考前必看:比的應用、按比分配應用題綜合題型解題思路和技巧詳解

在前兩天的文章中,甜甜老師總結了《比》這一單元的基礎知識點、以及按比分配應用題的基礎題型和基本解題思路,還沒來得及複習的同學前往甜甜老師主頁查看哦。

比的應用題除了最基礎的3種題型之外,還有連比問題,還經常跟幾何問題、行程問題結合在一起,綜合考察多個知識點,難度更大一些,這次咱們就來細講一些常考題型。

考前必看:比的應用、按比分配應用題綜合題型解題思路和技巧詳解

一、連比問題

連比就是三個或者三個以上的數組成的比。

一般來說,如果甲:乙=a:b,乙:丙=b:c,那麼甲:乙:丙=a:b:c,也就是通過找中間量將兩個比轉換成一個比。

但實際上中間量在兩個比中往往所佔份數不一樣,這時就需要找中間量的最小公倍數,依據比的基本性質,把兩個比的轉化成一個比。

【例1】已知甲數:乙數=3:4,乙數:丙數=7:6,請問甲乙丙三個數的比是多少?

【解析】兩個比的中間量是乙數,乙數所佔份數分別是4份和7份,那麼找到4和7的最小公倍數28,根據比的基本性質:

甲數:乙數=3:4=21:28

乙數:丙數=7:6=28:24

那麼 甲數:乙數:丙數=21:28:24 。(注意結果如果可以化簡,需要化成最簡整數比)


【例2】甲數是乙數的3/10,乙數是丙數的4/9,求這三個數的連比。

【解析】這道題並沒有給出三個數的數值,而是給出了兩兩之間的倍分關係,那麼咱們可以使用份數法來解決:

甲數是乙數的3/10,如果乙數是10份,那麼甲數就是3份,甲數:乙數=3:10

乙數是丙數的4/9,如果丙數是9份,那麼乙數就是4份,乙數:丙數=4:9

乙數是中間量,10和4的最小公倍數是20,那麼

甲數:乙數=3:10=6:20

乙數:丙數=4:9=20:45

那麼 甲數:乙數:丙數=6:20:45。


【練習】甲乙兩人的郵票數之比為5:6,乙丙兩人的郵票數之比為7:9,甲乙丙的郵票數之比是多少?已知三人的郵票總數是131張,那麼甲乙丙各有多少張郵票?




二、比與行程問題結合

這類應用題實際上解題思路並不複雜,按比分配的基本思路沒有變化,行程問題的基礎數量關係也沒有變化,兩者結合起來考察,只要一步一步梳理清楚已知條件和已知量,思路就會很明晰。

例1、兩個城市相距360米,一輛客車和一輛貨車分別從這兩個城市同時開出,相向而行,3小時後兩車相遇。已知客車和貨車的速度比是5:7,那麼客車和貨車每小時各行駛多少千米?

【解析】第一句話可以看出這是一個相遇問題:相遇路程=速度和×相遇時間;速度和=相遇路程÷相遇時間;相遇時間=相遇路程÷速度和。本題已知總路程和相遇時間,那麼可以求出兩車的速度之和。

速度和=總路程÷相遇時間=360÷3=120km/h。

第二句話已知客車和貨車的速度比是5:7,那麼只要把速度和120km/h按照5:7分配即可。

120÷(5+7)=10

客車速度=10×5=50km/h

貨車速度=10×7=70km/h

例2、一條路全長12千米,分成上坡、平路、下坡三段,這三段路程的長度之比是1:2:3。王強走完這三段路程所用的時間之比是4:5:6。已知他上坡的速度是每小時5千米,那麼王強走完全程用了多長時間?

【解析】行程問題中的分段問題,這類題型的要點是分段分析。已知總路程和三段路的長度比,那麼上坡、平路、下坡三段的長度都是可以按比分配求出來的:

上坡路程=12÷(1+2+3)×1=2千米。(平路、下坡用不到就不算了)

又已知王強的上坡速度,根據時間=路程÷速度,可求出王強上坡所用時間:

上坡時間=2÷5=2/5小時。

已知上坡時間和上坡、平路、下坡的時間比是4:5:6,可再按比分配求出總時間:

上坡時間是2/5小時,佔4份,那麼每一份是2/5÷4=1/10小時

總時間是4+5+6=15份,也就是1/10×15=3/2小時。

【總結】按比分配問題與行程問題結合,需要靈活運用行程公式以及按比分配思想。根據形成公式求出對應的數量,再根據這個數量在比中所佔的份數求解出一份量是多少。

【練習】一段路全長36千米,分成上坡、平路、下坡三段,這三段路程的長度之比是2:3:4。小華走完這三段路程所用的時間之比是4:5:6。已知他上坡的速度是每小時4千米,那麼小華走完全程用了多長時間?



三、比與幾何問題結合

與行程問題類似,比與幾何問題結合在一起的時候,也需要靈活運用幾何公式來求出必要的量,然後結合按比分配的思路求解。常見的包括與幾何圖形的周長、稜長、角度以及表面積、體積結合,那麼需要把幾何公式熟記於心。

【例1】趙老師用60cm長的鐵絲圍成一個長方形教具(鐵絲無剩餘),長和寬的比是3:2。長方形教具的長和寬是多少?面積是多少?

【解析】60cm長的鐵絲相當於這個長方形的周長,長方形周長=(長+寬)×2

那麼長+寬=60÷2=30cm,長:寬=3:2,

那麼長=30÷(3+2)×3=18cm;寬=30÷(3+2)×2=12cm;

長方形面積=長×寬=18×12=216平方釐米。


【例2】等腰三角形的一個頂角和一個底角的度數之比是2:1,那麼頂角是多少度?

【解析】等腰三角形的特徵:2條腰長相等、2個底角相等

那麼這個三角形三個角的比為2:1:1。

根據三角形內角和為180°,可求得一份量為180°÷(2+1+1)=45°,頂角=45°×2=90°

或者根據三個角的比為2:1:1可判斷出這是一個等腰直角三角形,頂角為90°。

【練習】一個稜長總和為 216 cm 的長方體,它的長、寬、高的比是 4 : 3: 2 ,這個長方體的表面積和體積各是多少?


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