凌毅清

要說清楚這個問題，就首先要弄清楚極限是什麼意思，在數學分析裡面，我們給數列極限下了嚴格的定義

這就是數列極限的ε-N定義，利用它，我們可以很清楚的說明一些極限問題。比如我們知道1/n，當n無限大時極限是0，也就是說
利用上面的極限定義，我們就可以證明如下

數學救火隊長

這個挺好證明的，不過要分兩種情況討論：

一、大於1的數無數次開方

討論之前，我們先要明確2點。即一個大於1的數開方，其值會變小，但不會小於1。下面是證明：

因為， n（n-1）>0，

所以，n^2-n>0，

所以，n^2 > n

所以， n > √n

即一個大於1的數開方，其開方值會變小。

又因為n > 1，

所以，√n > 1。

即一個大於1的數，其開方值會大於1。

知道這兩個結論，我們就很容易討論一個大於1的數無限次開方的問題了。

因為這個大於1的數每次開方，其開方值都會變小。所以，隨著開方次數的增多，這個開方值逐漸變小。如果開方次數無限多，那麼它就無線變小。但由於開方值總大於1，所以無限次開方之後，其開方值只能夠無限接近於1，但是卻不能等於1。

證畢。

二、大於0小於1的數的無限次開方。

對於這樣的數，其開方值會變大，大不會超過1。下面證明：

因為，n(n-1)<0

所以， n^2 < n，

所以n < √n，即這個數開方後，其值變大。

又因為n < 1，

所以√n < 1。即這個數的開方值，總小於1。

因此，對於一個小於1大於0的數來說，其每次開方，開方值都會變大。也就是說，對其無數次開方後，其值會無限增大，但卻不能超過1。因此，無數次開方後只能夠接近於1。

證畢。

三、結論

所以綜上，對於一個非1的正數，其無限次開方後，開方值無限接近於1。

科學探秘頻道

稍微修正一下問題，應該是：

為什麼正數無數次開方後無限接近於1？

因為 0 的無數次開方 仍然是 0，而負數開方是虛數。

對任意實數 x（x≥0）的開方可以看成是一個分數冪的冪函數：

f(x) = √x = x¹ᐟ²

繪製成圖形見圖1中的綠色曲線。

• 考慮 f 定義域取 [1, +∞) 的部分。

我們可以找到兩個函數 g(x) = 1 和 h(x) = (x+1)/2，使得 對於任意 x ∈ [1, +∞) 有：

g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) ①

驗證：

對於 任意 x ∈ [1, +∞)， 因為 x ≥ 1 所有 √x ≥ √1 = 1，即 f(x) ≥ g(x)。

根據完全平方式，有

y² - 2y + 1 = (y - 1)² ≥ 0，

於是：

(y² + 1)/ 2 - y = (y² - 2y + 1) / 1 ≥ 0 / 2 = 0

令 y = √x 帶入上面不等式得到：

(x + 1)/ 2 - √x ≥ 0

即， h(x) - f(x) ≥ 0，從而，h(x) ≥ f(x)。

其實，繪製成圖，就一目瞭然了：

對於任意 x₀ ∈ [1, +∞) 無數次的開方，會得到如下序列：

f₁ = f(x₀) = √x₀, f₂ = f(f(x₀)) = √√x₀, f₃ = f(f(f(x₀))) = √√√x₀, ...

這相當於反覆迭代調用 f，相應地，我們也可以得到 g 和 h 的反覆迭代序列：

g₁ = g(x₀) = 1, g₂ = g(g(x₀)), g₃ = g(g(g(x₀))) = 1, ...

h₁ = h(x₀) = x₀/ 2 + 1/2, h₂ = h(h(x₀)) = x₀/2² + 1/2 + 1/2², h₃ = h(h(h(x₀))) = x₀/2³ + 1/2 + 1/2² + 1/2³, ...

顯然 序列 {g₁, g₂, g₃, ...} 是一個恆 1 的常數序列，所以，當 i → ∞ （數學中，→ 表示“無限趨近於”的意思）時，有 gᵢ = 1，當然 gᵢ → 1；

而 序列 {h₁, h₂, h₃, ...} 的通項公式是：

hᵢ = x₀/2ⁱ + (1/2 + 1/2² + 1/2³ + ... + 1/2ⁱ)

括號內部分是一個a₁ = q = 1/2 的等比數列，根據 等比數列求和公式，有：

Sᵢ = a₁(1-qⁱ)/(1-q) = 1/2 (1-1/2ⁱ)/(1-1/2) = 1-1/2ⁱ

於是：

hᵢ = x₀/2ⁱ + 1 - 1/2ⁱ =1 + ( x₀ - 1)/2ⁱ

因為，當 i → ∞ 時，2ⁱ → ∞，而 (x₀ - 1) 是常數，所以 (x₀ - 1)/2ⁱ → 0，進而 hᵢ → 1。

綜上，我們得到：

當 i → ∞ 時，有 gᵢ，hᵢ → 1，而根據不等式 ① 我們知道 gᵢ ≤ fᵢ ≤ hᵢ，於是根據 加逼定理，我們就得到：當 i → ∞ 時 fᵢ → 1。

問題在 [1, +∞) 的部分，得證。

• 考慮 f 定義域取 (0, 1] 的部分。

令 y = 1/x ，則有：

f(y) = √(1/x) = 1/√x = 1/f(x)

f(f(y)) = √(1/f(x)) = 1/√f(x) = 1/f(f(x))

...

