……我決心放棄那個僅僅是抽象的幾何。這就是說，不再去考慮那些僅僅是用來練習思想的問題。我這樣做，是為了研究另一種幾何，即目的在於解釋自然現象的幾何。——笛卡爾
一、座標幾何的緣起
費馬和笛卡爾是數學中下一個巨大創造的主要負責人。他們和笛沙格及其追隨者一樣，關心到曲線研究中的一般方法。但他們兩人在很大程度上參加了科學研究工作，敏銳地看到了數量方法的必要性，而且注意到代數具有提供這種方法的力量。因此，他們就用代數來研究幾何。他們創立的科目叫做座標幾何或解析幾何，其中心思想是把代數方程和曲線曲面等聯繫起來。這個創造是數學中最豐富、最有效的設想之一。
費馬對於微積分的貢獻，如作曲線的切線、計算最大值和最小值等，是為解答科學問題而設計的。他還對光學作了第一等的貢獻。他對方法論的興趣，在他的一本小書《平面和立體的軌跡引論》（Ad Locos Planos et Solidos Isagoge）中的一個明白的敘述裡得到證實（此書寫於1629年，但1679年才出版）。他在書中說，他找到了一個研究有關曲線問題的普遍方法。
至於笛卡爾，他是17世紀中最偉大的科學家之一，他把方法論作為他一切工作的首要對象。
二、費馬的座標幾何
費馬從丟番圖出發開始他的數論工作。他關於曲線的工作則從研究希臘的幾何學家特別是阿波羅尼奧斯開始。阿波羅尼奧斯的《論平面軌跡》（On Plane Loci）一書久已失傳，費馬卻是把它重新寫出的人之一。他對代數作了貢獻之後，準備把它用來研究曲線。這一點他在上述小書《軌跡引論》中做了。他說他打算髮起一個關於軌跡的一般研究，這種研究是希臘人沒有做到的。
他考慮任意曲線和它上面的一般點J，J的位置用A、E兩字母定出：A是從點O沿底線到點Z的距離，E是從Z到J的距離。他用的座標就是我們所說的傾斜座標，但是y軸沒有明白出現，而且不用負數。他的A、E就是我們的x、y。
費馬敘述出他的一般原理：“只要在最後的方程裡出現了兩個未知量，我們就得到一個軌跡，這兩個量之一，其末端就描繪出一條直線或曲線。”例如，他寫出“D in A aequetur Bin E”（用我們的記號就是Dx = By），並指出這代表一條直線。他又給出d(a- x) = by，並肯定它也代表一條直線。方程B² - x² = y²代表一個圓，a² - x² = ky²代表一個橢圓，a² + x² = ky²和xy= a各代表一條雙曲線，而x² = ay代表一條拋物線。
因費馬不用負座標，所以他的方程不能代表整個曲線，但他領會到座標軸可以平移或旋轉，因為他給出一些較複雜的二次方程，並給出它們可以簡化到的簡單形式。他肯定：一個聯繫著A和E的方程，如果是一次的，就代表直線軌跡，如果是二次的，就代表圓錐曲線。在他的《求最大值和最小值的方法》（Methodus ad Disquirendam Maximam et Minimam，1637）中，他引進了曲線
和
三、笛卡爾
笛卡爾是第一個傑出的近代哲學家，是近代生物學的奠基人，是第一流的物理學家，但只偶然地是個數學家。不過，像他那樣富於智力的人，即使只花一部分時間在一個科目上，其工作也必定是很有意義的。
他於1596年3月31日出生在圖賴訥的拉哈耶（La Haye in Touraine，現改名為笛卡爾），父親是個相當富有的律師。8歲的時候，父親把他送進安茹的拉弗萊什（La Fleche in Anjou）的一個耶穌會學校。因為他身體不好，被允許每天早上在床上工作，這習慣他一直保持到老。他16歲離開拉弗萊什，20歲畢業於普瓦提埃（Poitiers）大學，去巴黎當律師。
