1979年，遊戲機公司雅達利（Atari）發佈了最受玩家歡迎的一款遊戲《爆破彗星》。遊戲玩法是擊毀空間中的小行星和飛碟，以免在飛行過程中遭到撞擊，或遭到飛碟的火力攻擊。該遊戲的街機版本在美國大獲成功，遊戲公司不得不為街機安裝更大容量的遊戲幣儲存空間，以使每臺機器可以接收到大量遊戲幣。
在計算機遊戲中，宇宙是何形狀？
不過，當我們以一種數學觀點來觀察該遊戲的幾何形狀時，便會發現其中十分有趣的地方：當飛船從屏幕上方消失後，它又神奇地出現在屏幕的下方。同樣地，當你操作的飛船從屏幕左側飛出時，它又會立刻出現在屏幕右側。接下來發生的事情就是太空人完全被限制在這個二維世界中，屏幕中的圖景便是整個宇宙。儘管這是一個有限的宇宙，但是，它並沒有邊界。因為太空人永遠不會撞到邊界線，他飛來飛去的地方並非一個長方形，而是一個更有意思的宇宙。那麼，這個宇宙到底是什麼形狀的呢？我們能否將其描述出來呢？
如果太空人從屏幕上方飛出然後立刻出現在屏幕下方，那麼，這說明宇宙中的這兩個部分一定是連接在一起的。假設計算機屏幕是用彈性橡膠製成的，我們便可將其捲曲起來，使其頂部和底部連在一起。當太空人縱向飛行時，我們就能看到，他實際上是在圍繞圓柱體飛行。
那麼，另外一個方向上又是什麼呢？因為當飛船從屏幕的左側飛出後，會馬上進入屏幕右側，所以，這個圓柱體的兩端也必須是相連的。如果把所有應當相連的點都標記出來，我們就會發現，必須要把圓柱體彎成圓形，而且要使其頂端和底端連接在一起才行。由此可見，我們的太空人所身居的宇宙實際上是個甜甜圈的樣子，或者數學家認為的圓環體。
上述我用一塊橡膠來論證宇宙形狀的方法，實際上是數學家在 100年前開始觀察形狀的一種方式。對古希臘人來說，幾何（幾何的英文詞條 Geometry 便源於希臘語，原意為“測量地球”）是關於計算點和角度之間的距離的一門學問。然而，對於遊戲中太空人的宇宙形狀的分析，更重要的是與它的整體連接方式相關，而非與太空人的宇宙中的實際距離相關。這種全新的觀察形狀的方式便是拓撲學。藉助於這種新方式，我可以將其假想為橡膠或橡皮泥製品，隨意地對其彎曲和連接。
用拓撲學觀察幾何形狀
很多人每天都在使用拓撲地圖。你能認出下面這張圖是什麼地圖嗎？這是一張倫敦地鐵系統的地理路線圖。儘管這張圖在地理上是準確的，但使用起來很不方便。因此，倫敦人現在主要使用的是拓撲地鐵地圖。這類地圖最早由哈里·貝克在 1933年設計，他把地理路線圖拉直鋪開，從而使用起來更加方便。如今，這類地圖已經遍佈世界各地。
圖1 倫敦地鐵的地理路線圖
要弄清楚能否解開一個繩結，這也是拓撲學上的一個問題，因為在解繩的過程中，我們可以把繩子繞來繞去，而無需將其剪斷。這一點對於生物學家和化學家來說是極為重要的，因為人類的 DNA往往會纏繞成奇怪的結。有些疾病，比如老年痴呆症，可能就與 DNA的打結方式存在聯繫，而數學則具備解開這些謎團的潛能。
20世紀初期，法國數學家昂利·龐加萊開始思索，以拓撲學的觀點來看，世界上到底存在多少種不同的表面結構。這就像是尋找雅達利遊戲中的二維太空人所能棲居其間的所有形狀。
龐加萊的興趣在於以拓撲視角來觀察這些宇宙，如果兩個宇宙無需裁剪就能轉換為彼此的形狀，那麼這兩個宇宙便可被視為相同的宇宙。比如，一個球體的二維表面在拓撲範疇上等同於一個橄欖球的二維表面，因為這二者可以互相變換。
但是，這個球形宇宙和雅達利遊戲中太空人飛來飛去的圓環體則分屬不同的拓撲形狀，因為在沒有裁剪和粘貼的情況下，我們無法把一個球體變換為一個甜甜圈的樣子。那麼，其他形狀都是什麼樣的呢？
圖2 昂利·龐加萊發現拓撲分類中的前 4 個形狀，在該分類中， 龐加萊給出了各種將二維平面摺疊起來的方式
龐加萊證明出，無論一個形狀有多麼複雜，它最終總是可以變換為下列形狀中的一種：球體、單洞圓環體、雙洞圓環體、三洞圓環體，以及包含任何有限數量洞口的圓環體。從拓撲學的觀點來看，這就是雅達利太空人棲居其中的所有可能的宇宙形狀。形狀的特徵由洞（數學家稱之為屬）的數量決定。比如，茶杯在拓撲學上等同於一個百吉餅，因為兩者均只有一個洞口。茶壺上則有兩個洞，一個在壺口，一個在壺蓋，因此它能夠變換為一個雙圈餅乾的模樣。
一個關於拓撲學的思考題
圖3中的形狀可能更難理解一些，這個形狀中有兩個洞，因此可以變換為一塊雙圈餅乾的模樣。但由於圖中兩個圓環套在一起，看上去似乎一定要動用剪刀才能使其成功變換，但其實並不需要。
留下一個思考題：如何通過持續變形，在不動用剪刀的情況下， 將兩個彼此相扣的圓環解開？
圖3
圖4即是利用不斷變形的方式把 2 個相扣圓環變換為 1 個雙洞圓環體的過程，你get到了嗎？
圖4
本文節選自《神奇的數學：牛津教授給青少年的講座》
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