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使用3600萬像素高清相機，在200毫米定焦鏡和10 倍顯微鏡頭下，每隻昆蟲被分成大約30個不同的部分進行拍攝，通過8000多張獨立的局部照片，歷時4周，合成一隻昆蟲的完整肖像。它們有著令人歎為觀止的細節，以及意想不到的美。這本書為我們提供了獨特的觀察體驗，堪稱自然與科學的真正奇蹟。
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翻譯：xux
審校：閻清暉
孿生質數猜想是數學界最重要也是最困難的問題之一。最近，兩位數學家解決了這個問題的有限域版本，為這一著名猜想的最終證明提供了思路。
作為最著名的數學難題之一，孿生質數猜想已經困擾了數學家一個多世紀。如果能夠解決這一難題，人們將揭露算術學（arithmetic）的某些最深層的性質。9月7日，兩位數學家貼出了一份有關這一猜想的證明，為孿生質數猜想開闢了新的前沿陣地。
“很長一段時間內，我們都在這一問題上一籌莫展，步履難行。任何新見解的出現都會令人激動不已。”牛津大學的數學家詹姆斯·梅納德（James Maynard）如是說。
孿生質數猜想說的是什麼？我們把一對彼此相差2的質數叫做孿生質數，比如5和7，17和19等等。孿生質數猜想預測，在所有的自然數或整數中，這樣的質數有無數對。在過去十年中，數學家們在這一問題上做出了突破性的進展，但是還遠沒到解決它的程度。
哥倫比亞大學的威爾·薩溫（Will Sawin）和威斯康辛大學麥迪遜分校的馬克·舒斯特曼（Mark Shusterman）給出了一份新證明。他們在一個更小但依然十分重要的數學世界——有限域系統（finite field system）中證明了孿生質數猜想是正確的。在這樣的系統下，人們可以只處理少量的數字。
麻雀雖小，五臟俱全。有限域系統仍保留著整數域的許多性質。數學家們嘗試在有限域中回答算術學的問題，並期望將這些結果應用到整數中去。“說起來可能有些天真：我們的最終夢想是，如果對有限域的世界理解得足夠好，你就能解釋整數世界。”梅納德說。
在有限域系統中，除了證明孿生質數猜想，薩溫和舒斯特曼還得到了一個效力更廣的結果。他們證明了在短間隔中，孿生質數究竟多久出現一次。這一結果對孿生質數現象可謂是掌握到了極度精確的地步。數學家們做夢都想在普通的數字上得到這樣的結論，所以，凡是相關的證明，他們都會找來細細研究，以期得到新思路，新啟發。
新型質數
最著名的孿生質數猜想說的是，有無數對彼此相差2的質數。但是一個更加廣義的命題預測，質數對的差距可以是任意常數，比如，你可以在自然數中找到無數對像3和7一樣相差4的質數，或者像293和307一樣相差14的質數。
這個更加廣義的命題是法國數學家阿爾方斯·德·波林那克（Alphonse de Polignac） 在1849年提出的。在接下來的160年中，數學家們進展甚微。但是到了2013年，堡壘被攻破了，或者至少出現了顯著的裂痕。那年張益唐證明了有無數對間隔不超過7000 0000的孿生質數。在接下來的一年中，其他數學家，包括梅納德和陶哲軒，顯著縮小了這一質數間隔。目前，已經被證明的孿生質數猜想，其間隔已經縮小至246。
但是，孿生質數問題的進展就此停滯了，數學家明白，如果要徹底解決這一問題，他們需要一個全新的思路。而有限域系統就是一個尋找新思路的好地方。
為了構建一個有限域，可以先從自然數中提取一個有限的子集，可以選取頭五個（或者任意質數個）數字。我們用錶盤（而不是通常使用的數軸）來將這些數字直觀地表示出來。
直覺會告訴你，運算沿著順時針方向進行。在有限域系統中，4+3是多少？我們可以從4開始，沿著表面數三個格子，到達2的位置。減法、乘法和除法的工作原理也是相似的。
圖注：有限數字系統。一個有限域含有有限個元素。（通常是質數個）左圖展示了5個元素的有限域，右圖是在此有限域中的加法運算過程。
只有一個陷阱。典型的質數概念在有限域系統裡似乎講不通。在有限域中，每個數字都可以被其它數整除。例如，7通常不能被3整除，但在一個有5個元素的有限域中卻是可以的。那是因為，在這個有限域中，7和12是同一個數字，它們都降落在鐘面上2的位置。所以7除以3等於12除以3，12除以3等於4。
有限域中不存在質數，那麼，在有限域中我們用質數多項式來類比整數域中的質數。有限域中的孿生質數猜想討論的，是像x^2+1這樣的數學表達式。
質數多項式是什麼？對於一個只包含1，2，3的有限域，這個有限域內的多項式的係數只能從1，2，3中選取。而“質數”多項式就是不能被因式分解的多項式。所以x^2+x+2是質數多項式，因為它不能被分解，但x^2-1不是質數多項式，它是x+1和x-1的乘積。
接下來，你自然會問到孿生質數多項式：一對多項式，它們既是質數多項式，又隔著一個固定的間隙。例如，多項式x^2+x+2是質數多項式，x^2+2x+2也是質數多項式。兩者相差多項式x（第一個多項式加x就得到第二個）。
有限域的孿生質數猜想推測，有限域中存在著無數多對孿生質數多項式，它們不一定相距x，可以相距任意間隔。