在那裡他遇見米道奇和梅森神甫，花了一年的時間和他們一起研究數學。但他卻變得不安靜起來，於1617年投入了奧拉日（Orange）的莫里斯（Maurice）王子的軍隊。在那以後的九年裡，他時而在幾個軍隊中服役，時而在巴黎狂歡作樂，但一直繼續研究數學。在荷蘭佈雷達（Breda）的招貼牌中有一個挑戰性的問題，他給解決了，這使他自信有數學才能，從而開始認真地鑽研數學。
他回到巴黎，為望遠鏡的威力所激動，閉門鑽研光學儀器的理論與構造。1628年他移居到荷蘭，得到較為安靜自由的學術環境。他在那裡住了20年，寫出了他的著名作品。1649年他被邀請去瑞典作克里斯蒂娜（Christina）女皇的教師。1650年他在那裡患肺炎逝世。
他的第一部著作《探求真理的指導原則》（Regulae ad Directionem Ingenii）是1628年寫成的，但在他死後才出版。他的第二部重要著作《世界體系》（Le Mond，1634）包括一個宇宙漩渦理論，是用來說明行星是如何轉動不息而且保持在它們繞日的軌道中的。但他害怕教會的迫害，沒有發表。
1637年，他出版了他的《更好地指導推理和尋求科學真理的方法》（Discours de la méthode pour bien conduire sa raison,etchercher la vérité dans les sciences）。此書是文學和哲學的經典著作，包括三個著名的附錄：《幾何》（La Géométrie）、《折光》（LaDioptrique）和《隕星》（Les Météores）。其中的《幾何》部分包括了他關於座標幾何和代數的思想。這是笛卡爾寫的唯一的數學書，雖然他在許多通信中也確實傳播過許多其他關於數學的思想。《方法論》一書立刻給他帶來了很大的聲譽。1644年，他發表了《哲學原理》（Principia Philosophiae），專論物理科學，特別是運動定律和漩渦理論。此書也包括《世界體系》中的材料，他相信這次已經寫得使教會容易接受些。1650年他發表了《音樂概要》（Musicae Compendium）。
笛卡爾的科學思想支配著17世紀。他的教導和著作，因為表達得非常清楚動人，甚至在非科學家中間也很通行。只有教會排斥他。實際上笛卡爾是虔誠的，並且他相信他已經證明了上帝的存在，因而感到高興。但他教導說，聖經不是科學知識的來源，只憑理性就足以證明上帝的存在，並且說，人們應該只承認他所能瞭解的東西。教會對他這些話的反應是，在他死後不久，就把他的書列入《禁書目錄》（Index of Prohibited Books），並且當在巴黎給他舉行葬禮的時候，阻止給他致悼詞。
笛卡爾是通過三條途徑來研究數學的：作為哲學家，作為自然的研究者，作為關心科學的用途的人。他生活在清教與天主教間的爭論達到高潮的時代，又在科學剛剛開始發現一些向宗教教條挑戰的自然規律的時代。因此，他開始懷疑他在學校裡得到的一切知識。早在他在拉弗萊什結束了課業的時候，他就斷定他受的教育僅僅加重了他的煩悶。他相信除了認識到自己的無知外，沒有什麼進步。
由於笛卡爾曾在歐洲最著名學校之一里待過，又由於他相信自己在那裡不是一個劣等生，他感到有理由去懷疑在任何地方有沒有可靠的成套知識。於是他就想這個問題：我們是怎樣知道一些東西的？
但他不久就斷定邏輯本身是無結果的：“談到邏輯，它的三段論和其他觀念的大部分，與其說是用來探索未知的東西，不如說是用來交流已知的東西，或者用來無判斷地空談我們所不知道的東西。”所以邏輯不能提供基本的真理。
到哪裡去找基本道理呢？他排斥了通行的、大部分是經院派的哲學，說它雖然有吸引力，但顯得沒有明確的基礎，而且所用的推理法並不總是無可非議的。他說，哲學僅僅提供一個“從表面上看來是到處為真的討論工具”。神學指出了上天堂去的道路，他自己也和別人一樣激動著要上那兒去，但這條道路是正確的嗎？