而，對於 y₀ ∈ (0, 1]，令 x₀ = 1/y₀，顯然 x₀ ∈ [1, +∞) ，於是有：

f'₁ = 1/f₁, f₂' = 1/f₂, f₃' =1/f₃ , ...

上面已經證明了：當 i → ∞ 時 fᵢ → 1，而當 fᵢ → 1 時 1/fᵢ → 1，即 fᵢ' → 1。

問題在 (0, 1] 的部分，得證。

對於上面的 冪函數 f = √x，當 a = 1 時，我們發現：

f(a) = a，

數學上稱這樣的 a 為 關於 f 的不動點。

另外，再回到 f 定義域取 [1, +∞) 的部分，仔細觀察，我們還會發現：

f'(x) = (√x)' = 1/(2√x)；

h'(x) = ((x+1)/2)' = 1/2；

於是，當 x ≤ [1, +∞) 時，有：

f'(x) = 1/(2√x) ≤ 1/2 = h'(x)

即，f 變化率小於 h，於是有：

對於任意 x,y ∈ [1, +∞)，有|f(x) - f(y)| ≤ |g(x) - g(y) |

而 |g(x) - g(y) | = |(x+1)/2 - (y+1)/2| = (1/2) |x - y|，我們令：

d(x, y) = |x - y| （注：函數 d 為 實數軸上兩點 x， y 的距離，稱為距離函數。）

α = 1/2

於是最終得到：

函數 f 對於任意 x,y ∈ [1, +∞)，有 d(f(x), f(y)) ≤ α d(x, y) ②。

在數學上，如果 可以找到 一個 正實數 α > 0，使得 一個函數 f 可以滿足不等式②，則稱 f 是有界函數（也稱 李普希茨映射），特別地，當 0 < α < 1 時，稱 f 為 壓縮映射（函數）。

將，上面兩個發現，關聯起來，我們可以大膽猜想：“壓縮映射 一定具有 不動點”，這就引出來著名的 壓縮映射原理（也稱 Banach 不動點定理）：

設 連續映射 f 是 完備距離空間 (X, d) 中的 一個壓縮映射，則 存在 唯一 a ∈ X 是 關於 f 的 不動點。

什麼是 距離空間 ?

通俗的來說，可以測量距離的空間；準確來說，距離空間就是定義了 距離函數 d 的 線性空間，實數軸 R 就是 一個線性空間，再加上上面 d 的定義，於是 (R, d) 就是一個距離空間。

什麼是 完備的？

通俗來說，就是沒有漏洞；準確來說，就是 空間中 所有 柯西列 都是 收斂列。

再進一步，取 任意 x₀ ∈ X，則 序列 {xᵢ }：

x₁ = f(x₀)，xᵢ = f(xᵢ₋₁)

必然，收斂於 a。

問題中，就是壓縮映射原理，對於函數 f = √x 在距離空間 ([1, +∞), d) 中的應用。所以，雖然題主的問題貌似簡單，其本質卻是《泛函分析》 中的一個深刻定理。

最後，附上壓縮映射原理的證明：

序列 {xᵢ } 滿足：

d(xᵢ₊₁, xᵢ) = d(f(xᵢ), f(xᵢ₋₁)) ≤ α d(xᵢ, xᵢ₋₁) = α d(f(xᵢ₋₁), f(xᵢ₋₂)) ≤ α² d(xᵢ₋₁, xᵢ₋₂) = ... ≤ αⁱ d(x₁, x₀)

另外，根據 距離函數 的三角不等式性質，對於 任意 自然數 u 有：

d(xᵢ₊ᵤ, xᵢ) ≤ d(xᵢ₊₁, xᵢ) + d(xᵢ₊₂, xᵢ₊₁) + ... + d(xᵢ₊ᵤ, xᵢ₊ᵤ₋₁)

將上面結合起來，有：

d(xᵢ₊ᵤ, xᵢ) ≤ αⁱ d(x₁, x₀) + αⁱ⁺¹ d(x₁, x₀) + ... + αⁱ⁺ᵘ⁻¹ d(x₁, x₀) = [αⁱ /(1 - α)] d(x₁, x₀)

