據說在廣大數學系同學的教材中,證明題被分為了
兩大類:(1)這t(題)m(目)也用證?
(2)這t(題)m(目)也能證?
而今天的問題,可能還要特殊一點,你可以說它屬於第一類,若是歸屬於第二類好像也毫無違和感,是的,說的就是我們小學就知道的加法交換律:a+b=b+a。
一、這tm也用證?
當然,它又不是公理,況且,並不是每一種運算都滿足交換律,比如減法就不行,a-b和b-a並不是總相等的,a÷b和b÷a往往也是兩回事,解釋這一點很簡單,對於a+b而言,其中的a和b都叫做加數,但是對於a-b,一個叫減數,一個叫被減數,當然不能隨意交換。
接下來關於這個等式的證明,或許我們會有一些這樣那樣的想法,比如,通過移項兩邊加加減減。
當然不可能這麼簡單了。
做證明題一定要清楚一點,我們有什麼 ?
對這個問題無從下手的一個主要因素就是,這題沒給條件啊!其實也不是沒給,是默認我們都知道了,比如
(1)什麼是a、b(這裡代指自然數);
(2)什麼叫加法。
我們確實知道,只不過我們熟悉的並不能解決這個問題。
什麼叫自然數?
像0、1、2、3……這樣的數叫自然數,這是我們小學就知道的定義,這個定義能幫助孩子們理解、辨別自然數,至於嚴謹不嚴謹的,這不在小學考慮的範疇。
但對於我們這個問題,什麼叫自然數就很重要了。
對於一些數學基礎定義,我們下定義的方式從來都不是“它是什麼”,我們不曾討論過“1是什麼?”、“1真實存在嗎”等等,我們只會描述“1”可以用來做什麼 ,比如“我在馬路邊撿到1元錢”、“這次考試我考了班級第1,倒數的”。
明確我們想要它來幹什麼,再用公理來規範它,即所謂的公理化,至於它本身有沒有意義之類的,who care。
我們想要自然數實現什麼?
(1)基數功能:表示數量;
(2)序數功能:表示順序;
(3)運算功能:如果1+2不能得到3的話,那麼1+2與a+b又有什麼區別?
二、什麼是自然數?
通用的定義自然數的公理是皮亞諾(Peano)公理,以下內容參考《陶哲軒實分析》一書,關於皮亞諾公理作簡單介紹。
首先我們想要的自然數是指一類數,彼此之間也是有關係的,我們需要兩個基礎概念:數0和增長運算,由0開始增長得到後面的其他的自然數,我們用n++來表示n後面的數,稱為數n的“後繼”,比如0++=1,(0++)++=2等等。
公理1:0是自然數。
關於0到底是不是自然數,本文就不討論了。數學是基於公理體系下的符號遊戲,只要不引起矛盾或糾紛,這個說法便是ok的。
公理2:若n是自然數,則n++也是自然數。
我們可以理解自然數集是0,0++,(0++)++,((0++)++)++……這麼一串數,只是為了書寫方便,我們改為了0,1,2,3,4……
好像對於描述自然數,以上兩條就夠了,但我們還需更明確一些,關於每個數的後繼。
用過這種計算器的應該會知道,如果算出的數結果很大,會顯示歸零。
同樣對於自然數集,我們需要:
公理3:0不是任何自然數的後繼,即對於任意自然數n,都有n++≠0。
規避掉歸零的情況還不夠,我們還需要保證,後面數的後繼也不會歸1、歸2等等,比如4++≠1,4++≠2……
公理4:不同的自然數有不同的後繼。若m、n是自然數且m≠n,則m++≠n++,等價地說,若m++=n++,必有m=n。
對於自然數已經比較規範了,但對於運算來說還差點意思。
公理5:(數學歸納原理)
設P(n)是關於自然的是一個性質,假設P(0)是真的,並假設只要P(n)是真的,則P(n++)也是真的。那麼對於每個自然數n,P(n)都是真的。
就好比當我們有了1+1=2,便可得到2+1=3,3+1=4……
對於自然數,我們想要的是具有一般性的結論,而這一點需要數學歸納來完成。
自然數
自然數:存在一個數系N,稱其元素為自然數,公理1—5對此數系成立。
三、加法是什麼?
假裝解決了第一個問題:什麼是自然數。接下來該說說什麼是加法了。
在前面我們提過自然數的一個基本運算:增長,表現了自然數之間的關聯,在此基礎上來建立加法運算。
加法:設m是自然數,定義:0+m=m。假定已經定義好如何使n加上m,那麼定義(n++)加上m為(n++)+m=(n+m)++。
比如當定義1+3=4時,那麼2+3=(1+3)++=4++=5,3+3=(2+3)++=5++=6……
這還不夠,m+0=m嗎?以及n+(m++)=(n+m)++嗎?這些我們還都不知道呢,我們也希望同樣由1+3=4能得到1+4=5。
證明1:對自然數m,m+0=m。
已知0+m=m但並不能由此直接得出m+0=m,我們還並不知道加法交換律這麼回事。
公理告訴我們這裡我們可以用的方法是數學歸納,
根據0+m=m以及0是自然數,可得:0+0=0
現假定n+0=n,根據加法定義,
那麼(n++)+0=(n+0)++=n++
所以對任意自然數m,均有m+0=m。
證明2:對任意自然數n和m,n+(m++)=(n+m)++
依然數學歸納法
對n進行歸納,當n=0時,
0+(m++)=(0+m)++
假定n+(m++)=(n+m)++,
接下來證(n++)+(m++)=((n++)+m)++。
左式=(n+(m++))++=((n+m)++)++
右式=((n+m)++)++
故左式=右式。
準備工作做好了,剩下的任務就簡單了。
四、這t(題)m(目)也能證?
假裝理解了題目給我們暗示的兩個條件:
(1)什麼叫自然數;
(2)什麼是加法。
是時候證明加法交換律了。
加法交換律:對於自然數n和m,n+m=m+n。
證明:對n進行歸納,
首先考慮當n=0時,0+m=m,m+0=m,故0+m=m+0成立,
假定n+m=m+n成立,下證:(n++)+m=m+(n++)
根據加法定義:(n++)+m=(n+m)++
根據證明2:m+(n++)=(m+n)++
根據假定:(m+n)++=(n+m)++
故(n++)+m=m+(n++)
於是對任意自然數n、m,均有n+m=m+n。
我問佛,瞭解這玩意有什麼意義?
佛說,你已經做了這麼多無意義的事,又何必多在意這一件?
我不禁淚流滿面
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