在一切領域裡建立真理的方法，據他說，是在1619年11月10日出現在他夢裡的，那時他正在一次軍事行動中，那個方法就是數學方法。他為數學所吸引是因為它的立足於公理上的證明是無懈可擊的，而且是任何權威所不能左右的。數學提供了獲得必然結果以及有效地證明其結果的方法。此外，笛卡爾還清楚地看到，數學方法超出它的對象之外。他說：“它是一個知識工具，比任何其他由於人的作用而得來的知識工具更為有力，因而它是所有其他知識工具的源泉。”
他給出結論：“幾何學家慣於在困難的證明中用來達到結論的成長串的簡單而容易的推理，使我想到所有人們能夠知道的東西，也同樣是互相聯繫著的。”
從他的數學方法的研究中，他抽出了在任何領域中獲得正確知識的一些原則：不要承認任何事物是真的，除非它在思想上明白清楚到毫無疑問的程度；要把困難分成一些小的難點；要由簡到繁，依次進行；最後，要列舉並審查推理的步驟，要做得徹底，使之毫無遺漏的可能。
這些是他從數學家的實踐中提煉出來的方法要點。他希望以此去解決哲學、物理學、解剖學、天文學、數學和其它領域中的問題。雖然這個大膽的計劃並未成功，但他確實對於哲學、科學和數學作出了可觀的貢獻。心的直觀力量（即對於基本的、清楚的、明顯的真理的直接瞭解）和演繹推理，是他的知識哲學的要素。用別的方法得來的所謂知識，由於有錯誤的嫌疑和危險性，都應該摒棄。他在《方法論》中寫的三個附錄，就是為了證明他的方法是有效的，他相信他已經證明了。
笛卡爾創立了現代哲學。他找出了一些明白到他可以立刻接受的真理作為公理，最後他定出四條：（a）我思故我在（cogito, ergo sum）；（b）每一現象必有原因；（c）效果不能大於它的原因；（d）心中本來就有完美、空間、時間和運動的觀念。根據（c），完美的觀念（即“完美的東西”的觀念）不能從人的不完美的心中推導或創造出來，它只能從一個完美的東西得到。因此，上帝存在。因為上帝不欺騙我們，所以我們就能保證：在直觀上很明白的數學公理，以及通過純粹的思想程序從這些公理得出來的推論，確實可應用於物理世界，因而它們都是真理。由此可見，上帝一定是按照數學定律來建立自然界的。
他相信他有明白而清楚的數學概念，例如三角形的概念。這些概念確實存在，而且是永恆的、不變的，它們的存在，不依賴於人是否正想著它們。因此，數學是永恆地客觀地存在著的。
笛卡爾的第二個主要興趣，是大多數和他同時代的思想家共有的，就是對自然界的瞭解。他用了許多年的時間在科學問題上，甚至廣泛地作了力學、水靜力學、光學和生物學方面的實驗。他的漩渦理論是17世紀中最有勢力的宇宙學。他是機械論哲學的奠基人：一切自然現象包括人體的作用，都可歸結到服從於力學定律的運動。但笛卡爾把靈魂除外。
他對於光學，特別對於透鏡的設計感興趣；他的《幾何》的一部分和《折光》都是講光學的。他和斯涅耳分享發現光的折射定律的榮譽。他的科學工作和哲學工作一樣，是根本性的而且是革命性的。
笛卡爾的科學工作的另一重要之點，是強調把科學成果付之實用。在這一點上，他同希臘人明白地公開地決裂。為了人類的幸福而去掌握自然，他追究了許多科學問題。對他來說，數學不是思維的訓練，而是一門建設性的有用科學。他與費馬不同，幾乎不注意美與協調性。他不推崇純粹數學，認為把數學方法只用到數學本身是沒有價值的，因為這不是研究自然。那些為數學而搞數學的人，是白費精神的盲目的研究者。
四、笛卡爾在座標幾何方面的工作
笛卡爾對方法的普遍興趣和對代數的專門知識，在幾何上組成聯合力量。他對於下述事實深感不安：歐幾里得幾何中每一證明，總是要求某種新的、往往是奇巧的想法。他明白地批評希臘人的幾何過於抽象，而且過多地依賴於圖形，以至“它只能使人在想象力大大疲乏的情況下，去練習理解力”。他對當時通行的代數也加以批評，說它完全受法則和公式的控制，以至於“成為一種充滿混雜與晦暗、故意用來阻礙思想的藝術，而不像一門改進思想的科學”。他因此主張採取代數與幾何中一切最好的東西，互相以長補短。
