在大多數科學裡，一代人要推倒另一代人所修築的東西，一個人所樹立的另一個人要加以摧毀。只有數學，每一代人都能在舊建築上增添一層樓。——漢克爾（Hermann Hankel）
一、歐洲文明的開始
在巴比倫、埃及、希臘和羅馬人各自盛極一時的年代裡，今日的歐洲（除意大利和希臘外）只有原始的文明。住在那裡的日耳曼民族既不會書寫又沒有什麼知識。他們的主要工作是飼養牲口、打獵和種植穀物。從4世紀起，匈奴人把居住在中歐的哥特和日耳曼部落往西趕。5世紀時哥特人佔領了西羅馬帝國本土。
公元500年新的文化影響開始在歐洲起作用。天主教會逐步使日耳曼和哥特蠻族改信基督教並開始建立學校，這些是附設在當時稍具希臘和羅馬知識的修道院裡的，目的是為教授人們唸誦教會經文和聖書。其後不久為了訓練教會聖職人員，又逐步辦起較高級的學校來。
博洛尼亞大學（世界上最早的大學）
在8世紀下半葉，有些世俗統治者又增設了一些學校。這些學校也是附設在教堂或修道院裡的，注重學習基督教的神學和音樂。最後從教會的學校產生出歐洲的大學，並由教會中各教派如方濟各會（Franciscan）和多米尼加（Dominican）教派的人士擔任教員。最早的博洛尼亞（Bologna）大學是在1088年成立的。巴黎大學、薩萊諾（Salerno）大學、牛津大學和劍橋大學是在大約在1200年成立的。這些大學開始並不是現代意義上的大學，雖然形式上是獨立的，但實際都是服務於教會利益。
索邦神學院（巴黎大學前身）
意大利薩萊諾大學（歐洲最早醫科大學）
牛津大學
拉丁文是教會的官方語言，因而它就成為歐洲的國際語言以及數學和科學的文字。直到18世紀和更晚的時候，拉丁文還是歐洲學校裡授課用的語言。由於羅馬人的數學微不足道，所以歐洲人所學到的只不過是非常原始的一套記數法和少量算術法則。他們也通過少數翻譯家汲取一點希臘數學知識。
主要的翻譯家是一個羅馬名門的後裔博伊西斯（Anicius Manlius Severinus Boethius，約480—524），他的譯作直到12世紀還廣泛流傳。他根據希臘材料用拉丁文選編了算術、幾何與天文的初等讀物。他從歐幾里得的《原本》裡譯了多則5篇（或少則3篇）的材料組成他的《幾何》（Geometry）。在他的書裡他給出定義和定理，但無證明。他又在這書裡編入一些度量方法的幾何材料。有些結果是不正確的，有些只是近似的。奇怪的是，《幾何》裡也含有關於算盤和分數的材料，後者是學習天文的預備知識。博伊西斯還寫了《算術入門》（Institutis arithmetica），這是尼科馬修斯所著《算術入門》的譯本，但略去了尼科馬修斯的一些結果。這書成為各學校所教算術知識的源泉幾乎有1000年之久。最後博伊西斯譯出了亞里士多德的一些著作，根據托勒密的著作寫了一本天文書，根據歐幾里得、托勒密和尼科馬修斯的著作寫了一本音樂書。很可能博伊西斯並未全部理解他所翻譯的書籍。他創造了“四大科”（quadrivium）這個詞來代表算術、幾何、音樂和天文。他最出名的著作《哲學的安慰》（Consolationsof Philosophy）至今還有人在讀，那是在他被控叛國（最後他因這個罪名被斬）而監禁在牢裡時寫的。
博伊西斯《哲學的安慰》（1385）
另一個翻譯家是羅馬人卡西奧多羅斯（Aurelius Cassiodorus，約475—570），他翻譯了一小部分希臘數學和天文著作。還有塞維利亞的伊西多爾（Isidore，約560-636），他撰寫了《詞源Etymologies》，共20篇，內容從數學到醫學都有。以及英國人“可敬的”比德（Venerable Bede，674—735）。這些人是希臘數學和中世紀早期學術界的主要聯繫者。
伊西多爾《詞源》（1160）