當 i → ∞ , d(x₁, x₀) 和 (1 - α) 是常數，而 由於 0 < α < 1 因此 αⁱ → 0 ，進而 d(xᵢ₊ᵤ, xᵢ) → 0。

這就證明了 {xᵢ } 是柯西列，由於 X 是完備的，所有 {xᵢ } 必然收斂，設，這個極限是 a。

對於等式 f(xᵢ) = xᵢ₊₁ 兩邊取極限，得到：

lim_{i → ∞} f(xᵢ) = lim_{i → ∞} xᵢ₊₁ = a

而 f 是連續的，因此有：

lim_{i → ∞} f(xᵢ) = f(lim_{i → ∞}xᵢ ) = f(a)

於是，得到：

f(a) = a

這就證明了 a 是關於 f 的一個不動點。

下面證明 a 唯一。

設，a' 是 關於 f 的另一個不動點，則：

d(a, a') = d(f(a), f(a')) ≤ α d(a, a')

由於 0 < α < 1 ，要讓上面的不等式成立，則必須：

d(a, a') = 0

這就說明 a 和 a' 之間的距離為 0，即， a = a'。

縮映射原理得證。

（關於，壓縮映射原理的證明可能需要一些的基礎鋪墊才能看懂，關於這些鋪墊有興趣的網友可以參考《泛函分析》，這裡就是不復述了。）

關於不動點，還有另外一個著名的 Brouwer 不動點定理：

設 D ∈ Rⁿ ，D 是 非空的，緊緻的，凸集，則 任何 連續映射 f: D → D ，必然在 D 中存在 不動點（不一定唯一）。

一個 n 維閉實心球就是 典型的 非空緊緻凸集；

一個 n 維球面也是，比如：我們的地球表面，於是就有了：

將任意一張世界地圖揉成團，扔在地上，則 地圖和地面的接觸點，確定了 一個連續映射 f，進而 必然存在 地球上一個點 在 f 下不動。

（其實，題主的這個問題還能引出：李普希茨條件（甚至 赫爾德條件） 它對於確定解微分有唯一解，非常重要，但這就是扯遠了，這裡打住。）

（由於本人數學水平有限，出錯在所難免，非常歡迎各位同學和老師批評指正。)

補充：

開始那個證明是為了引出 不動點定理才寫的複雜。其實可以直接證明如下：

函數 f＝√x (x > 0) 的迭代序列為：

f₁ = √x = x^{1/2},

f₂ = √√x = (x^{1/2})^{1/2}= x^{1/2²}

f₃ = √√√x = ((x^{1/2})^{1/2})^{1/2} = x^{1/2³}

...

其通項公式為：

fᵢ ＝x^{1/2ⁱ}

當 i → ∞時，有 1/2ⁱ→0，進而 fᵢ → x⁰＝1。

得證。

思考思考的動物

誰告訴你的？0的多少次方都是0，1呢？偶次方根和奇次方根呢？

郭保莊之古今齋

冪指數極限問題

設這個數為x， 條件：x > 0

證明：非零正數的零次方 ➡️ 接近於1

非零正數位於根號下

根號上⬆️ 開方指數 ➡️ ∞

每一次開方，導致：指數數值 ⬇️ 降低

當：開方∞次 即：指數被除∞次

那麼：根號上指數會無限➡️趨近於 0

導致：非0正數 ➡️接近於 0次方

所以：一個非零正數的無窮次開方

♾ 接近於 1

騎著巴馬遛安培

給你一個最淺顯易懂的答案吧

開方就是二分之一次方 開兩次就是四分之一次方 開n比方就是1/2n次方 隨著n的增大 越來越接近於0次方 也就是1 如果說開無限次方我認為你的問題所說的有誤 不是接近1 而是就是1

喵搞哦

設a為一個正數，X=a^(1/2)^n，(n=1,2,3……),當n=∞時，就相當於對a進行了無數次開方，由極限可知當n=∞時，(1/2)^n=0，所X=a^0=0，

阿姆河之春

1）首先要限定正數，a > 0

2）原命題為a開∞次方，收斂於1

3）命題等價於n->∞，(1/n)lg(a)->lg(1)=0

顯然，n->∞時(1/n)->0，上式成立。

潘飛panfee

限在正實數範圍內討論。一個大於1的數不斷開方逼近於1，因為1是最小的自然數。小於1的正數不斷乘方逼近於0，因此小於1的正數不斷開方也逼近於1。從數軸上看就是，在不斷開方的運算中，大於1的數從右方逼進於1，小於1的正數從左方逼進於1。

王祖蔭1

🍎無限的去切，在你不偷吃的情況下，刀上總會留些果汁，切的越多留的越多，但是刀上絕對不會留下整個🍎，還是直接吃吧，省事不浪費，別亂想!鬧心😁😁😁😁😁😂😂😂😂

關鍵字: 不動點 定義 映射