他著手開發把代數用到幾何上去。他完全看到代數的力量，看到它在提供廣泛的方法論方面，高出希臘人的幾何方法。他同時強調代數的一般性，以及它把推理程序機械化和把解題工作量減小的價值。他看到代數具有作為一門普遍的科學方法的潛力。他把代數應用到幾何的產物，是《幾何》一書。
這書是不容易讀的，許多模糊不清之處是故意為之，他自吹說歐洲幾乎沒有一個數學家能懂他的著作。他只約略指出作圖法和證法，留給別人去填入細節。他在一封信裡，把他的工作比作建築師的工作，即立下計劃，指明什麼是應該做的，而把手工操作留給木工與瓦工。他還說：“我沒有作過任何不經心的刪節，但我預見到對於那些自命為無所不知的人，我如果寫得使他們能充分理解，他們將不失機會地說我所寫的都是他們已經知道的東西。”在《幾何》中，他又給了一些別的理由，例如，他不願奪去讀者們自己進行加工的樂趣。後來有人給此書寫了許多評註，使它易於瞭解。
他的思想必須從他書中許多解出的例題裡去推測。他說，他之所以刪去絕大多數定理的證明，是因為如果有人不嫌麻煩而去系統地考察這些例題，一般定理的證明就成為顯然的了，而且照這樣去學習是更為有益的。
在《幾何》中，他開始仿照韋達的方式，用代數來解決幾何作圖的問題；後來才逐漸地出現了用方程表示曲線的思想。他首先指出，幾何作圖要求對線段加減乘除，對特別的線段取平方根，因為這幾種運算也包括在代數里，所以它們都可用代數的術語表示。
在考慮作圖問題時，笛卡爾說，我們必須假定問題已經解決，而用字母表示所有那些看來是作圖必需的已知和未知的線段。然後我們弄清楚這些線段之間的相互關係，使得同一個量能夠用兩種方式表示出來，這樣就得到一個方程。我們必須求出與未知線段數目相同的方程。如果方程不止一個，我們必須把它們組合起來，使得最後只剩下一個方程，其中只有一個未知的線段，用已知的線段表示出。笛卡爾然後說明怎樣利用該未知線段的代數方程來把它畫出。
假定某幾何問題歸結到尋求一個未知長度x，經過代數運算知道x滿足方程x2= ax + b2，其中a、b是已知長度。於是由代數學得出
（笛卡爾不考慮負根）。他畫出x如下：作直角三角形NLM，其中LM=b，NL=a /2。延長MN到O，使NO=NL=a/2。於是x就是OM的長度。
在第一卷書的前一半中，笛卡爾用代數解決的只是古典的幾何作圖問題。這是代數在幾何上的一個應用，並不是現代意義下的解析幾何。以上所說的問題，可以叫做確定的作圖問題，因為結果是一個唯一的長度。笛卡爾下一步考慮不確定問題，其結果有許多長度可以作為答案。他在這裡說：“也要求發現並描出這條包括所有端點的曲線。”笛卡爾著重指出，對於每個x，長度y滿足一個確定方程，因而可以畫出。如果方程是一次的或二次的，就可以按照第一卷的方法，用直線和圓把y畫出；對於高次方程，他說將在第三卷中說明怎樣畫y。
笛卡爾用帕普斯的問題來說明歸結到一個含有兩個未知長度的方程時該怎麼辦：在平面上給定三條直線，求所有這樣的點的軌跡，從這點作三條直線各與一條已知直線交於已知角（三個角不一定相同），使在所得的三條線段中，某兩條的乘積與第三條的平方成正比。如果給定四條直線，則要求四條線段中某兩條的乘積與其餘兩條的乘積成正比。如果給定五條直線，則要求五條線段中某三個的乘積與其餘兩個的乘積成正比。依此類推。
帕普斯曾宣稱，當給定的直線是三條或四條時，軌跡是一條圓錐曲線。在第二卷中，笛卡爾處理了四條直線的帕普斯問題。設給定的線是AG、GH、EF和AD，要求找出滿足CP * CR = CS * CQ的點C的軌跡。