中世紀早期數學家書中的所有問題都只牽涉到整數的四則運算。分數很少用。無理數是根本不出現的。中世紀把善算的人叫做“蠱術”師或巫師。
10世紀時奧弗涅（Auvergne）人熱爾貝（Gerbert）【後來成為教皇西爾維斯特二世（Pope Sylvester II），死於1003年】把數學的學習稍微推進了一步。但他的著作只限於初等算術和初等幾何。
二、中世紀早期數學在歐洲的地位
雖然所教的數學內容很少，但即使在中世紀學校的課程裡數學還是相當重要的。課程分為四大科和三文（trivium）。四大科包括算數（純數的科學）、音樂（數的一個應用）、幾何（關於長度、面積、體積和其它諸量的學問）和天文（關於運動中的量的學問）。三文包括修辭、辯證和文法。
四大科三文
當時教會指望教士能用說理來捍衛神學和駁斥論爭，而數學則被認為是訓練神學說理的最好學科，正如柏拉圖認為數學是訓練哲學的好學科一樣。教會提倡教授數學，因它對修日曆和預報節日有用。
促使人學習一點數學的另一動機是占星術。這門偽科學在巴比倫人、古典希臘人和阿拉伯人哪裡曾頗為風行，而在中世紀的歐洲則幾乎普遍被人接受。占星術的基本信條當然是說天體能影響和控制人體以及人的命運。為了解天體的影響並預報特殊的天象事件所展示的吉凶禍福，那就需要有些天文知識，因此少不了要懂點數學。
占星術到中世紀後期變得特別重要。每個朝廷都有占星術士，大學裡也有占星術的教授和課程。在中世紀末期和文藝復興時，占星術不但成為一項重要的工作而且被看作是數學的一個分支。
數學通過占星術又和醫學發生關係。醫生想找出天體現象和特殊星座同各個人的健康之間的關係。他們把成千人出生、結婚、生病和死亡時出現的星座記錄下來，用以預測醫療是否有效。為此需要懂得廣泛的數學知識，因而使醫生也變成深諳數學的人。事實上他們在占星術和數學方面的造詣遠遠超過對人體知識的造詣。
12世紀的博洛尼亞大學有個醫學和數學學院。當天文學家第谷·布拉赫（Tycho Brahe）在1566年上羅斯托克（Rostock）大學時，那裡沒有天文學家，但有占星術士、鍊金術士、數學家和醫學家。在許多大學裡占星學教授比真正的醫學和天文學教授還要常見。伽利略曾對醫科學生講過天文，但目的是為了使他們能研究占星術。
三、數學的停滯
中世紀初期約從400年起，到1100年為止，這段時期內數學並無進展，也沒有人認真做數學工作。主要原因是對物理世界缺乏興趣。基督教主要關心的是精神生活，因而認為出於好奇心或實用目的而探索自然的工作是浮薄不足道的。基督教強調要把心靈提高到超越肉體和物質之上，併為靈魂做好準備去過死後天國的生活。關於原罪的信條、對地域的恐懼、上帝的拯救以及對天國的企求重於一切。
那麼歐洲人從哪裡去獲得關於自然的知識以及關於宇宙和人的天然設計方案呢？答案是所有知識都來源於研讀聖經，教會神甫的教導和教條是聖經的補充發揮和解釋，被認為具有至高無上的權威。奧古斯丁（Saint Augustine，354—430）曾說：“從聖經以外獲得的任何知識，如果它是有害的，理應加以排斥；如果它是有益的，那它是會包含在聖經裡的。”這段話雖不足以代表奧古斯丁，卻足以代表中世紀早期的人對研究自然的態度。
《正在研究神學的聖奧古斯丁》
直到1100年，中世紀時期沒有在知識領域裡產生出任何大的文化。它的知識狀態是思想統一、教條主義、神秘主義、信賴權威，不斷向權威著作求教、進行分析並加以評述。傾向於神秘主義的結果使人把含糊其辭的思想奉為現實甚至接受為宗教真理。神學統轄了所有學問，教會神甫能編造萬有知識體系。但除了包含在基督教義中的以外，他們不去尋思或追求任何別的原理。
羅馬文明是產生不出數學來的，因它太注重實際和馬上可以應用的結果。歐洲中世紀文明不能產生數學成果則出於正相反的原因。它根本不關心物理世界。俗世的事務和問題是不重要的。基督教重視死後的生活並重視為此而進行的準備。
