夏仙寶
其實這樣的函數非常多,藉助狄利克雷函數,我們可以方便地構造出很多例子,首先來介紹一下狄利克雷函數:
![](http://p2.ttnews.xyz/loading.gif)
![](http://p2.ttnews.xyz/loading.gif)
狄利克雷函數是最典型的一個處處不連續的函數,也因為這一奇怪的性質,被人們稱為病態函數。利用狄利克雷函數,我們可以構造只在一點連續的函數,只需要將x為有理數時的取值改造一下便可這樣一來,這個函數就在x=0處時是連續的,而在任何其它點都是斷開的。我們來證明一下,首先來證明在x=0處連續。
很明顯:f(0)=0,接下來來看0點的左右極限:
函數值等於極限值,因此在x=0處是連續的。
再看其它的點x=a處,因為剛才我們已經看到了狄利克雷函數,這個證明方法幾乎是一樣的。a取任何非零值的時候,在它的左右任意小的領域內都含有無數多的有理數和無理數,這就使得它左右極限不存在,因而是斷開的。
有了這個例子,我們就可以構造出很多隻在0這一點連續的函數。只要將x為有理數時的取值改成任意一個在零點時連續,並且其它點不等於常數0的函數就可以了。即順便提一句,上面這個函數不只是只在一點連續,它甚至是隻在一點可導。