笛卡爾記AP為x，PC為y。經過簡單的幾何考慮，他從已知量得出CR、CQ和CS的值，得到一個x和y的二次方程y² = Ay + Bxy + Cx + Dx²，其中A、B、C、D是由已知量組成的簡單的代數式。此即點C的軌跡方程。
笛卡爾的作法，是選定一條線（上圖中的AG）作為基線，以點A為原點。x值是基線上的長度，從A量起；y值是一個線段的長度，由基線出發，與基線作成一個固定的角度。這個座標系，我們現在叫做斜座標系。笛卡爾的x、y只取正值，他的圖侷限在第一象限之內。他斷言，容易證明曲線的次數與座標軸的選擇無關。他指出這個軸要選得使最後得到的方程愈簡愈好。他又邁出另外一大步，這就是考慮兩個不同的曲線，用同一座標軸來寫出它們的方程，並且聯立地解出這兩個方程來求出這兩條曲線的交點。
也是在第二卷裡，笛卡爾批判地考慮了希臘人關於平面曲線、立體曲線和線性曲線的區別。希臘人說，平面曲線是可以用尺規畫出的曲線，立體曲線是圓錐曲線，其餘的都是線性曲線，例如蚌線、螺線、割圓曲線和蔓葉線。希臘人也把線性曲線叫做機械曲線，因為需要用某些特殊機械來畫出它們。但是笛卡爾說，就是直線和圓，也需要一些工具。機械作圖的準確性是無關緊要的，因為在數學上只有推理才算數。笛卡爾排斥了這種思想：只有用直尺和圓規畫出的曲線才是合法的。他甚至提出一些用機械畫出的新的曲線。他用一句高度有意義的話來作結論：“幾何曲線”是那些可用一個唯一的含x和y的有限次代數方程來表示的曲線。因此，笛卡爾承認蚌線和蔓葉線是幾何曲線，其他如螺線和割圓曲線等，他都叫做“機械曲線”。
萊布尼茨比笛卡爾更進一步，用“代數的”和“超越的”字樣來替代笛卡爾的詞“幾何的”和“機械的”，他對曲線必須有代數方程這一要求提出抗議。實際上笛卡爾和他的同時代人都忽略了這個要求而以同樣的熱情去研究旋輪線、對數曲線、對數螺線（log ρ = aθ）和其他非代數曲線。笛卡爾開闢了整個的曲線領域。
笛卡爾下一步考慮幾何曲線的分類。含x和y的一次和二次曲線，屬於第一類，即最簡單類。笛卡爾說圓錐曲線的方程是二次的，但他沒有證明。三次和四次方程的曲線，構成第二類。五次和六次方程的曲線構成第三類，餘類推。他相信在每一類中，高次的那一個可以化為低次的，正如四次方程的解可以通過三次方程的解來求出。當然，他這個信念是不對的。
《幾何》的第三卷又回到第一卷的課題。它的目的是解決這樣的幾何作圖問題：引到三次和高次的方程，需要圓錐曲線和高次曲線。例如求兩個已知量a和q的兩個比例中項的作圖問題。對於q=2a的特殊情形，古希臘人做過很多嘗試，因為它是解決“倍立方”問題的一種方式。
笛卡爾的解決方法：設z是一個比例中項，則另一個必定是z²/a。z滿足z³ = a²q。這就是說，必須解一個三次方程。笛卡爾證明，z和z²/a可以藉助一條拋物線和一個圓，用幾何作圖法求出。
笛卡爾得到z，並不是聯立解拋物線和圓的方程而求出它們的交點，換句話說，他並不是在我們現在的意義下來圖解方程。他用的是純粹的幾何作圖法（但假定拋物線是可畫的）和z滿足上述方程的事實，以及圓和拋物線的幾何性質。笛卡爾在這裡做的和他在第一卷裡做的完全一樣，只不過在這裡未知長度滿足的方程是三次或高次的，而不是一次或二次的。他給出的關於問題的純代數解，以及隨之而來的作圖法，實際上和阿拉伯人給出的一樣。
笛卡爾不但立意說明某些立體問題怎樣可以在代數和圓錐曲線的幫助下得到解決，而且注意問題的分類，使人從中知道問題牽涉到什麼以及怎樣解決。他的分類法根據於作圖問題引出的代數問題的次數。如果方程是一次的或二次的，就可用直線和圓把圖作出。如果方程是三次或四次的，那就非用圓錐曲線不可。他無意中斷言：所有三次的問題都可化為三等分角和倍立方的問題，而且不用比圓更為複雜的曲線，三次問題是不能解決的。如果方程的次數高於四，作圖時就需要用比圓錐曲線更為複雜的曲線。
