黎曼猜想是關於黎曼ζ函數ζ(s)的零點分佈的猜想，由數學家黎曼於1859年提出。有些數具有不能表示為兩個更小的整數的乘積的特殊性質，例如，2,3,5,7，等等。這樣的數稱為素數；它們在純數學及其應用中都起著重要作用。在所有自然數中，這種素數的分佈並不遵循任何有規則的模式；然而，德國數學家黎曼（1826~1866）觀察到，素數的頻率緊密相關於一個精心構造的所謂黎曼zeta函數ζ（s）的性態。著名的黎曼假設斷言，方程ζ（s)=0的所有有意義的解都在一條直線z=1/2+ib上，其中b為實數，這條直線通常稱為臨界線。這點已經對於開始的1,500,000,000個解驗證過。證明它對於每一個有意義的解都成立將為圍繞素數分佈的許多奧秘帶來光明。與費爾馬猜想時隔三個半世紀以上才被解決，哥德巴赫猜想歷經兩個半世紀以上屹立不倒相比，黎曼猜想只有一個半世紀的紀錄還差得很遠，但它在數學上的重要性要遠遠超過這兩個大眾知名度更高的猜想。黎曼猜想是當今數學界最重要的數學難題。
楊-米爾斯存在性和質量缺口：大約半個世紀以前，楊振寧和米爾斯發現，量子物理揭示了在基本粒子物理與幾何對象的數學之間的令人注目的關係。該問題的正式表述是：證明對任何緊的、單的規範群，四維歐幾里得空間中的楊米爾斯方程組有一個預言存在質量缺口的解。該問題的解決將闡明物理學家尚未完全理解的自然界的基本方面。在這一問題上的進展需要在物理上和數學上兩方面引進根本上的新觀念。
霍奇猜想：二十世紀的數學家們發現了研究複雜對象的形狀的強有力的辦法。基本想法是問在怎樣的程度上，我們可以把給定對象的形狀通過把維數不斷增加的簡單幾何營造塊粘合在一起來形成。這種技巧是變得如此有用，使得它可以用許多不同的方式來推廣；最終導致一些強有力的工具，使數學家在對他們研究中所遇到的形形色色的對象進行分類時取得巨大的進展。不幸的是，在這一推廣中，程序的幾何出發點變得模糊起來。在某種意義下，必須加上某些沒有任何幾何解釋的部件。霍奇猜想斷言，對於所謂射影代數簇這種特別完美的空間類型來說，稱作霍奇閉鏈的部件實際上是稱作代數閉鏈的幾何部件的(有理線性)組合。
歐幾里得第五公設：歐幾里得第五公設：同一平面內的兩條直線與第三條直線相交，若其中一側的兩個內角之和小於二直角，則該兩直線必在這一側相交。因它與平行公理是等價的，所以又稱為歐幾里得平行公設，簡稱平行公設。
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