典型結構的受力邏輯，是什麼？

從一根懸臂樑的受力，演繹出典型結構的受力邏輯，通俗直觀，值得結構工程師一讀再讀。

一、梁的歷史學說

1638年伽利略在他的著作《關於兩門新科學的對話》中，系統地介紹了他對梁強度問題的研究。其中一個關鍵問題就是懸臂樑的強度問題，這個問題一直影響著後來近兩百年的研究。伽利略並沒有正確地解決他提出來的問題，在討論懸臂樑的強度時，書中隱含了兩個錯誤，一是將根部AB截面上的拉應力看作是均布的，二是把梁的中性層取在梁的下側。

伽利略關於兩門新科學的對話中懸臂樑的插圖

在伽利略的基礎上，馬略特、胡克、伯努利、鐵木辛柯等對梁的理論進行了逐步完善，最終形成了可應用於工程的材料力學體系。亞·沃爾夫在他1935年出版的《十六十七世紀科學技術和哲學史》一書中，把伽利略、馬略特和胡克理論得到的應力分佈列在下面。

伽利略、馬略特和胡克理論的應力沿截面分佈圖

二、懸臂樑的應力分佈

本文不想談那些複雜的公式，從直觀感覺出發尋找應力分佈的邏輯。假設如下圖所示的一根懸臂樑，在端部受到豎向集中力的作用。

懸臂樑示意圖

假設懸臂樑內部的材料組織是離散的，可能發生怎樣的情況呢？

第一種情況，如下圖所示，為橫截面之間的錯動。如果大家去工地上搬磚，應該能見到這個神器，這就是利用了磚與磚之間的摩擦力，臨時形成了一根梁。

梁橫截面之間的剪力

第二種情況，如下圖所示，為縱截面之間的錯動。下圖中書本的變形就是一個典型例子，因為書頁之間的摩擦力非常小，書頁（縱截面）間存在相對的錯動。所以書本懸挑端部的變形非常大，本身也無法承受荷載。

梁縱截面之間的剪力

第三種情況，就是上一節討論了好幾百年的橫截面彎矩，現在所有的結構人應該都很清楚其應力分佈。對於懸臂樑來說，根部的彎矩最大。

梁根部的彎矩

因此，一根懸臂樑要想能成為可以承受荷載的構件。需要能抗剪，而且是兩個方向；同時，需要能抗彎。

對於一根建築中常用的實腹梁，梁縱剖面之間的抗剪承載力非常高，常常被我們忽視。但理論上，任何結構都必須能夠抵抗以上三種破壞模式。

三、懸臂結構

首先說明一點，如果將懸臂結構旋轉90度，那就可以看成高層建築。懸臂結構上的豎向荷載就是高層建築的水平力；懸臂樑的橫向剪力就是層間剪力；懸臂樑根部的彎矩就是傾覆力矩。

將懸臂樑旋轉90度後的受力情況

圍繞著懸臂結構如何抵抗剪力和彎矩，將結構類型分為以下兩類：

1）剪力由構件的抗彎能力抵抗

如下圖所示的一個懸臂結構通常稱為空腹桁架。該懸臂結構的橫向剪力由上下弦杆的抗彎能力抵抗，其縱向剪力由豎腹杆的抗彎能力抵抗。懸臂結構根部彎矩由弦杆的彎矩和軸力承擔，若杆件的尺度都差不多，那麼弦杆的軸力較小。將手機轉過90度，該懸臂結構就是框架結構。該結構的剛度，取決於杆件和節點的抗彎剛度。

空腹桁架示意圖一

假設我們將豎腹杆的抗彎剛度設為無窮大，如下圖所示。增強豎腹杆的剛度，豎腹杆所承擔的剪力就會增大，上下弦杆承擔的軸力會因此而增大。弦杆的共同作用增強，該懸臂結構根部的抗彎能力得到增強。

空腹桁架示意圖二

馬克儉院士的盒式結構即利用了這個原理，其本質上是一個空腹桁架。通過將豎腹杆的剛度做得很大，以此增加上下弦杆的共同作用。

盒式結構示意圖及實景圖

如果進入另一個極端，假設我們將豎腹杆的抗彎剛度設為零，即豎腹杆兩端鉸接，如下圖所示。此時，兩根弦杆變成獨立的兩根懸臂樑。將手機轉過90度，就是排架結構。由於該懸臂結構無法承擔縱向剪力，因為該結構的剛度最弱，類似於錯動的書頁。

排架示意圖

由以上分析可知，一個懸臂結構縱橫兩個方向的抗剪能力都將影響整個結構的受力性能。剪力牆結構中的連梁可以看作空腹桁架的豎腹杆。彈性階段，連梁的剛度完整，其承擔著整個懸臂結構的縱向剪力，剪力牆整體作用明顯；在大震作用下，連梁開裂剛度削弱，無法承擔整個懸臂結構的縱向剪力，剪力牆中的軸力減小，結構抗側剛度削弱。

林同炎設計尼加拉瓜美洲銀行時即應用的此原理。在風及小地震作用下的週期T=1.33秒，地震水平力F=2700KN；大震作用下連梁開裂後，其抗剪承載力削弱，結構主週期變成T=3.5秒，地震水平力F=1300KN。

剪力牆與連梁的關係示意圖及震後的美洲銀行

2）剪力由構件的抗拉（壓）能力抵抗

如果增加一根斜杆，如下圖所示的懸臂結構稱為桁架。此時我們發現，懸臂結構的水平和豎向的剪力都由斜杆軸力的分量來承擔了。如果將手機轉過90度，這就是支撐框架。

桁架示意圖

四、構件與結構

一般我們認為結構可以看成是由一個個構件組裝而成，但也可以看成由一根巨大的構件從中掏空而成。本文即介紹了將結構作為構件來考慮的一種邏輯。這兩者應該是一個辯證的關係。這兩種不同的看法，還會形成結構形態優化的兩種截然不同的方法。一種是枚舉法、一種是拓撲優化（扯遠了，以後再介紹）。

由於人類對於材料的認知，目前還停留在一維的階段。對於結構驗算，我們傾向於將結構看成由構件組裝而成，所有的結構驗算都是將非常複雜的問題降維。直至降維到鋼材的單向受拉承載力、混凝土的單向受壓承載力。

結構、構件、材料的關係

但為什麼我們做設計時感覺是在驗算構件？因為常用的設計軟件通過各種近似手段，將結構的內力降一維到了構件層次的外力，再將材料的承載力升一維到構件承載力。最終體現在操作層面就是我們在驗算構件。本文第三節是從設計的角度講了一下升維的邏輯，一般我們所說的結構概念大抵是這樣一個升維的概念吧。

三體世界中一個11維的粒子可以包含整個太陽系的信息，並且可以任意地降維、升維。如果有一個比人類超前得多的文明，看到我們還在通過把三維的問題降到二維的層面上去解決，是否會覺得可笑。未來如果有一天，計算一棟樓就像計算一根構件一樣，不用再降維，那效率應該是很高的。