笛卡爾又強調曲線方程的次數是衡量曲線繁簡的標準。作圖時應該用最簡單的曲線（即最低次的方程）。他把曲線的次數強調到這個程度，以至認為像笛卡爾葉形線x²+y² - 3axy=0（下圖）這樣複雜的曲線，比曲線還要簡單。
笛卡爾把代數提高到重要地位，其意義遠遠超過他對作圖問題的洞察和分類。這個關鍵思想使人們能夠認識典型的幾何問題，並且能夠把在幾何形式上互不相關的問題歸在一起。代數給幾何帶來最自然的分類原則和最自然的方法層次。不僅可解性問題和作圖可能性問題能夠從平行於幾何的代數來漂亮、迅速、完全地決定，而且離開代數，決定就成為不可能的了。因此，體系和結構就從幾何轉移到代數。
在《幾何》第二卷的一部分和《折光》裡，笛卡爾用座標幾何作為助力，從事於光學的研究。他對透鏡設計非常關心。他在《折光》裡討論了折射現象。在他之前，開普勒和阿爾哈森已經注意到了下述說法對大的角度是不正確的：折射角和入射角成比例，其比例常數依賴於引起折射的介質。但他兩人沒有發現正確的定律。斯涅耳在1626年之前發現了（但未發表）正確的定律sin i /sin r = v1 /v2，其中v1是光在第一介質中的速度，v2是光進入第二介質後的速度。
笛卡爾於1637年在《折光》裡給出同樣的定律，他是不是獨立地發現了這個定律，至今還沒有考察清楚。他給出的證明是錯誤的。費馬立即對定律及其證明進行攻擊。這就引起了兩人之間長達十年之久的爭論。費馬一直到他從他的“最短時間原理”導出此定律後，才承認它是正確的。
笛卡爾在《折光》裡描述了眼的動作之後，進而考慮怎樣去恰當地設計望遠鏡、顯微鏡和眼鏡的聚焦透鏡。早在古代就知道球形透鏡不能使平行光線或從光源發出的光線聚焦於一點，因此什麼形狀的透鏡能起這樣的聚焦作用，還是一個沒有解決的問題。開普勒建議用某種圓錐截線，笛卡爾試圖設計一個能完全聚焦的透鏡。
他成功地解決了這個一般性問題：什麼樣的曲面作為兩種介質的交界面時，能使從第一種介質內一點發出的光線射到曲面上，折入第二種介質而聚於一點。具有這個性質的旋轉面是由笛卡爾卵形線產生的。他在《折光》裡討論這個曲線和它的折光性質，並且在《幾何》的第二卷裡作了補充。
這條曲線（上圖）的近代定義是滿足條件FM±nF'M=2a的點M的軌跡，其中F和F'是固定點，2a是大於FF'的任意實數，n是任意實數。如果n=1，曲線就成了橢圓。在一般情形下，卵形線的方程是四次的，這個曲線包括兩個沒有共同點的閉線，而且一個在另一個之內。在內的那個類似於橢圓，在外的那個可能是凸的，也可能有拐點。
笛卡爾和費馬研究座標幾何的方法大不相同。笛卡爾批評了希臘的傳統，而且主張同這傳統決裂；費馬則著眼於繼承希臘人的思想，認為他自己的工作只是重新表述了阿波羅尼奧斯的工作。真正的發現——代數方法的威力——是屬於笛卡爾的，他知道他是在改換古代方法。雖然用方程表示曲線的思想在費馬的工作中對在笛卡爾的工作中更為明顯，但費馬的工作主要是這樣一個技術的成就：他完成了阿波羅尼奧斯的工作，並且利用了韋達用字母代表數類的思想。笛卡爾的方法是可以普遍使用的，而且就潛力而論也適用於超越曲線。
雖然笛卡爾和費馬研究座標幾何的方式和目的顯著不同，他們依然捲入誰先發現的爭論。費馬的著作知道1679年才出版，但1629年已發現座標幾何的基本原理，這比笛卡爾發表《幾何》的1637年早。當時笛卡爾已完全知道費馬的許多發現，但否認他的思想來自費馬。荷蘭數學家貝克曼（Isaac Beeckman，1588-1637 ）把笛卡爾的座標幾何思想回溯到1619年，而且座標幾何中的許多基本思想無疑是笛卡爾首創的。
