微分方程是在高等數學裡經常遇到的一種方程，相比我們在初高中學到的簡單方程，這種方程有著非常神秘的性質。那麼為什麼這種方程如此神奇，為什麼會需要這種獨特的方程呢？雖然我只是一個學渣，但是還是願意過來談談自己的想法。

方程和微分方程

方程是什麼？方程實際上就是一種含有未知數的等式。通過建立未知數和已知數之間的關係我們可以對方程進行求解。用天平來比喻，就是在等式的兩邊放上各種各樣的砝碼，有些砝碼的重量我們知道，有些我們不知道，而通過天平的平衡我們可以知道這些位置砝碼的重量。

△用天平來比喻方程△

當然，有些時候方程不是要求到具體的未知數的值，而是要算到不同的未知數之間的關係，保證我們知道了某幾個未知數之後就可以知道最後那個未知數。比如說下圖就是x、y、z三個未知數之間的關係式，當我們知道了x和y的值之後，自然也就知道了z的值了。

△多元方程的圖像△

而微分方程同樣是為了求解未知數、已知數之間的關係，但是未知數不再只是以自己本身的面貌出現，而是以未知數導數的形式出現。所以我們在微分方程裡面不僅僅會看到未知數y，還會看到未知數相對於其他未知數之間的導數關係，比如說dy/dx，比如說∂y/∂x，等等。

△微分方程包含了未知數的導數△

微分方程要考慮目標未知數的變化規律

比如說，我們用一個方程描述一輛汽車在一條筆直的公路上的運動，如果這個方程中只有距離x這一個目標未知數，那麼這就不是一個微分方程，比如說x=10*t，其中t是時間，通過這個方程我們直接知道了目標未知數的表達式；

但是如果一個方程中既有路程x，又有路程的變化率（也就是速度），那麼方程就變成了微分方程，比如說我們把方程寫成了dx/dt=10，其中t是時間，那麼這個方程我們建立的方程中就包含了路程變化率跟已知量之間的關係。

為什麼微分方程如此重要？

我們先不去說純數學裡的微分方程，只說在物理中經常會用到的微分方程。而之所以我們會在物理中那麼經常地用到微分方程，本質上是因為人類掌握的往往都是物體的局部規律，所以需要微分方程來描述這種局部規律，然後由局部規律反推整個物體的性質。

比如說一個複雜的物體，我們要知道其中應力是怎麼分佈的，那麼我們很難找到一個直接表達式來描述應力在各個點上的值，

但是我們卻可以知道某一個點上的物理量變化規律。因為一個點是沒有形狀的，性質是確定的。

△複雜物體上的應力分佈△

因此，我們寫下的方程不是一個描述整個物體應力分佈的方程，而是物體局部性質的方程。這個方程對於這個物體內部的每一個點都是適用的，所以我們建立起來的是每個點的平衡關係

。在科學概念裡面，我們往往為了表述方便，把這個點描述成所謂的“微元體”。

△微元體上的受力平衡關係△

但是，如果只是把一個物體分割成無數個彼此不相關的微元體，那麼這樣的分割就完全沒有意義，所以我們不僅要描述這個微元體上局部的性質，還要建立起來微元體與周圍微元體之間的關係。所以這個時候物理量的導數就有必要了，因為導數本質就是“變化率”，描述的就是一個點與周圍點之間的關係

。

所以說，我們建立起來的微分方程實際上是描述物體內部各個點的性質，並且通過這個微分方程把這些點聯繫起來，織成一張“大網”，最後反推整個物體的性質。

總結一下

簡單說，微分方程的意義就是描述物體局部物理量還有這些物理量的變化規律的，通過求解微分方程我們可以架起物體局部和整體之間的橋樑。比如說，下面一張圖就是複雜的N-S方程，用來分析複雜流體的性質。

△複雜的N-S方程△

雖然公式這麼長，但是實際上描述的也是流體之中一個點的性質而已。一團每個點都滿足這個方程、流體的邊緣還滿足特定條件的流體，就是我們最終會求解的流體。