數學顯然不能再一個只重世務或只信天國的文明中繁榮滋長。數學在一個自由的學術氣氛中最能獲得成功，那裡既能對物理世界所提出的問題發生興趣，又有人願意從抽象方面去思考由這些問題所引起的概念，而不計其是否能謀取眼前的或實際的利益。自然界是產生概念的溫床，然後必須對概念本身進行研究。反過來，能對自然獲得新的觀點，對它有更豐富、更廣泛、更強有力的理解，而這又產生出更深刻的數學工作。
四、希臘著述的第一次復活
在1100年之際，歐洲文明處於一種停滯的狀態。一點也看不出有什麼徵象，能夠說明歐洲人如果任其自行其是，會自動拋棄前述那種世界觀和著重點，而回頭來認真鑽研數學。
但新的思潮開始影響當時的學術界氣氛。歐洲人通過貿易和旅遊，同地中海地區和近東的阿拉伯人以及東羅馬帝國的拜占庭人發生接觸。十字軍東征（約1100—約1300），使歐洲人進入阿拉伯土地。歐洲人開始從阿拉伯人和拜占庭的希臘人那裡學到了希臘的著作。
希臘學術的發現激起歐洲人很大的興趣，他們大力搜求希臘著作的抄本、阿拉伯文譯本以及阿拉伯人寫的課本。王公和教會領袖支持學者去獵取這些學術寶藏。學者們紛紛到非洲、西班牙、法國南部、西西里和近東的阿拉伯文化中心去鑽研阿拉伯人的著述，並把他們所能買到的書籍帶回歐洲。巴思（Bath）地方的阿德拉德（Adelard，約1090—約1150）喬裝回教學生前往阿拉伯人控制下的敘利亞和科爾多瓦以及意大利南部。比薩的利奧那多（Leonardo）到北非去學算術。北意共和國和羅馬教廷派出使團和大使到拜占庭帝國和西西里。1085年基督徒攻佔了托萊多（Toledo），於是阿拉伯著作的一大中心向歐洲學者開放了。1091年基督徒又從阿拉伯人手裡奪取了西西里，他們又可自由閱讀那裡的著作了。從帝國開始之日起就收藏了希臘著作的羅馬，經過一次搜索後發現了更多的手稿。
意大利托萊多古城
歐洲人獲得這些著述後就愈來愈多地把他們譯成拉丁文。12世紀從希臘文譯出的書總的說來質量不高，因當時對希臘文懂得不多。它們是逐字逐句譯出的，但它們比那些通過阿拉伯譯本重譯的希臘著作好一些，因為阿拉伯文與希臘文是很不一樣的。因此直到17世紀後很長的時間，歐洲不斷出現新的更好的譯本。
這樣歐洲人就知道了歐幾里得和托勒密的著作，阿爾花拉子米的《算術Arithmetic》和《代數》，特奧多修斯的《球面學》，亞里士多德和海倫的許多著作，阿基米德的幾部著作，特別是他的《圓的量度Measurement of a Circle》【他的其餘著作在1544年由巴塞爾的埃爾瓦吉烏斯（Hervagius）譯成拉丁文】。但在12和13世紀間，阿波羅尼奧斯和丟番圖的著作都未曾譯出。此外哲學、醫學、科學、神學和占星術方面的書也都翻譯出來。由於阿拉伯人確實佔有幾乎全部的希臘著作，歐洲人就此獲得了大量的文獻。他們對這些著作是這樣欽佩並這樣傾倒於其中的新鮮思想，以至他們都成了希臘思想的門徒。他們珍視這些著作遠遠超過他們自己的創作。
五、理性主義和對自然的興趣的復活
第一批希臘和阿拉伯著作的譯本傳到歐洲後不久，對自然現象的理性探討，並以自然原因而不以道德或神意的原因來作解釋的風氣幾乎立刻就呈現出生命力。甚至有人開始對聖經文字尋求合理化的解釋，並且至少表示出需要用數學來研究自然的意願。
隨著希臘著作的傳入，要求作合理化解釋的趨勢、對物理世界的研究、通過物質生活來享受現世生活的興趣以及對自然的興趣變得明顯起來。有些人甚至開始用自己的道理來對抗教會的權威。例如巴思的阿德拉德說他不願聽從那些“被人牽著鼻子走的人......因此如果你要聽我講些什麼東西，就得同我講道理並且讓我也來講道理。”