當《幾何》出版的時候，費馬批評說，書中刪去了極大值和極小值、曲線的切線以及立體軌跡的作圖法。他認為這些是值得所有幾何學家注意的。笛卡爾回答說，費馬幾乎沒有做什麼，至多做出一些不費力氣不需要預備知識就能得到的東西，而他自己卻在《幾何》的第三卷中，用了關於方程性質的全部知識。他諷刺地稱呼費馬為我們的極大和極小大臣，並且說費馬欠了他的債。羅貝瓦爾、帕斯卡和其他一些人站在費馬一邊，而米道奇和笛沙格站在笛卡爾一邊。費馬的朋友們給笛卡爾寫了尖刻的信。後人這兩人的態度趨於緩和。在1660年的一篇文章裡，費馬雖然指出《幾何》中的一個錯誤，但他宣稱他是如此佩服笛卡爾的天才，即使笛卡爾有錯誤，他的工作甚至比別人沒有錯誤的工作更有價值。笛卡爾卻不像費馬那樣寬厚。
後代人對待《幾何》並不像笛卡爾那樣重視。雖然對數學的前途來說，方程和曲線的結合是一個顯著的思想，但對笛卡爾來說，這個思想只是為了達到目的——解決作圖問題——的一個手段。費馬強調軌跡的方程，從近代觀點來看，是更為恰當的。笛卡爾在卷一和卷三中所著重的幾何作圖問題，已逐漸失去重要性，這主要是因為不再像希臘人那樣，用作圖來證明存在了。
第三卷中也有一部分是在數學裡佔永久地位的。笛卡爾解決幾何作圖問題時，首先把問題用代數表示出，接著就解出所得到的代數方程，最後按解的要求來作圖。在這個過程中，笛卡爾收集了自己和別人的有助於求解的方程論工作。因為代數方程不斷出現在成百的、與作圖問題無關的不同場合中，所以這個方程論已經成為初等代數的基礎部分。
五、座標幾何在17世紀中的擴展
有種種原因，使座標幾何的主要思想——用代數方程表示並研究曲線——沒有被數學家熱情地接受並利用。費馬的《軌跡引論》雖然在他的朋友中得到傳播，但遲至1679年才出版。笛卡爾對於幾何作圖問題的強調，遮蔽了方程和曲線的主要思想。事實上，許多和他同時代的人認為座標幾何主要是解決作圖問題的工具，甚至萊布尼茨也說笛卡爾的工作是退回到古代。笛卡爾本人確實知道他的貢獻遠遠不限於提供一個解決作圖問題的新方法。他在《幾何》的引言中說：“此外，我在第二卷中所作的關於曲線性質的討論，以及考察這些性質的方法，據我看，遠遠超出了普通幾何的論述，正如西塞羅的詞令遠遠超過兒童的簡單語言一樣。”但是，他利用曲線方程之處，例如解決帕普斯問題、求曲線的法線、找出卵形線的性質等，大大地被他的作圖問題所遮蓋。座標幾何傳播速度緩慢的另一原因是笛卡爾堅持要把他的書寫得使人難懂。
還有一個原因，是許多數學家反對把代數和幾何混淆起來，或者把算術和幾何混淆起來。早在16世紀當代數正在興起的時候，已經有過這種反對的意見了。例如，塔爾塔利亞堅持要區別數的運算和希臘人對於幾何物體的運算。他譴責《幾何原本》的譯者不加區別地使用multiplicare（乘）和ducere（倍）兩字。他說，前一字是屬於數的，後一字是屬於幾何量的。韋達也認為數的科學和幾何量的科學是平行的，但是有區別。甚至牛頓也如此，他在《普遍的算術》中說：
對於牛頓立場的一個合理解釋是：他想把代數排斥到初等幾何之外，但他也確實知道，代數在處理圓錐截線和高次曲線時是有用的。
使座標幾何遲遲才被接受的又一原因是代數被認為缺乏嚴密性，巴羅不願承認無理數除了作為表示連續幾何量的一個符號外，還有別的意義。算術和代數從幾何得到邏輯的核實，因而代數不能替代幾何，或與幾何並列。哲學家霍布斯（Thomas Hobbes，1588—1679）雖然在數學裡是個小人物，但當他反對“把代數應用到幾何的一整批人”時，卻代表許多數學家發了言，說這批數學家錯誤地把符號當作幾何。他又認為沃利斯論圓錐曲線的書是卑鄙的，是“符號的結痂”。
