一級運算包括加法和減法。
加法a+b=c，由此推出逆運算，減法c-a=b和減c-b=a。
也可以把減法看做加法，即c+(-a)=b和c+(-b)=a。
二級運算包括乘方和除法。
乘方a×b=c，由此推出逆運算，除法c÷a=b和除法c÷b=a。
也可以把除法看做乘法，即c×(1/a)=b和c×(1/b)=a。
三級運算包括乘方、對數和開方。
乘方a^b=c，由此推出兩種逆運算，開方(b√)c=a和對數log(a)c=b。
b√表示b次根號，(b√)c就表示對c開b次方。
log(a)表示以a為底的對數，log(a)c就表示以a為底c的對數。
也可以把開方看做乘方，即c^(1/b)=a，但是對數不行，三級運算不滿足交換律。
乘方的塔式結構表示法和對數的log表示法有兩個弊端，一是電腦書寫困難，二是與加減乘除相比有點混亂，不妨再發明兩種簡便的符號呢。
高德納 高德納1938年出生於 威斯康辛州密歇根湖畔
高德納於1976年設計出高德納箭號表示法，不僅在表示乘方時簡化了乘方的塔式表示，還可以表示三級以上的運算。
乘方用高德納箭頭表示為a b=c。
高德納箭頭運算的意義
給對數也發明一個符號log，不妨用，c a表示以a為底c的對數。
給開方也發明一個符號，不妨用Ж，c Ж b=a表示c的b次開方等於a。
這樣顯得整齊對稱。
數學符號的發明及使用比數字要晚，其數量比數字還多。
數學符號適應數學的抽象與形式化的特點。實質是人類理性思維與抽象思維的產物。
加號曾經有好幾種，現代數學通用“+”號。“+”號是由拉文“et”（“和”的意思）演變而來的。十六世紀，意大利科學家塔塔里亞用意大利文“plu”（“加”的意思）的第一個字母p表示加，最後變成了“+”號。“-”號是從拉丁文“minus”（“減”的意思）演變來的，一開始簡寫為m，再因快速書寫而簡化為“-”了。
賣酒的商人用“-”表示酒桶裡的酒賣了多少。以後，當把新酒灌入大桶的時候，就在“-”上加一豎，意思是把原線條勾銷，這樣就成了個“+”號。
到了十五世紀，德國數學家魏德美正式確定：“+”用作加號，“-”用作減號。
乘號曾經用過十幾種，現代數學通用兩種。一個是“×”，最早是英國數學家奧屈特1631年提出的；一個是“·”，最早是英國數學家赫銳奧特首創的。德國數學家萊布尼茨認為：“×”號像拉丁字母“X”，可能引起混淆而加以反對，並贊成用“·”號（事實上點乘在某些情況下亦易與小數點相混淆）。後來他還提出用“∩“表示相乘。這個符號在現代已應用到集合論中了。
到了十八世紀，美國數學家歐德萊確定，把“×”作為乘號。他認為“×”是“+”的旋轉變形，是另一種表示增加的符號。
“÷”最初作為減號，在歐洲大陸長期流行。直到1631年英國數學家奧屈特用“：”表示除或比，另外有人用“－”（除線）表示除。後來瑞士數學家拉哈在他所著的《代數學》裡，才根據群眾創造，正式將“÷”作為除號。
平方根號曾經用拉丁文“Radix”（根）的首尾兩個字母合併起來表示，十七世紀初葉，法國數學家笛卡兒在他的《幾何學》中，第一次用“√”表示根號。“√”是由拉丁字線“r”的變形，“￣”是括線。
十六世紀法國數學家維葉特用“=”表示兩個量的差別。可是英國牛津大學數學、修辭學教授列考爾德覺得：用兩條平行而又相等的直線來表示兩數相等是最合適不過的了，於是等於符號“=”就從1540年開始使用起來。
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