說來奇怪，有些希臘著作的傳入卻使歐洲的覺醒推遲了兩個世紀之久。到1200年之際，亞里士多德的許多著作已相當普及。他書中的大量事實、精細的分辨能力、令人信服的論據，和對知識的邏輯編排，使歐洲學者讀了心悅誠服。亞里士多德學說的缺點是他接受了那些在思想上認為是有理的說法，而不管其是否符合實際經驗。他提出一些想法、理論和解釋，例如基本物質之說、地上物體與天體的區分，以及對終極原因的強調，是很少現實根據或沒有結果的。但因這些說法都被人毫無批判地加以接受，所以新的思想就不受歡迎或無人理睬，使進步推遲。亞里士多德給數學較低的地位——肯定是次於定性的物理解釋的地位，這可能也是阻礙科學進步的。
倫勃朗油畫《 亞里士多德和荷馬石膏半身像》
大約從1150年到1450年這段期間內，從事科學工作的是經院派學者，他們信奉以基督教使徒和亞里士多德的權威為基礎的學說，因此科學工作自然受到不利影響。當時有一個人感到需要從實驗得出一般原則，需要有利用數學的演繹推理，然後根據事實來檢驗這種推理，這人便是林肯郡的主教、自然哲學家格羅斯泰特（Robert Grosseteste，約1168—1253）。
反抗權威的最出色的發言人並且真能提供有價值思想的是羅吉爾·培根（Roger Bacon，約1214—1294），他號稱為“萬能博士”（Doctor Mirabilis）。他宣稱：“如果我有權處理亞里士多德的著作，我就會下令把它全燒掉，因為學習它不過是浪費時間而且把人引入歧途，而且它又是難以形容的層出不窮的無知之見。”
羅吉爾·培根學識淵博，遍曉當時的許多科學和語言文字，包括阿拉伯文在內。他比別人早知道當時剛出現的發明和科學進展，如火藥、透鏡的作用，機制時鐘，日曆的編制，彩虹的形成等。他甚至談到對潛水艇、飛機和汽車的設想。他在數學、力學、光學、視像成因、天文學、地理學、年表學、化學、透視學、音樂、醫學、文法、邏輯、形而上學、倫理學和神學方面的著作都是含有正確思想的。
羅吉爾·培根的特別令人欽佩之處是他懂得可靠的知識是怎麼得來的。他探討了使科學獲得進展或受到阻撓的原因，並提出改革研究方法的意見。他雖也勸人閱讀聖經，但強調數學和實驗，並預見科學造福於人類的偉大前景。
他相信數學思想是與生俱來的並且是同自然事物本身相一致的，因為自然界是用幾何語言編寫而成的。因而數學能提供真理，它先於其它科學，因為數學處理直覺所感知的量。他在所著《大作Opus Majus》的一章中“證明”所有科學都需要數學，他的論點表明他正確認識到數學在科學中的作用。他雖然強調數學，但也充分認識到實驗在發現事實和驗證從理論或其它方面所得結果的作用及其重要性。“論證可以總結一個問題，但它不能使我們感到放心或承認其為真理，除非通過經驗而表明其確為真理。”
羅吉爾·培根的《大作》談了不少關於數學對地理、年表學、音樂、彩虹的解釋、編日曆和確定信念的用處，還論述了數學在國家掛曆、氣象學、水文學、占星術、透視學、光學和視像成因等方面的作用。
但甚至羅吉爾·培根也只是他那個時代的產物。他相信巫術、占星術，並堅稱一切學問的目標是神學。他也是他那個時代的犧牲品，他死於監獄，正如其他許多倡導人類理智獨立性以及實驗觀察重要性的學術界領袖一樣。他對他那個時代的影響是不大的。
奧卡姆的威廉（William of Ockham，約1300—1349）批評亞里士多德對終極原因的觀點。他說終極原因純粹是虛擬的說法。所有原因都是直接的，足以產生一事件的所有前提構成它的總因。這種關於聯繫的認識是放之四海而皆準的，因為自然界是統一的。科學的首要功能是確定觀察的次第。奧卡姆說，至於物質我們只知道它們的種種性質，而並沒有一種基本的物質形式。
