並沒有直線,只有曲線,所以說宇宙沒有邊界,因為沒有直線,也沒有上下左右,也就不存在邊界了。

無理數就因為他是微分出來的,所以數值一直在變。

因為周長無法測量(測不準原理),所以我們把圓分成無數份後才接近實際周長。




法永禪師


這數學學得,我也是無語了。正常的邏輯是,如果有一個確定的長度比如1米做直徑,則圓周長要乘以π,所以是無理數。反之,如果將一個比如10米長的繩子,彎成一個圓周(當然是整數啊),則其直徑長度要由周長除以π,所以也是無理數。換句話說,圓直徑和周長可以一個是有理數,另一個是無理數,但不可能兩個同時是有理數。


姜冠亭


兀本身是個比值,應該是個固定值。只是我們沒有找到最科學、巧妙的方法,現在的計算方法只是無限接近但不是標準值。

圓周率(Pi)是圓的周長與直徑的比值,一般用希臘字母π表示,是一個在數學及物理學中普遍存在的數學常數。這段是定義。


彭洲子


周長當然能是整數。拿你說的周長10來說,半徑=10/2兀(派打不出來)周長就是整數。

我們說兀(派打不出來)是數軸上確定的某一點,那麼同樣10/2兀(同樣是數軸上某一確定的點),同樣是個無限不循環數。

那些拿周長為10的繩子擺個圓的估計要失望了,幾何方法沒有辦法做出周長為10的圓,只是理論上存在周長為10的圓。所以抱歉,你們的繩子退休了。


唐宋文盲


你這個推理不完整。

前提條件:周長=圓周率×直徑,意味著有理數×無理數=無理數。

圓周率是無理數,如果直徑是有理數那麼周長肯定是無理數。

你沒有說關鍵一句,直徑是有理數。所以,直徑如果也是無理數,那麼周長也有可能是有理數。

強調三遍:直徑是不是有理數這是關鍵。


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