圖注：素數多項式是什麼？一個素數多項式只有一個素數因子式——它自己。如上圖：x^2+x+2具有素數性質，因為它不能被因式分解；x^2-1不具有素數性質，它是x+1和x-1的乘積。
庖丁解牛
有限域和質數多項式看起來可能太不自然了，人為設計的痕跡明顯，在研究一般數字方面用處不大。但它們很像颶風模擬器——一個自給自足的獨立宇宙，能夠對更廣闊世界中的現象提供洞見。
舒斯特曼說：“把整數問題和多項式問題相互轉化，這一做法自古就有。雖然轉化來轉化去，問題可能依然困難，但多項式版本的問題更可解了。”
20世紀40年代，安德烈·威爾（André Weil）將有限域系統中的算術學，準確地應用到了整數域。於是，有限域突然變得聲名顯赫起來。威爾利用有限域和整數域的這種聯繫達到了驚人的效果。他證明了數學中最重要的問題——黎曼猜想——的簡化版本，即關於有限域中曲線的問題（也被稱作幾何黎曼猜想）。這一證明，再加上威爾提出的一系列附加猜想——威爾猜想，讓人們確信，在數學世界的探索中，有限域是一片景色綺麗的富饒之地。
威爾最關鍵的見解是，
在有限域的語境中，幾何學的技巧是回答關於數字的問題的有力武器。“這就是有限域的特別之處。許多你想解決的問題，可以用幾何的方式來重新表述，”舒斯特曼說。幾何和有限域是怎麼扯上關係的呢？請將每個多項式想象為空間中的一個點。多項式的係數作為確定多項式所在位置的座標。回到只含1，2，3三個元素的有限域，多項式2x+3的位置就是二維空間中的點（2,3）。
但即使是最簡單的有限域也有無窮多個多項式。因為總可以增大最高次項的指數來把多項式變複雜。在我們的例子中，多項式x^2-3x-1可以用三維空間中的一個點表示。多項式3x^7+2x^6+2x^5-2x^4-3x^3+x^2-2x+3要用八維空間中的一個點表示。
這項新的工作中，就是用幾何空間來代表某有限域的所有給定階數的多項式（比如用一個三維空間來表示由1，2，3構成的有限域的所有最高次項指數不超過3的多項式）。於是問題就變成了：有沒有辦法分離出所有代表質數多項式的點？
薩溫和舒斯特曼的策略是把空間分成兩部分。其中一部分中，所有點都對應於具有偶數個因式的多項式 ；另一部分的所有點都對應於含有奇數個因式的多項式。
圖注：素數的幾何。為了找到素數多項式，數學家將方程翻譯成幾何語言。子圖1：用多項式的係數作為空間中點的座標。在這兒，2x+3對應二維球面上的點(2,3)；子圖2：在表面上畫一條線，這條線將含有偶數個和奇數個因式的多項式分割開來；子圖3：運用前人總結出的技巧，將“奇數部分”中只含一個素數因子式的點挑出來。
這已經使問題簡單化了。有限域的孿生質數猜想討論的是
質數多項式，也就是隻有一個因式的多項式（就像質數本身有一個因子一樣）。因為1是奇數，所以偶數個因式的部分就不用考慮了。訣竅在於分界。對於一個二維空間，比如一個球體的表面，想要將其一分為二，用一條一維的曲線就可以了，就像赤道把地球表面一分為二一樣。更高維度的空間總是可以用比它少一個維度的物體來分割。
然而劃分多項式空間的低維形狀遠不及赤道那樣簡潔優雅。它們是被一個稱為莫比烏斯函數的數學公式畫出來的：輸入一個多項式，如果這個多項式有偶數個質數因式，則輸出1，如果多項式有奇數個質數因子式，則輸出-1；如果多項式只有一個重複的因子式（就像16可以被分解為2×2×2×2），則輸出0。
莫比烏斯函數繪製出的曲線瘋狂地扭曲和轉動，曲線自身形成了許多交叉點。它們交叉的地方稱為奇點。這些奇點特別難以分析，它們對應於具有重複質數因式的多項式。
薩溫和舒斯特曼的主要創新在於找到了一種精確的方法，將低維的環分割成更短的線段。這些片段比完整的環更容易研究。
把具有奇數個因式的多項式分好類（這是最難的一步）之後，薩溫和舒斯特曼就必須確定這其中哪些是質數，哪些是孿生質數。為此，他們應用了數學家用來研究正則數中質數的幾個公式。
關於有限域上質數多項式，薩溫和舒斯特曼證明了兩個主要結論：
首先，有限域的孿生質數猜想是正確的：有無限多對孿生質數多項式，其間隔可以是你選擇的任意表達式。
其次，甚至更必然地，這項工作給出的方法，對於給定階的多項式，能夠精確地算出所有孿生質數多項式的個數。對於整數域來說，這類似於知道在數軸上任意長的間隔內，究竟有多少孿生質數。這是數學家夢寐以求的結果。
特拉維夫大學的澤夫·魯德尼克（Zeev Rudnick）說：“這是第一個給出整數上的定量模擬結果的工作，這是一個非常突出的發現。已經很久沒有出現過這樣的突破了。”
薩溫和舒斯特曼的證明表明，在安德烈·威爾用有限域上的曲線證明黎曼猜想近80年後，數學家們仍然在他開闢的這條路上積極地探索。致力於攻克孿生質數猜想這一難題的數學家們，現在將轉向薩溫和舒斯特曼的工作，並期望它將成為一個同樣深邃的靈感源泉。
原文鏈接：https://www.quantamagazine.org/big-question-about-primes-proved-in-small-number-systems-20190926/
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