他又攻擊當時的物理和形而上學（玄學），說得自經驗的知識是真知，而合理化的構思則不然，它們不過是人創造出來用以解釋所觀察的事實而已。他提出一個著名原則號稱“奧卡姆的剃刀”【格羅斯泰特和司各脫（John Duns Scotus，1266—1308）在以前早提出過】：若能用較少的概念解決問題，那更多的概念是不必要的。他把神學同自然哲學（科學）分開，理由是神學的知識得自神的啟示，而自然哲學知識則應來自經驗。
這些異見分子並沒有提出新的科學思想，但他們確實要求自由研究、自由思想和自由探索，並主張以經驗作為科學知識的來源。
六、數學本身的進展
大約在1100年到1450年這段時期內，儘管思想嚴受束縛，但還是進行了一些數學活動，其主要中心是牛津大學、巴黎大學、維也納大學（成立於1365年）和埃爾富特（Erfurt）大學（成立於1392年）。起初的工作是對希臘和阿拉伯文獻的直接翻譯。
維也納大學
埃爾福特大學
第一個值得一提的歐洲學者是比薩的利奧那多（約1170—1250），又名斐波那契（Fibonacci）。他受教育於非洲，在歐洲和小亞細亞遊歷甚廣，並以其精湛掌握當代及以前各代的全部數學知識而聞名。
1202年斐波那契寫了劃時代的並流傳很久的《算經》（Liber Abaci）一書，這是從阿拉伯文和希臘文材料編譯成拉丁文的書。當時在歐洲已多少知道一點阿拉伯記數法和印度算法，但只限於在修道院裡。一般人還是用羅馬數字而且避免用零，因他們不懂零的意思。斐波那契的書產生很大影響並改變了數學的面貌，其中傳授了印度人用整數、分數、平方根、立方根進行計算的方法。
斐波那契在《算經》及較晚一部著作《四藝經》（Liber Quadratorum，1225）中都論述了代數，並以算術方法作為代數的基礎。他講述了一次和二次確定或不定方程以及某些三次方程。他認為一般三次方程是不能用代數方法解出的。
在幾何方面，斐波那契在他的《幾何實習》（Practica Geometrica，1220）裡重複講述了歐幾里得《原本》及希臘三角術的大部分內容。他傳授用三角方法而不用羅馬人的幾何方法來搞測量。
斐波那契著述的最突出之點是他指出歐幾里得在《原本》第十篇中對無理量的分類並不包括一切無理量。他證明x³+2x²+10x=20的根不能用尺規作出。這第一次表明數系所含的數超過希臘人以是否尺規可作為準則所定的範圍。他又引入了至今仍稱為斐波那契數列的概念，在這數列中的每項等於其前兩項之和。
奧雷姆（Nicole Oresme，約1323—1382）是利雪（Lisieux）地方的主教兼納瓦拉（Navarre）巴黎學院的教師。在他的未發表的著作《比例算法》（Algorismus Proportionum，約1360年）中，他引入了分數指數的記法和一些算法。他的想法是：既然4³=64而，所以。分數指數的記法以後在16世紀的幾個作家的著作中重又出現過，但直到17世紀才廣泛採用。
奧雷姆的另一項貢獻在於對變化的研究。亞里士多德對質和量是嚴格區別的。他認為熱的強度是一種物質。改變熱的強度就得增加或減少一種東西——一種熱。奧雷姆認為並沒有什麼不同種類的熱，而只有同一類熱的多寡之分。14世紀一些牛津和巴黎的經院哲學家開始從量的方面來思考變化和變化率的問題。他們研究勻速運動、非勻速（變速）運動以及均勻性的非均勻運動（勻加速運動）。
當時這一類問題的頂點是奧雷姆提出的圖線原理。關於這個問題他寫了《論均勻與非均勻的強度》（De Uniformitate et Difformitate Intensionum，約1350年）與《論圖線》（Tractatus de Latitudinibus Formarum，日期不詳）。為表示隨時間而變的速度，他用一水平線上的點代表時間，稱之為經度；而不同時刻的速度則用縱線表示，稱之為緯度。為表示一個從O處為OA減到B處為零的速度，他畫出了一個三角形。他又指出由AB中點E所定的矩形OBDC與三角形OAB等面積，並表示在同一段時間內的勻速運動。奧塞姆把物理變化同整個幾何圖形聯繫起來，整個面積代表所論的變化，其中不牽涉到數值。