上述種種雖然阻礙了對笛卡爾和費馬的貢獻的瞭解，但也有很多人逐漸採用並且擴展了座標幾何。第一個任務是解釋笛卡爾的思想。範斯庫騰（Frans van Schooten，1615—1660）將《幾何》譯成拉丁文，於1649年出版，並再版了若干次。這本書不但在文字上便於所有的學者（因為他們都能讀拉丁文），而且添了一篇評論，對笛卡爾的精緻陳述加以闡發。在1659到1661的版本中，範斯庫騰居然給出座標變換——從一條基線（x軸）到另一條基線——的代數式。他如此深切地感到笛卡爾方法的力量，以至宣稱希臘人就是用這個方法導出他們的結果的。按範斯庫騰的說法，希臘人是先由代數工作看出怎樣去綜合地得出結果——範斯庫騰說明如何做到這一步——然後發表那些沒有代數方法顯明的綜合方法來驚世駭俗。範斯庫騰可能誤解了“分析”（這個詞按希臘人的意思是分析某個問題）和“解析幾何”（這個詞特別描寫笛卡爾把代數當作方法使用）的意義。
沃利斯在《論圓錐曲線》（DeSectionibus Conicis，1655）中，第一次得到圓錐曲線的方程。他是為了闡明阿波羅尼奧斯的結果，把阿波羅尼奧斯的幾何條件翻譯成代數條件，從而得到這些方程的。於是他把圓錐曲線定義為對應含x和y的二次方程的曲線，並證明這些曲線確實就是幾何裡的圓錐曲線。他很可能是第一個用方程來推導圓錐截線的性質的人。
他的書大大有助於傳播座標幾何的思想，又有助於普及這樣的處理法：把圓錐截線看作平面曲線，而不看作是圓錐與平面的交線，雖然這後一種看法仍繼續流傳著。此外，沃利斯強調代數推理是有效的，而笛卡爾至少在《幾何》中實際上依靠幾何，認為代數只是一種工具。沃利斯又是第一個有意識地引進負的縱橫座標的人。略晚一些，牛頓也這樣做，可能是從沃利斯那裡學來的。我們可以比較範斯庫騰和沃利斯的說法，沃利斯說，阿基米德和幾乎所有的古代人都把他們的探索和分析問題的方法對後輩如此保密，使近代人覺得發明一種新的分析法比尋找舊的還要容易些。
英國數學家沃利斯
牛頓的《流數法與無窮級數》（The Methodof Fluxions and Infinite Series）大約於1671年寫成，但第一次出版的，卻是科爾森（John Colson，死於1760年）的英譯本，出版於1736年。此書包括座標幾何的許多應用，例如按方程描出曲線。書中創見之一，是引進新的座標系。17甚至18世紀的人，一般只用一根座標軸（x軸），其y值是沿著與x軸成直角或斜角的方向畫出的。牛頓引進的座標系之一，是用一個固定點和通過此點的一條直線作標準，略如我們現在的極座標系。牛頓又引進了雙極座標，其中每點的位置決定於它至兩個固定點的距離。由於牛頓的這個工作直到1736年才為世人所知，而雅各布·伯努利於1691年在《教師學報》（Acta Eruditorum）上發表了一篇基本上是關於極座標的文章，所以通常認為雅各布·伯努利是極座標的發現者。
1694年，雅各布·伯努利引進了雙紐線，這個線在18世紀起了相當大的作用。這條曲線是一大族叫做卡西尼卵形線的一個特例。這族曲線是卡西尼（Jean-Dominique Cassini，1625—1712）引進的，但遲至1749年才由他的兒子卡西尼（Jacques Cassini，1677—1756）發表在《天文學初步》（Eléments d'astronomie）裡。卡西尼卵形線（下圖）的定義是：線上的任何點到兩個固定點S1、S2的距離r1、r2的乘積等於常數b²。設S1與S2間的距離是2a，如果b>a，就得到一個沒有自交點的卵形線。如果b=a，就得到雙紐線。如果b
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