2019年下半年中小學教師資格考試
《高中數學學科知識與能力》參考答案及解析
一、單項選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分)
1.答案：A.
2.答案：A.
3.答案：B.
4.答案：C.
5.答案：D.必有
個行向量線性無關.
6.答案：C.
7.答案：D.4條.解析：向量理論具有神格的數學內涵，豐富的物理背景，向量既是代數研究對象也是幾何研究對象，是溝通幾何與代數的橋樑。向量是描述直線、曲線、平面、以及高維空間數學問題的基本工具，是進一步學習和研究其他數學領域問題的基礎，在解決實際問題中發揮重要作用。本單元的學習可以幫助學生理解平面向量的幾何意義和代數意義，掌握平面向量的概念、運算、向量基本定理以及向量的應用，用向量語言、方法和解決現實生活、數學和物理的問題，故本題選：D。
8.答案：B.演繹推理。解析：數學歸納法是一種證明方法，是一種演繹推理方法，它的基本思想是遞推思想。故選：B。
二、簡答題(本大題共5小題，每題7分，共35分)
(2)在該種變換下，不變的性質：都是中心對稱圖形和軸對稱圖形，都是在某條件下點的軌跡所形成的對稱圖形;變化的性質：圖形的形態發生了變化，不再以原點為中心點，不再與座標軸相交，圖形距離中心點的距離都相等。
12.參考答案：
(1)微積分是數學學習中的重要基礎課程，貫穿整個數學學習的始終.故在學習微積分時可以收集有關微積分創立的時代背景和有關人物的資料，並進行交流;體會微積分的建立在人類文化發展中的意義和價值.
(2)“楊輝三角”在中國數學文化史中有著特殊的地位，它蘊含了豐富的內容，還科學地揭示了二項展開式的二項式係數的構成規律，由它還可以直觀看出二項式定理的性質.故可以在二項式定理中介紹我國古代數學成就“楊輝三角”，有意識地強調數學的科學價值、文化價值、美學價值，從而提高文化素養和創新意識.
13.參考答案：
數學建模是數學學習的一種新的方式，它為學生提供了自主學習的空間，有助於學生體驗數學在解決實際問題中的價值和作用，體驗數學與日常生活和其他學科的聯繫，體驗綜合運用知識和方法解決實際問題的過程，增強應用意識;有助於激發學生學習數學的興趣，發展學生的創新意識和實踐能力.數學建模過程大致分為以下幾個過程：
模型準備：在模型準備的過程中，我們要了解問題的實際背景，明確其實際意義，掌握研究對象的信息，並能夠運用數學語言描述研究對象.
模型假設：依據研究對象的信息和建模的目的，對研究問題通過間接明瞭的語言進行問題假設.
建立模型：根據假設，對於研究問題通過數學語言、公式依靠數學工具建立各部分之間的聯繫，能夠建立起數學模型結構.
解決模型：獲取研究對象數據資料，對資料進行分析，對模型的所有參數做出計算.
分析模型：對所得的結果進行數學上的分析.
檢驗模型：將模型分析結果與實際情形進行比較，以此來驗證模型的準確性、合理性和適用性.如果模型與實際較吻合，則要對計算結果給出其實際含義，並進行解釋.如果模型與實際吻合較差,則應該修改假設，再次重複建模過程.
三、解答題(本大題1小題，10分)
四、論述題(本大題1小題，15分)
15.參考答案：
數學思維就是以數、形與推理過程為研究對象，以數學語言與符號為思維載體，並以認識和發現數學規律為目的的一種思維.
在傳統的數學教學中，教師一般採用題海戰術，只重視結果，不重視過程，造成學生的思維模式比較固定，雖然對某一類型的題目可以快速解答，但是在遇到新題型的時候，學生就會缺乏數學思維.
數學思維作為一種思維品質，教師可以從以下幾個方面來培養學生的數學思維：
一方面，教師要精心設置需要學生做出邏輯判斷的問題情境，設計能夠引發學生獨立思考的教學過程，創造能引起思維衝突的交流機會，讓學生充分運用數學化思維去發現問題、提出問題、分析問題和解決問題，真正將學生的思維活動有機融入學習過程中.
另一方面，教師要精心設計可以喚醒學生好奇心的“開放性的問題”，要充分鼓勵學生的思維直覺，鼓勵學生大膽想象與猜想，將數學結論還原為學生自己經歷抽象和歸納的思維過程.
與此同時，堅持啟發式教學，調動學生思維.啟發式教學注重展現知識發生過程，創造情境，啟發學生比較、分析、綜合、抽象、概括以及判斷、推理等，思考問題，發現問題，得出結論，可以培養思維的廣闊性和深刻性.
總而言之，不僅要讓學生學會用數學思維去思考，還要讓學生敢於別出心裁地思考，只有這樣，才能培養學生的數學思維能力.
五、案例分析題(本大題1小題，20分)
16.參考答案：
(1)①錯誤之處：學生忽略了直線方程的點斜式存在侷限性，只能表示斜率存在的直線方程.因此在計算過程中沒有討論斜率不存在的情況，導致結果缺少一種情況.
②原因：對於直線方程的表達形式的細節認識不深刻忽略了直線方程的點斜式存在侷限性，只能表示斜率存在的直線方程.而學生根據直線和圓相切是圓心到直線的距離等於半徑，設直線的點斜式方程，進行求解，未討論直線斜率不存在的情況，所以出現錯誤.
(2)設置問題的時候，組要關注學生的學習狀態隨時調整引導問題的難度做到問題設置難度適中循序漸進並具有啟發性.
因此在針對該題目的教學時，首先會設置如下幾個問題幫助學生梳理解題思路
問題1：從幾何或代數的角度思考直線和圓相切，具有什麼特點呢?
預設：從幾何的角度出發，是圓心到直線的距離等於圓的半徑，且交點只有1個.
從代數的角度出發，是圓的方程與直線方程聯立後的方程有兩個相等的實根距離等於圓的半徑.
問題2：那麼根據大家剛剛的思考結果，大家根據題幹作圖，觀察一下符合條件的直線有幾條?分別又具有什麼特徵呢?
預設：2條，一條斜率存在，一條斜率不存在
問題3：通過這個結果你得到什麼啟示，在完成這個題目的解析的時候需要注意什麼呢?
預設：需要先討論斜率不存在的時候是否符合題意，再設出直線的點斜式進行求解.
六、教學設計題(本大題1小題，30分)
17.參考答案
(1)教學重點：理解導數概念的建立及其幾何意義
教學重點之所以這樣設計是為了針對本節知識中最重要最核心的問題，結合新課程標準的要求，對於導數概念的學習最重要的就是理解導數的概念和它的幾何意義的學習，因此設計瞭如上的教學重點.
(2)導入：通過複習瞬時速度、切線的斜率的求法引導學生從函數的角度思考函數的增量與自變量增量之間比的極限，從而引出導數的本節標題.
(設計意圖：通過複習導入可以準確地將新舊知識建立聯繫，並且抽象與具體相結合的好處在於加深對導數概念的理解，在已有的知識水平上有一個新知識的學習可以激發學生對導數的學習興趣)
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