常有人說奧雷姆對提出函數概念，用函數表示物理規律以及函數的分類作出了貢獻。人們也常把創立座標幾何及函數的圖像歸功於他。事實上他的圖線是個含糊的觀念，至多是一種圖標。雖然奧雷姆在圖線（latitudines formarum）名義下表示強度的方法是經院哲學家試圖用於研究物理變化的一個主要技巧，也曾在當時的大學裡教給學生，並用之於修正亞里士多德的運動理論，但它對其後思想界的影響是不大的。伽利略確也用過這種圖形，但思想遠為清楚，用意遠為明確。又由於笛卡爾儘量避免提及前人，我們也不知道他是否受了奧雷姆思想的影響。
七、物理科學中的進展
由於數學的進展主要依賴於人們對科學重新發生興趣，所以這裡簡略列舉中世紀在科學方面的工作。
在力學方面他們採納了關於槓桿、重心以及阿基米德流體靜力學這些非常可取的希臘著作。他們最注重的是運動理論。
亞里士多德的理論有好幾處明顯說不通，早期中世紀科學家就想在亞里士多德學說體系的基本範圍內解決這些疑點。例如，為說明落體何以會增速，13世紀的有些人士把亞里士多德關於重力的含糊概念，解釋成物體的重量會隨著其接近於地心而增加。有人懷疑亞里士多德關於速度等於力除以阻力這個基本定律是否正確。
14世紀中繼夏爾特爾學派之後的是巴黎學派，其領袖是奧雷姆和布里丹（Jean Buridan，約1300—1360）。為解釋物體受力後繼續運動，布里丹提出一個新理論——衝力理論。按照6世紀基督教學者菲洛波努斯（Philoponus）的說法，他認為加到箭或拋射體上的動力是加到物體本身上的而不是加在空氣上的。這個衝力（而不是空氣的推動力），若無外力作用是能使物體永遠保持勻速運動的。在落體的情形下，由於自然重力使原有衝力逐步獲得增量，所以衝力是漸次增大的。在上投物體的情形下（如拋射體），傳給物體的衝力因空氣阻力和自然重力而逐漸減小。天球有上帝給予衝力後就無需天上其他因素作用而保持其運轉。布里丹把衝力定義為物體的質量與速度的乘積，用現代術語來講這就是動量。
有好幾方面的原因使這個新理論值得重視。布里丹把它應用於天體運動和地面上物體的運動之後便將兩者合成一個理論。其次是這理論同亞里士多德的定律相反，它暗含著力改變運動而不單是維持運動的想法。第三，衝力概念本身是一大進步，它把作用力從媒質轉移到運動物體上，從而又使人能考慮沒有媒質的真空。布里丹是現代動力學的奠基人之一。他的理論在他那個世紀以及其後兩個世紀中被人廣泛接受。
拋射體運動之所以這樣受人注意，也許是由於13世紀武器的改進，弩炮、橫弓和長弓能把投射體拋過長的彎曲的路線，一個世紀以後又有了炮彈。亞里士多德說一個物體在一個時間內只能在一種力的作用下運動，若有兩種力則一種力會破壞另一種力的作用。因此若將一物往上拋出，它將沿一直線運動，直到那“激發”運動消耗掉之後，物體就在天然運動下直落到地上。在對這理論進行修正的各種學說中，約爾丹努斯·奈莫拉里烏斯提出的觀點是最有幫助的。他說依直線方向拋射出去的物體，其運動的每一刻所受之力可分解為兩個分力，一個是向下作用的自然重力，一個是水平拋射的“激發”力。這一思想以後為列奧納多·達·芬奇（Leonardo da Vinci）、斯蒂文（Simon Stevin）、伽利略和笛卡爾所接受。
布里丹和奧雷姆領導下的巴黎學派不僅考察勻速運動，而且接下去考察均勻性的非均勻運動（勻加速運動），並按他們自己認為滿意的方式證明這種運動中的有效速度是初速和終速的平均值。13、14世紀力學上最有意義的工作也許在於他們力求引入定量的考察，並以定量的論證來代替定性的論證。
中世紀科學家的主要興趣在於光學方面。到1200年，光學上的一些基本定律都為人熟知，如光在均勻媒質中的直線行進、反射定律，以及托勒密的不正確的折射定律（他相信折射角正比於入射角）。還有關於球面鏡和拋物面鏡的知識，球面像差，針孔照相機，透鏡的用途，眼睛的功能，大氣折射現象，放大視像，這些都從希臘人和阿拉伯人那裡傳到了歐洲。
史上第一張放大鏡原理圖（羅吉爾培根）
格羅斯泰特、羅吉爾·培根、維泰洛（Vitello，13世紀）、佩卡姆（John Peckham，死於1292年）和弗萊堡的泰奧多里克（Theodoric，死於約1311年），這些科學家都把光學推向前進。他們根據光被透鏡折射的知識，定出了一些透鏡的焦距，研究了透鏡的組合，提出用透鏡組合來放大視像的意見，改進了解釋彩虹的理論。13世紀中玻璃鏡的製造完善了，從1299年起有了眼鏡。維泰洛觀察到光在折射下的色散現象，就是說他讓白光通過六角形晶體產生出有色光。他又引導光通過一碗水來研究彩虹。光學繼續成為一門重要科學，我們以後將看到開普勒、伽利略、笛卡爾、費馬、惠更斯和牛頓都在這方面進行工作。
在科學上也如在其他領域裡一樣，中世紀只是專攻那些經過時間考驗的權威著作。時代精神迫使人們遵循一向所信賴的、一成不變的、死硬的方法。中世紀後期學術工作的特點是尋求一種包括人間、自然界和上帝的普遍哲學。但這些工作充滿了這樣的缺點：思想不分明、神秘主義、教條主義以及咬文爵字地引述權威著作。
然而隨著世界情勢的逐步改變，人們日益強烈地發覺信仰和明顯事實之間的脫節和矛盾，並對學術和信仰需要修正看得越來越清楚。在伽利略演示經驗的價值之前，在笛卡爾教導人們進行內省之前，在帕斯卡（Blaise Pascal）陳述關於進步的概念之前，就有那些離經叛道的思想家，主要是持異見的經院派學者，打算沿著新的路線前進，向舊有的觀念提出挑戰，要求比希臘人更多地依賴於對自然界的觀察。
作實驗（其部分目的是為尋求產生奇蹟的秘方）和用歸納法來獲得一般原理和科學規律，開始成為知識的重要來源。雖然中世紀的主要科學方法仍然是根據一些先驗的原則，用一種形式的或幾何性的論證來做合理化的解釋。
數學對研究自然的作用也獲得某種承認。雖然中世紀科學家總的說來仿照亞里士多德的做法尋求物質上的或物理上的解釋，但這種解釋很難獲得而且用處不大。他們愈來愈體會到，從數學上對觀測數據和實驗事實進行整理比較，然後核驗數學定律，做起來較為容易。
儘管有這些新的趨勢和活動，但如果讓中世紀的歐洲循著一條不變的道路繼續走下去，那它會不會產生真正的科學和數學，這是很值得懷疑的事。自由探討是不許可的。從1400年起就已存在的少數幾所大學是受教會控制的，那裡的教授不能自由講授他們認為正確的東西。如果說教會在中世紀並未禁止過什麼科學學說，那只是因為當時並沒有發表過新的重要學說。但若不論在哪方面發現有真正與基督教思想相牴觸的論調，那就會立即受到鎮壓，其殘酷與惡毒的程度在歷史上是空前的，而這種鎮壓大部分是由13世紀教皇英諾森三世（Innocent III）所創立的宗教裁判所來執行的。
其他一些相對比較次要的因素也推遲了歐洲的變革。復活的希臘知識只能為少數既有時間又有機會來學習的學者所接觸。手稿很昂貴，許多人想要而得不到。此外，從1100年到1500年這段期間，歐洲分裂為許多獨立的公國、侯國、多少帶點民主色彩或寡頭政治性的城邦以及教皇控制下的國家。這些政治單位間不斷髮生戰爭，耗盡了人民的精力。從1100年開始的十字軍戰爭糟蹋了數目難以想象的生命。14世紀下半葉的黑死病奪去了約佔歐洲三分之一的人口。但幸而革命力量已開始在歐洲的學術、政治和社會舞臺上發揮它的影響。
下一講文藝復興時期。
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